勾股弦数的表法及一个性质     

魏贵民 《数学教学通讯》1983,(4)

不定方程x~2+y~2=z~2 (1)的正整数解x=a,y=b,z=c,称为一组勾股弦数a、b、c. 《数学通报》1979年第5期,《勾股数组的一个性质》一文论证了一个有趣的性质: 勾股弦数a、b、c中,必有含因子3的数,必有含因子4的数,必有含因子5的数。  相似文献   

一类“范围”问题的统一构图解法     

陈友才 《中学数学月刊》1999,(7)

在数学竞赛中和中数期刊上常出现这样一类求实数“取值范围”的问题: 题1 已知x y z=m(m>0),x~2 y~2 z~2=m~2/2,求证:x,y,z,都属于[0,(2m) /3]。 题2 已知正数a,b,c,d满足a b c d=6,a~2 b~2 c~2 d~2=12,求d的取值范  相似文献   

一道联赛加试题的构造性简解     

王立新 《中学数学教学参考》2006,(13)

2005年全国高中数学联赛加试题第二题如下:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy+bz=a;az+cx=b;bx+ay=c,求函数 f(x,y,z)=x~2/(1+x)+y~2/(1+y)+z~2/(1+z)的最小值.本文运用构造法给出一个比较简捷的解法,供大家参考.根据条件不等式及待求分式结构,构造随机变量ξ的分布列如下:  相似文献   

不定方程x~2+y~2+z~2=w~2的正整数解     

Deng Bo 《安顺学院学报》1994,(2)

本文完全解决了不定方程x~2+y~2+z~2=w~2的正整数解这一问题。  相似文献   

一道竞赛题的简解及联想     

陈奉葳 《中学教研》1992,(11)

《中学教研》(数学)1991第8期第9页上说到一道美国数学奥林匹克竞赛题: 确定下面方程组的实数解 x+y+z=3, ① x~2+y~2+z~2=3, ② x~3+y~3+z~3=3。③ 1.该文提供了七种解题思略,看了以后很受启发,我们这里提供一种解法,可称为平移法。令 x=1+a,y=1+b,z=1+c。④将④代入①得 a+b+c=0, ⑤复将④代入②并利用⑤  相似文献   

一道柯西不等式背景题的变式探究     

黄光明  杨苍洲 《福建中学数学》2013,(Z1):22-24

题目(2012年高考湖北卷·理6)设口,b,c,x,y,z是正数,且a~2+6~2+c~2=10,x~2+y~2+z~2=40,ax+by+xz=20,则a+b+c/x+y+z=A.1/4.B.1/3 C.1/2 D.3/4以上题目旨在考查柯西不等式、等比性质等基础知识.笔者将其进一步推广得到一般性的变式题1、2(如下),并进行探究.变式1设a,b,c,z,y,z,p,q,r.是正数,且a~2+b~2+c~2=p~2,x~2+y~2+z~2=q~2,ax+by+cz=r~2,  相似文献   

也谈条件等式的一些证法     

俞颂萱  林青 《数学教学研究》1985,(1)

本刊1984年第1期上何平老师的“条件等式的一些证法”一文,读后收益不少。但我们感到还可以作些补充。因式分解法有以下几种情况: 1、通过对已知条件分解因式,获得某种简单关系,使证明得到解决。例1 已知x~2-yz=y~2-zx,x(?)y,求证z~2-xy=y~2-zx。证由已知x~2-yz=y~2-zx,移项得 x~2-y~2+zx-yz=0,分解因式得(x-y)(x+y+z)=0,∵x(?)y,∴x+y+z=0。①又z~2-xy-(y~2-zx)=(z-y)(x+y+z),  相似文献   

2005年全国高中联赛加试第二题别解     

宋庆 《中学数学研究(江西师大)》2006,(1):46-47

2005年全国高中数学联赛加试第二题:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数 f(x,y,z)=x~2/(1 x) y~2/(1 y) z~2/(1 z)的最小值.下面给出与标准答案不同的另外四种解法.解法1:由条件可得 x=(b~2 c~2-a~2)/(2bc),故  相似文献   

求勾股数的方法     

钟扬 《中等数学》1988,(6)

