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1.
崔菊敏 《中学数学教学参考》2000,(6):20-22
一、复习引入教师:初二我们学习了对称的有关概念,下面我们一起来复习两个问题:第一,如何证明点Ａ与点Ｂ关于直线ＣＤ对称?(电脑显示图1)学生:连结ＡＢ,只需证明直线ＣＤ垂直平分线段ＡＢ.(电脑显示连ＡＢ,并闪烁直角及所平分的两条线段)教师:第二,什么叫轴对称图形?(电脑显示轴对称图形的定义,老师用等腰三角形演示)轴对称图形是对一个图形而言的.知道轴对称图形的定义后,大家观察图2并思考两个问题:(1)圆是不是轴对称图形?(2)如果是,它的对称轴是什么?(电脑显示圆沿直径所在直线的折叠动画)学生:圆是轴对称图形,它的对称轴是直径.教师:对… 相似文献
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数学题的解法并非一成不变 ,如果我们从不同的角度分析问题 ,就可能找到不同的解题思路。如义务教育三年制初中几何第二册第 2 6 4页 2 0题 (如图 1 ) ,ＢＤ =ＣＥ ,求证 :ＡＣ·ＥＦ =ＡＢ·ＤＦ。其证明方法就有几种。[证明 1 ] 过点Ｄ作ＤＧ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｇ(图 2 ) ,则ＡＣＡＢ=ＤＧＢＤ,ＤＦＥＦ=ＤＧＣＥ。因为ＢＤ =ＣＥ ,所以 ＡＣＡＢ=ＤＦＥＦ,即ＡＣ·ＥＦ =ＡＢ·ＤＦ。[证明 2 ] 过点Ｄ作ＤＧ∥ＢＦ交ＡＣ于Ｇ(图 3) ,则 ＡＤＡＢ=ＡＧＡＣ,所以ＡＢ -ＡＤＡＢ =ＡＣ -ＡＧＡＣ ,ＢＤＡＢ=ＣＧＡＣ,ＡＣＡＢ=ＣＧＢＤ (1 )又… 相似文献
3.
题目 已知Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ顺次在圆Ｏ上 ,ＡＢ =ＢＤ ,ＢＭ垂直于ＡＣ ,垂足为Ｍ .证明 :ＡＭ =ＤＣ +ＣＭ .(第十二届江苏省初中数学竞赛题 )图 1分析 本题图形简单(见图 1) ,仅有一个圆和几条线段 ,若不仔细分析其中的关系 ,不易找出解题思路 .本文将采用证明一条线段等于另两条线段的和的常规方法 ,即截长法和补短法 ,以及由垂径定理得出的对称法和利用平行线的性质来证得结论 .证法一 (截长法 )如图 2 ,截取ＡＥ =ＣＤ ,连结ＢＥ交ＡＭ于Ｆ ,连结ＢＣ、ＡＥ、ＡＢ .∵ ∠ＡＣＢ =∠Ｅ =ｍ 12 ＡＢ =12 ＢＤ =12 (ＡＥ +ＢＣ) =ｍ ∠Ｆ… 相似文献
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义务教材 (人教版 )《几何》第二册 193页 18题 :已知 :ＡＤ是△ＡＢＣ的中线 ,Ｅ是ＡＤ的中点 ,Ｆ是ＢＥ的延长线与ＡＣ的交点 .求证 :ＡＦ =12 ＦＣ .这是一道看似平常 ,却回味无穷的问题 ,在教与学中可从不同角度探究其解法 .简证 1 过Ｄ作ＤＧ∥ＢＦ交ＡＣ于Ｇ点 ,(如图1) ,则 ＣＤＤＢ=ＣＧＧＦ,ＡＥＥＤ =ＡＦＦＧ,结合ＡＥ =ＥＤ ,ＢＤ =ＤＣ ,可证得ＡＦ =12 ＦＣ .图 1 图 2 简证 2 过Ｄ作ＤＧ∥ＡＣ交ＢＦ于Ｇ(如图2 ) ,则 ＢＤＢＣ=ＧＤＦＣ,ＡＥＥＤ=ＡＦＧＤ,结合ＡＥ =ＥＤ ,ＢＤ =ＤＣ ,可证得ＡＦ =1… 相似文献
5.
