对椭圆的两个新性质再研究     

万连飞 《数学教学研究》2003,(8):42-43

文[1] 给出有关椭圆的两个性质 ,对于这两个性质本文给以引申和证明 .　　　　　　图 1推论 1　如图1所示 ,椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 　 (a>0 ,b>0 )过切点M的切线l与以椭圆长轴为直径的圆O从左至右依次交于A、B两点 ,则以线段MF1、MF2 为直径的圆与圆O分别内切于A、B两点 (其中F1、F2为双曲线的左右焦点 ) .证明　设M (acosθ ,bsinθ) ,F1(-c,0 ) ,F2 (c,0 ) ,由文 [1]定理 1证明 ,可知A(ab2 cosθ -a2 csin2 θa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ,a2 bsinθ +abcsinθcosθa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ) ,B(ab2 cosθ+a2 csin2 θa2 sin2 θ+b2…  相似文献   

用课本结论简解九道高考题或竞赛题     

甘志国 《数理化学习(高中版)》2015,(3):18

一、用公式sin3α=3sinα-4sin3α简解题设中含"B=2A"的两道解三角形的高考题普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》第138页的习题B组第1题是:证明:(1)sin3α=3sinα-4sin3α;(2)cos3α=4cos3α-3cosα.笔者发现运用上面的第一个公式"sin3α=3sinα-4sin3α"可以简解题设中含"B=2A"的解三角形问题.定理1:在△ABC中,若B=2A,则cos A=b/(2a),a(a+c)=  相似文献   

方程根的定义在解题中的应用     

赵绪昌 《中学数学教学》2004,(2):25-25

本文例谈应用方程根的定义解题,方法新颖,简捷明快. 例1 已知a、b是关于z的方程 z2 sinθ z cosθ-1=0 的两个不等实根,求证:无论θ为何值,在坐标平面上过点A(a,a2)、B(b,b2)的直线恒切于一定圆.  相似文献   

错在哪里     

李耀先  张国坤  韩勤  张肇 《中学数学教学》2003,(6):48-49

1　云南曲靖一中　李耀先　张国坤　(邮编 :6550 0 0 )题　已知两个复数集合A ={z|z =cosθ +( 4 -m2 )i,m∈R ,θ∈R},B ={z|z =m +(λ +sinθ)i,m∈R ,θ∈R},若A∩B≠ ,求实数λ的取值范围。解　由于A∩B≠ ,故存在m、θ∈R ,使得cosθ+( 4 -m2 )i=m +(λ +sinθ)i,故 cosθ=m ,4-m2 =λ +sinθ, λ =4-cos2 θ-sinθ=sin2 θ -sinθ +3 =(sinθ -12 ) 2 +1 14,因为 -1≤sinθ≤ 1 ,所以当sinθ=12 时 ,λmin=1 14;当sinθ =-1时 ,λmax=5。故λ的取值范围是 [1 14,5 ]。解法错了 !错在哪里 ?错在没有注意到两个集合的交集非空…  相似文献   

新加坡数学试题选(2)     

《中学数学月刊》2003,(10)

Question 1(a) If f(x+x-1 ) =x3 +x-3 ,determine the function f(x) .(b) Solve the equation2 3 log1 0 x 5 log1 0 x =16 0 0 .(c) L etf(x) =(m2 - 1) x2 +(m- 1) x+n+2 ,(m≠ 1) ,be an odd function and m and n areconstants.Determine whether g(x) =xm +xn is an even or an odd function,or neither.Question 2(a) Express 5 sinθ+12 cosθ in the form Rsin(θ+α) ,where R is positive andα is acute.(b) If sinα+cosα=13,andα∈ (0 ,π) ,determine sin3 α- cos3 α.(c) Ues the relationship eiθ=cosθ+isinθ …  相似文献   

关于三角函数最值的几条结论     

张广学 《中学数学教学参考》2006,(7)

