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平几名题之一——圆内蝴蝶定理是众所周知的;而并中先生给出的四边形蝴蝶定理,则鲜为人知。请看下述命题及其证明: 命题1 设M是四边形ABCD的对角线的交点,过M作两直线分别与AB、CD交于P、Q,与AD、BC交于R、S,连PR、QS分别与MA、MC交于G、H(图1),则 (MG)/(AG)·(CH)/(MH)=(MC)/(MA)。命题2 凹四边形两对角线交于M,过M作两直线分别交直线AB、CD于P、Q,交直 相似文献
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1993年安徽省和1985年成都市都选用了一道中考试题:如图1,已知在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于F.求证:(AB)/(AC)=(DF)/(AF). 相似文献
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平面几何中有关二次方程的问题,大多可以应用韦达定理去解。兹举例如下: 梯形ABCD中(图1),∠B作圆,交BC于E,F。设∠EAB=α,∠EAD=β,求证tgα和tgβ是方程AB·x~2-BC·x+CD=0的两个根。[分析]:在这道题中,只要证明tgα+tgβ=(BC)/(AB),tgαtgβ=(CD)/(AB)就行了。由已知条件,tgα=(BE)/(AB);联DE,∵AD为直径,90°。以AD为直径∠AED=∴tgβ=(DE)/(AE)。但(BE)/(AB)和(DE)/(AE)的分母不同,所以还要化简。联AF,因A、D、F、E四点共圆。∴∠ADE=∠AFE,∠FAB=90°-∠AFE=90°-∠ADE=β,∴tgβ=(BF)/(AB)。因此,解本题的关键在于证 相似文献
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在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,(1)DE平分,(2)CE平分∠BCD;(3)DE⊥CE;(4)E是AB的中点;(5)AD+BC=CD,以其中两个为题设,其余三个为结论,是真命题的有几个,并会证明.析以其中两个为题设,其余三个为结论组合成的命题有十个,其中有九个是真命题,笔者就其中六个进行简单的分析证明.命题1(1)(2)→(3)(4)(5)已知,如图(1),直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,若DE平分,CE平分交AB于E,求证(1)DE;(2)E是AB的中点;(3)AD+BC=CD. 相似文献
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李飞 《数理天地(高中版)》2008,(4):23-24
本文根据三元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零这个定理,对四则国内外赛题用构造方程组法给以证明.例1设AM是△ABC中BC边上的中线,任作一直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N.求证:(AB)/(AP)、(AM)/(AN)、(AC)/(AQ)成等差数列.(78年辽宁省数学竞赛) 相似文献
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题 ("双胞胎"母子三角形面积不等式题) 在△ABC中,D为BC边上的定点,(BD)/(DC)=m∈R 为定值,G为AD(不含点A、D)上的点,BG、CG的延长线分别交AC、AB于点E、F,求不等式: 相似文献
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郭建斌 《数理天地(高中版)》2008,(8):2-2
内(外)角平分线定理:如图1(图2),△ABC中,AD为∠BAC的内(外)角平分线的充要条件是(AB)/(AC)=(BD)/(DC). 相似文献
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命题1 G为△ABC内部的一点,BG、 CG的延长线交AC于E,交AB于F,连接EF,则有55112EFGABCSSDD-. 证明 如图,连接AG, 并延长AG交BC于D, AD交EF于H, 令BDDC ,m=,CEnEA=AFpFB=,由 塞瓦(Ceva)定理知: 1mnp?. AD为△BCE的截线,由梅湟劳斯定理知:BDCAEGDCAEGB鬃=1,1CAnAE=+,,BGmnmEG=+ 1BGmnmEG=++, 又FHE为△ABG的截线, 1AFBEGHFBEGHA?, 1(1)GHAHpmnm=++. ∴11EFGAFESSmppDD=++, 又sin/2sin/2AFEABCSAEAFEAFSABACBACDD仔=仔 111AFAEpABACpn=??+ , ∴EFGEFGAFEABCAFEABCSSSSSSD… 相似文献
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1990年中国数学竞赛,出现了筝形蝴蝶定理的命题．
【命题1】如图1,在筝形ABCD中,AB=AD,BC=DC,过AC、BD的交点O引直线EF、GH分别交AB、CD于E、F及交DA、BC于G、H．EH、GF分别交BD于P、Q,则OP=0Q． 相似文献
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(1999年山东省初中数学竞赛)如图1,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,P是AD的中点,连结BP并延长交AC于E,已知AC：AB=R．求AE：EC．分析：由已知AC：AB=R,可求出BD：DC的值．根据Rt△ABD∽Rt△CBA,Rt△CAD∽Rt△CBA,可得AB2=BD·BC,AC~2=DC·BC,从而求得(BD)/(DC)=(AB~2)/(AC~2)=1/R~2,所以(BD)/(BC)=1/(1+R~2),然后再求AE：CE的值．我们知道要求比值,一般需借助于平行线, 相似文献
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1990年全国高中数学冬令营选拔赛试题第3题为(见文[1]): 在“筝形”ABCD中,AB=AD,BC=CD,经过AC、BD的交点O任作两条直线,分别交AD于E,交BC于F,交AB于G,交CD于H。CF、EH分别交BD于I、J。求证:IO=JO(图1)。 李长明教授在《筝形性质的推广与蝴蝶定理的关联》一文中将其作了如下推广(见文[2]): 相似文献
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闵耀明 《中学数学教学参考》2008,(6)
1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD. 相似文献
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命题1 在四边形ABCD中，P是对角线AC，BD的交点．过P作一条直线分别交AB，CD于E、F，BF交AC于T，DE交AC于R，BR交AD于M，DT交BC于N，则M，P，N三点共线． 相似文献
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例1如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD,过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连结EG、AF.(1)求EG的长;(2)求证:CF=AB+AF.解析:命题者把等腰直角三角形与钝角三角形有机地组成一个梯形,令等腰直角三角形的斜边为梯形的下底,钝角三角形的最小边为 相似文献
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陈德前 《山西教育(综合版)》2003,(18):23-23
等腰三角形“三线合一”性质 :等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。它包含以下三个真命题 :在△ ABC中 (如图 1) ,(1)若 AB=AC,AD⊥ BC,那么 BD=CD,∠ 1=∠ 2 ;(2 )若 AB=AC,BD=DC,那么 AD⊥ BC,∠ 1=∠ 2 ;(3)若 AB=AC,∠ 1=∠ 2 ,那么 AD⊥ BC,BD=DC。可以证明 ,上述三个命题的逆命题都是真命题。综合上述六个命题 ,可知 :在△ ABC中 ,如果 1AB=AC;2 AD⊥ BC;3BD=DC;4∠ 1=∠ 2四项中任意两项成立 ,那么其余两项一定成立。下面举例说明等腰三角形“三线合一”在解题中的应用。例 1.已知 :… 相似文献
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问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点 相似文献
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<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长. 相似文献