圆锥曲线中与对称轴不垂直的焦点弦两端点为Ａ、Ｂ(当曲线是双曲线时 ,Ａ、Ｂ在双曲线的同一支上 ) ,其在对应的准线上的射影分别是Ｄ、Ｃ ,四点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ所围成的四边形称之为圆锥曲线的焦直角梯形 ,简称为焦直角梯形 .如图 1,焦直角梯形ＡＢＣＤ中 ,显然有｜ＡＦ｜ =ｅ｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=ｅ｜ＢＣ｜ ,其中ｅ为离心率 . 图 1性质 1 焦直角梯形ＡＢＣＤ中 ,Ｆ为焦点 ,ＥＦ ⊥ＣＤ于Ｅ ,Ｐ为ＥＦ的中点 ,则Ａ、Ｐ、Ｃ ,Ｂ、Ｐ、Ｄ三点共线 .证明 连结ＡＣ交ＥＦ于Ｐ′(如图 1) ,设｜ＡＤ｜=ｍ ,｜ＢＣ｜ =ｎ ,则｜ＡＦ｜ =… 相似文献
6.
在解决一些不规则图形问题时 ,往往需要把不规则图形通过分割、补全的方法 ,使其转化为特殊图形 ,如直角三角形、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形等 ,从而使问题迎刃而解 .这一过程体现了从一般到特殊的化归思想 .下面用不同的割补方法解一道中考数学题 .图 1例 某片绿地的形状如图 1所示 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ⊥ＢＣ ,ＡＤ⊥ＣＤ ,ＡＢ =2 0 0ｍ ,ＣＤ =1 0 0ｍ .求 :ＡＤ、ＢＣ的长 .( 2 0 0 2 ,天津市中考题 )( 1 )分割图形图 2分析一 :如图 2 ,作矩形ＢＣＥＦ ,解Ｒｔ△ＣＤＥ ,求出ＣＥ、ＤＥ .由ＣＥ =ＢＦ ,有ＡＦ =ＡＢ -ＢＦ =ＡＢ… 相似文献
7.
几何“ａ2 =ｂｃ”型的命题 ,综合性强 ,证法灵活 ,是训练初中学生思维能力的重要题型 ,也一直是中考的“热点” .本文举例说明此类题型常用的证明方法利用共边相似三角形证明 图 1例 1 如图 1,已知⊙Ｏ与⊙Ａ相交于Ｂ、Ｃ两点 ,经过点Ａ ,过Ａ作⊙Ｏ的弦ＡＦ交⊙Ａ于Ｅ ,交ＢＣ于Ｄ .求证 :ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .证明 连结ＢＦ ,ＡＣ ,∵ＡＢ =ＡＣ ,∴∠ＡＢＣ =∠ＡＦＢ .又∵∠ＢＡＤ =∠ＦＡＢ ,∴△ＡＢＤ∽△ＡＦＢ ,有 ＡＢＡＦ =ＡＤＡＢ,故 ＡＢ2 =ＡＤ·ＡＦ .2 利用等高相似三角形证明 图 2例 2 … 相似文献
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1 分析法分析法就是从题目的结论出发 ,逐步找出使结论成立的原因 ,直到找出所用的原因恰好是题目的已知条件或所学过的定理 ,再按分析的思路从后往前把证题过程写出来 .图 1例 1 如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ ,⊙Ｏ过点Ａ且与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ、ＡＣ分别相交于Ｅ、Ｆ ,ＡＤ与ＥＦ相交于Ｇ .求证 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ .( 2 0 0 1 ,河南省中考题 )证题思路 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ ＡＦＤＣ=ＧＦＦＣ △ＤＣＦ∽ＡＦＧ(连结ＤＦ) ∠ＣＤＦ =∠ＦＡＤ∠Ｃ =∠ＡＦＧ ＥＦ∥ＢＣ ∠ＥＦＤ =∠ＣＤＦ ∠ＥＦＤ =… 相似文献
9.