设x、y、z是三个正整数,如果x~2+y~2=z~2,(1)则它们称做勾股数,也称毕达哥拉斯三元数组(Pythagorean Triples).当x,y,z满足(1)时,x或y必为偶数,否则有z~2=x~2+y~2≡2(mod4),这是不可能的. 如果勾股数x,y,z互素,就说是本原  相似文献   

巧解一道方程组     

邓甫修 《时代数学学习》1996,(5)

题目确定方程组{x+y+z=3;①x~2+y~2+z~2=3 ②x~3+y~3+z~3=3 ③的整数解. 解由①,得x+y=3-z,④由②,得(x+y)~2-2xy+z~2=3 ③  相似文献   

一个六元代数不等式的证明     

《中学数学教学》2019,(6)

<正>本文先通过构造函数,应用二次函数的判别式,给出文[1]中问题5的一种证明.问题已知a,b,c>0,x,y,z∈R,求证:a~3(y~2+z~2)+b~3(z~2+x~2)+c~3(x~2+y~2)≥2abc(yz+zx+xy).(1)证明由对称性,不妨设a≤b≤c.构造关于主元x的二次函数  相似文献   

一九七九年全国高等学校统一招生考试试题解答 数学（理工农医类）     

《数学教学通讯》1979,(1)

1.若(z-x)~2-4(x-y)(y-z)=0, 求证:x,y,z成等差数列。 [证一] (z-x)~2-4(x-y)(y-z) =z~2-2zx+x~2+4zx-4xy-4yz+4y~2 =(x+z)~2-2·2y(z+x)+4y =(z+x-2y)~2 =0,  相似文献   

1998年上海市初中数学竞赛(鹏欣杯)     

李大元  刘鸿坤  曾容  叶声扬 《中等数学》1999,(4)

第一试 1.已知b、c为方程x~2 bx c=0的两个根,且c≠0.则(b,c)=____。 2.实数x、y、z满足 x=6-3y, x 3y-2xy 2z~2=0.  相似文献   

三元一次不定方程组的通解公式及其应用     

李先枝  王明建 《数学教学通讯》2003,(7)

我们已经知道二元一次不定方程ax+by=c(a,b,c都是整数,且(a,b)=1)的通解可由公式x=x0+bt y=y0-at(t是整数)来表示,而三元一次不定方程组a1x+b1y+c1z=d1, a2x+b2y+c2z=d2(ai、bi、ci都是整数,且(ai、bi、ci)=1,i=1,2)的通解是什么?通过探讨,得到如下定理:  相似文献   

一个代数不等式的初等证明     

张志华 《中学数学月刊》1997,(7)

定理 设x,y,z∈R,且x y z=0,则对任意的n∈N,恒有2~(n 1)(x~(2n) y~(2n) z~(2n))≥(x~2 y~2 z~2)~n (1)  相似文献   

一个不定方程的全部整数解     

《中学数学教学》2019,(6)

<正>文~([1])编入一道北欧数学奥林匹克竞赛题,求所有的整数组(x,y,z),满足三元三次不定方程x~3+y~3+z~3-3xyz=2003;文~([2-5])更进一步探讨了此方程的一般形式x~3+y~3+z~3-3xyz=d (1)现在,将方程(1)推广为四元三次的形式  相似文献   

关于丢番图方程x~2±y~4=z~5与x~5+y~5=z~2     

王福亮  王云葵 《小学教学参考》2001,(2)

利用费尔马无穷递降法证明了丢番图方程x~2±y~4=z~5,x~4-y~4=z~5,x~5+y~5=(Z|z)均没有正整数解。  相似文献   

一个不等式的推广     

韩雪涛  杨守艾 《中学数学研究(江西师大)》2008,(5):27-28

文[1]证明了一个不等武:0≤x,y,x_1,y_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,则L_2=(x~2 y~2)~(1/2) (x~2_1 y~2)~(1/2) (x~2 y~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2_1)~(1/2)≤2 2~(1/2),并根据L_2的几何意义提出了猜想.设0≤z,y,z,x_1,y_1,z_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,z z_1=1,则L_3=(x~2 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2_1)~(1/2)  相似文献   

关于一个三元对称不等式的几点思考     

裘良 《中学教研》2007,(2):37-38

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4  相似文献   

一道IMO试题的推广     

陈胜利 《中学教研》2003,(1):38-39

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)  相似文献