定理1 设α_1,α_2,…,α_n∈[2kπ,(2k+1)π],其中 k 取自然数,α_1+α_2+…+α_n=θ(θ为定值),则 sin α_1+sin α_2+…+sin α_n≤nsin θ/n,当且仅当α_1=α_2=……α_n=θ/n 时等号成立(其中 n≥2).证明:采用数学归纳法.①当 n=2时,sin α_1+sin α_2=2sin((α_1+α_2)/2)cos((α_1-α_2)/2)=2sin(θ/2)cos((α_1-α_2)/2)≤2sin(θ/2).②假设 n=m 时命题成立(这里的 m 是大于2的自然数),  相似文献   

巧用极限思想解题     

朱正峰 《中学数学月刊》2000,(7)

极限是进一步学习高等数学的重要工具 ,极限思想是从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的一种数学方法 ,某些中学数学问题 ,运用极限思想具有它独特的方法 .下面我们利用极限思想解几个问题 .1　利用极限思想解三角问题例 1　对任何 θ∈ (0 ,π2 )都有 (　 )(A) sin sinθcosθ>cos cosθ(C) sin cosθ相似文献   

具Jacobi结点的拟Hermite-Fejer插值逼近     

姜功建 《零陵学院学报》1988,(3)

本文研究了以Jacobi多项式J_n(x)=sin2n+1/2 θ/sin:θ/2,(x=cosθ)的零点为基点的2n次拟Hermite-Fejer插值多项式G_n(f,x)的点态逼近阶。  相似文献   

到底要不要再检验     

兰诗全 《数学教学研究》2016,(9)

问题已知关于x的方程x2-kx+k+1=0的两个根为sinθ和cosθ,求实数k的值. 解法1 由二次方程根与系数的关系,得 { sin θ+cos θ=k,sin θcos θ=k+1. 而 (sin θ+cos θ)2=1+2sin θcosθ, 所以 k2=1+2(k+1), 即 k2-2k-3=0, k=3或k=-1. 思考 以上解法对吗?给足思考时间,引导学生积极互动、广泛交流、不断思考,终于明白是非.以上解法中得出的k值是否满足△≥0?要检验!  相似文献   

解三角题的方程视角     

尚继惠 《数学教学通讯》2004,(Z4)

许多三角题若运用方程视角来审视,就会发觉解题路子比原来更宽.本文例述其主要思考方式.一、直解方程即问题明确呈现方程本质,只须从中直接解出所求即可.例1已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),求cotθ的值.解析:本题解法较多,但最为稳妥的方法是解方程组:sinθ+cosθ=15,sin2θ+cos2θ=1.即有:sin2θ+(15-sinθ)2=1,整理得25sin2θ-5sinθ-12=0,(5sinθ+3)(5cosθ-4)=0,∴sinθ=45(舍sinθ=-35,∵θ∈(0,π)),从而cosθ=-35,∴tanθ=-43,cotθ=-34.例2在△ABC中,A+C=2B,且1cosA+1cosC=-2cosB,求cosA-C2的值.解析:由条件易知B=60°,从而A+…  相似文献   

联想·推广·变式     

杨文光 《河北理科教学研究》2008,(3)

三倍角公式:sin3θ=3sinθ-4sin3θ,cos3θ=4cos3θ-3cosθ. 题目 求sin213° cos243° sin13°cos43°的值. 联想:sin213° cos243° sin13°cos43°形如a2 b2 ab.若a-6≠O,则a2 b2 a6a3-b3/a-b.  相似文献   

辅助角公式在高考三角题中的应用     

柳毓 《数理化学习(高中版)》2006,(20)

对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小…  相似文献   

“三角形正切、余切公式”的应用     

蔡玉书 《中学数学月刊》2002,(12):35-37

在△ ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,S是△ ABC的面积 ,由半角公式tan α2 =1 - cosαsinα 及余弦定理易得一组正切公式 :tan A2 =a2 - ( b- c) 24 S ,tan B2 =b2 - ( c- a) 24 S ,tan C2 =c2 - ( a- b) 24 S .由余弦定理可得一组余切公式 :cot A=b2 + c2 - a24 S ,cot B=c2 + a2 - b24 S ,cot C=a2 + b2 - c24 S .这两组公式结构对称 ,易于记忆 ,作用类似于正弦定理、余弦定理 ,用于解一些三角题可达到事半功倍的效果 .本文精选几例 ,以飨读者 .例 1　设 a,b,c是三角形的三条边 ,α,β,γ是这三条边的对角 ,如果 a2 + b2 …  相似文献   