近年来 ,各地中考试题中经常出现一类矩形折叠问题 .由于折叠后重合的两部分关于折痕对称 ,因此 ,对于此类问题 ,需注意轴对称的性质的应用 ,同时结合勾股定理、相似三角形的性质及方程思想来求解 .一、折叠后求线段的长例 1 如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =8,ＢＣ =6,将矩形沿ＡＣ折叠后 ,点Ｄ落在点Ｅ处 ,且ＣＥ与ＡＢ交于点Ｆ ,那么ＡＦ的长是.( 2 0 0 0年新疆维吾尔自治区中考题 )解 由题意可得∠ 1 =∠ 2 ,ＣＥ =ＣＤ =ＡＢ=8,ＡＥ =ＡＤ =ＢＣ =6,ＡＣ =ＡＢ2 +ＢＣ2 =1 0 .由ＡＢ∥ＣＤ ,得∠ 1 =∠ 3 .∴ ∠ 2 =∠ 3 .∴ ＡＦ… 相似文献
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20 0 2年安徽省初中升学统一考试有如下一道选择题 :如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ=3 ,ＡＤ =4,Ｐ是ＡＤ上的动点 ,ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ,则ＰＥ ＰＦ的值为 ( )Ａ .1 25 Ｂ .2 Ｃ .52 Ｄ .1 35该动点题出得灵巧 ,虽以选择题出现 ,但其解题的思维空间十分广阔 ,是培养和考查学生思维能力的一道好题 .本文现提供四种不同的解法 ,供读者参考 .1 特殊法(1 )如图 1 ,令动点Ｐ与Ａ重合 ,则有ＰＥ =0 ,ＰＥ ＰＦ =ＰＦ ,因为ＡＢ =3 ,ＡＤ =4,所以ＢＤ =ＡＢ2 ＡＤ2 =5 ,而Ｓ△ＡＢＤ =12 ＡＢ·ＡＤ =12 ＢＤ·ＰＦ… 相似文献
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所谓旋转变换是指图形绕一定点 (旋转中心 )按一定方向旋转一个角度 (旋转角 ) ,得到与原图形全等的图形 .旋转变换是平面几何解题中常用的手段 ,它不仅能使一些几何解题化难为易 ,而且对培养学生的变换能力大有好处 .现就旋转变换在平面几何解题中的应用举例说明 .1 解决有关线段关系问题图 1例 1 如图 1,已知点Ｅ、Ｆ分别在正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ、ＣＤ上 ,且∠ＤＡＦ=∠ＥＡＦ .求证 :ＢＥ ＤＦ =ＡＥ .分析 从图中可以看出 ,题设和结论是分散的 ,需要集中 .如何集中呢 ?想办法把△ＡＤＦ与△ＡＢＥ连在一块就行了 .于是考虑将△… 相似文献
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丁柏川 《中学数学教学参考》2000,(10)
1999年全国初中数学联合竞赛第二试第二题 :ＡＤ是△ＡＢＣ的高 ,以Ｄ为圆心 ,ＡＤ为半径作⊙Ｄ交ＡＢ于Ｅ ,交ＡＣ于Ｆ ,ＡＢ =5,ＡＥ =2 ,ＡＦ =3 .求ＡＣ的长 .本文对该题做如下几方面的思考和探讨 .一、一题多解解法 1.如图 1,过Ｄ分别作ＤＰ⊥ＡＢ ,垂足为Ｐ ,ＤＱ⊥ＡＣ ,垂足为Ｑ ,由垂径定理得ＡＰ =1,ＡＱ= 32 .易得△ＡＤＰ∽△ＡＢＤ ＡＤＡＢ= ＡＰＡＤ ＡＤ =5.同样有△ＡＤＱ∽△ＡＣＤ ＡＤＡＣ =ＡＱＡＤ ＡＣ =103 .解法 2 .如图 1,延长ＡＤ交⊙Ｄ于Ｍ ,连结ＭＥ及ＭＦ ,可得ＡＤ =5 ＡＭ =2 5,易得Ｒｔ△ＡＭＦ∽Ｒｔ… 相似文献
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林同坡 《中学数学教学参考》2000,(9)
《中学数学教学参考》1 999年第 1 2期第 1 8页之例 3,是一道几何证明题范例 ,但原文是利用很复杂的三角恒等式来解决的 .下面给出该例题之简短几何证明 ,供读者参考 .原题 已知ＡＢＣＤ是正方形(图 1 ) ,在ＢＣ边上任取一点Ｅ ,又ＡＦ平分∠ＤＡＥ交ＣＤ于Ｆ .求证 :ＡＥ =ＢＥ ＤＦ .几何证法 :以Ａ为轴心 ,将△ＡＤＦ旋转 90°到△ＡＢＧ的位置(图 2 ) .显然 ,Ｇ点在ＣＢ的延长线上 .设∠ＤＡＦ =α ,则∠ＤＦＡ =90° -α ,且∠ＦＡＥ=α .但∠ＦＡＧ =90°,故∠ＥＡＧ=90° -α .而∠ＢＧＡ =∠ＤＦＡ ,因此∠ＢＧＡ =∠ＥＡＧ ,所以… 相似文献
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题 (2 0 0 2年全国初中数学竞赛试题一 ,3 ) 点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ的中点 ,连ＡＦ、ＣＥ ,设ＡＦ、ＣＥ交于点Ｇ ,则 Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ等于 ( )。(Ａ) 56 (Ｂ) 45 (Ｃ) 34 (Ｄ) 23本文给出该试题的两个推广。定理 1 点Ｅ、Ｆ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、ＢＣ上的内点 ,且 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ(ｋ >0且ｋ∈Ｒ) ,连ＡＦ、ＣＥ相交于点Ｇ ,则Ｓ四边形ＡＧＣＤＳ矩形ＡＢＣＤ=ｋ 1ｋ 2 。证明 设ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,连结ＡＣ、ＥＦ ,如下图。∵ ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ=ｋ ,∴ＥＦ∥ＡＣ ,Ａ… 相似文献