异面直线距离公式的变通应用     

甘大旺 《高中数理化》2008,(3):7-9

图1题根普通高中数学必修课本第9.8节的例2结论是──两条异面直线a和b所成的角为θ(如图1),在直线a、b上分别取点E、F,且A′E=m、AF=n、EF=l、则公垂线段A′A的长(即异面直线a和b的距离)为d=l2-m2-n22mn·cosθ.①注:对于公式①中的负正号“”,当〈A′E,AF〉=θ是锐角或直角时  相似文献   

│a·b│≤│a│·│b│在解题中的应用     

王惠丰 《中学数学月刊》2006,(11)

向量作为一种工具在解题中的应用极广,巧用公式a·b≤a·b解题,方法新颖、运算简捷.本文举例说明该公式的应用.1在求值中的应用例1若α,β∈(0,π),求满足等式cosα+cosβ-cos(α+β)=23的α,β的值.解原等式可化为(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.构造向量a=(1-cosβ,sinβ),b=(cosα,sinα),则a·b=(1-cosβ)2+sin2β·cos2α+sin2α=2-2cosβ,a·b=(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.因为(a·b)2≤a2b2,所以(23-cosβ)2≤2-2cosβ,即(cosβ-12)2≤0,所以cosβ=21,β=3π.又α,β地位相同,故α=3π,即α=β=3π.2在求最值和值域中的…  相似文献   

巧用Sin~2α+Cos~2α=1解题     

书刚 《初中生必读》2008,(3):28-29

一、正用例1已知sinα+cosα=m,sinαcosα=n,则m,n的关系是().A.m=n B.m=2n+1 C.m~2=2n+1 D.m~2=1-2n解将sinα+cosα=m两边平方,得sin~2α+2sinαcosα+cos~2α=m~2,  相似文献   

高一第二学期期末测试     

毛仕理 《高中数学教与学》2005,(5):23-26

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.若α ,β∈ 0 ,π2 ,且cosα>sinβ ,那么下列关系式中正确的是 (　　 )　　 (A)α+ β=π2 　　 (B)α+ β>π2　　 (C)α + β <π2 (D)α >β2 .设θ是第二象限角 ,则必有 (　　 )　 (A)tan θ2 >cot θ2 　 (B)tan θ2 cos θ2 　 (D)sin θ2 相似文献   

一道求数列通项题的两种解法     

季刚祥 《数理天地(高中版)》2014,(12):10-10

题目 已知数列{an}、{bn}中,an=an-1cosθ-bn-1sinθ,bn=an-1sinθ＋bn-1cosθ,（n∈N^＊,n〉1）,其中a1=1,b1=tanθ,θ是常数,求数列{an}、{bn}的通项公式。  相似文献   

“至少”与“至多”     

李婧怡 《数学大世界(高中辅导)》2004,(6):34-35

题目:已知sin2α=a,cos2α=b,则 tan(α+π4)的值是(　　) (A)b1-a(B)1+ab (C)1+a+b1+b-a(D)a-b+1a+b-1 解法(一):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=cos2α-sin2α(cosα-sinα)2=cos2α1-sin2α =b1-a.故选(A) 解法(二):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α …  相似文献   

用极坐标法证明两条直线垂直     

于志洪 《中等数学》1983,(2)

由平面直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ,可得极坐标系中两点P_1(ρ_1,θ_1)、P_2(ρ_2,θ_2)所决定的直线的斜率公式为: K_(p_1P_2)=(ρ_2sinθ_2)-ρ_1sinθ_1)/(ρ_2cosθ_2)-ρ_1cosθ_1)。本文拟应用这一公式来证明平面几何中有关直线互相垂直的一些问题。  相似文献