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在处理有关两圆相交、相切等问题时 ,常常要添加适当的辅助线 ,将较为分散的条件和图形相对集中 ,从而使问题能简捷获解 .这时 ,公切线或公共弦是重要的辅助线 ,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角等得以沟通 .一、当两圆相交时 ,通常需要作出公共弦例 1 如图 1,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,过Ｂ点作⊙Ｏ1 的切线交⊙Ｏ2 于Ｄ点 ,连结ＤＡ并延长 ,与⊙Ｏ1 相交于Ｃ点 ,连结ＢＣ ,过Ａ点作ＡＥ∥ＢＣ ,与⊙Ｏ2 相交于Ｅ点 ,与ＢＤ相交于Ｆ点 .(1)求证 :ＥＦ·ＢＣ =ＤＥ·ＡＣ .(2 )若ＡＤ =3 ,ＡＣ =1,ＡＦ =3 ,求ＥＦ… 相似文献
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定理 如果△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,点Ｄ、Ｅ、Ｆ依次分△ＡＢＣ三边所成的比分别为λ1、λ2 、λ3 ,那么Ｓ△ＤＥＦ =1 λ1λ2 λ3 (1 λ1) (1 λ2 ) (1 λ3 ) Ｓ . 证明 先看点Ｄ、Ｅ、Ｆ均在三边上 ,由已知得 ＡＤ∶ＤＢ =λ1,ＢＥ∶ＥＣ =λ2 ,ＣＦ∶ＦＡ =λ3 ,于是有ＡＤ =λ11 λ1ＡＢ ,ＢＤ =11 λ1ＡＢ ,ＢＥ =λ21 λ2ＢＣ , ＥＣ =11 λ2ＢＣ ,ＣＦ =λ3 1 λ3 ＣＡ , ＦＡ =11 λ3 ＣＡ .∴Ｓ△ＡＤＦ =12 ＡＤ·ＡＦｓｉｎＡ=12 · λ11 λ1ＡＢ· 11 λ3ＣＡ·ｓｉｎＡ= λ1(1 λ1) (1 λ3 ) · 12 ＡＢ·ＡＣ·ｓｉｎ… 相似文献
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定理 1 设Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上的点 ,且 ＡＤＤＢ =ｘ ,ＡＥＥＣ =ｙ(ｘ、ｙ∈Ｒ+ ) ,ＢＥ、ＤＣ交于点Ｇ ,连结ＡＧ交ＢＣ于点Ｆ .则(1) ＢＦＦＣ =ｙｘ ; (2 ) ＡＧＧＦ =ｘ +ｙ ;(3)Ｓ△ＤＥＦ =2ｘｙ(1+ｘ) (1+ｙ) (ｘ +ｙ) Ｓ△ＡＢＣ.证明 (1) ＢＦＦＣ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＡＣＧ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＧＢＣＳ△ＡＣＧＳ△ＧＢＣ =ＡＥＥＣＡＤＤＢ=ｙｘ .(2 ) ＡＧＧＦ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＧＢＦ =Ｓ△ＡＧＣＳ△ＧＦＣ =Ｓ△ＡＢＧ+Ｓ△ＡＧＣＳ△ＧＢＣ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＧＢＣ +Ｓ△ＡＧＣＳ△ＧＢＣ =ｘ +ｙ .(3)∵ … 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1 如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 ) 解 ∵ ∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴ ∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵ ∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ △ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴ ＢＤ =ＣＥ .∵ Ｃ… 相似文献
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一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.① 再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.② 比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ… 相似文献