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唐玲 《数理化学习(高中版)》2011,(8)
数列递推公式的意义:若已知数列的第一项a_1且任一项a_n与前一项a_(n-1)之间的关系可以用一个公式表示.类型1形如a_(n+1)=a_n+f(n).解法:把原递推公式转化为a_(n+1)-a_n=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.例1已知数列{a_n}满足a_1=1/2,a_(n+1)= 相似文献
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数列是中学数学的重要内容之一,有关数列的习题形式多样,解法灵活,除要求较高的分析问题和解决问题的能力之外,还必须具有清晰的概念和比较坚实的基础知识,否则常因概念不清而导致谬误。举例于下: 一、判别数列的类型不确切。例1 已知数列{a_n}满足a_1=1,a_2=7,且a_n=2a_(n-1)+3a_(n-2)(n≥3) ①求a_n。错解:将2a_(n-1)拆成3a_(n-1)—a_(n-1)后,①式可化为 a_n+a_(n-1)=3(a_(n-1)+a_(n-2),从而 a_n+a_(n-1)/a_(n-1)+a_(n-2)=3 相似文献
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近几年的数学竞赛题中,出现了满足a_(n+k)=a_n(n,k∈N,k是常数)对所有自然数n都成立的数列{a_n},这样的数列被称作周期数列.一些文章指出:满足f(n)=f(n-1)+f(n+1)的数列{a_n},其中a_n=f(n)(n≥1)是以6为周期的数列;满足a_(n+1)=(1+a_n)/(1-a_n)的数列{a_n}是以4为周期的 相似文献
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武增明 《数理化学习(高中版)》2011,(13)
2007年高考山东理科数学第19题(以下简称试题1):设数列{a_n}满足a_1+3a_2+3~2a_3+…+3~(n-1)a_n=n/3,n∈N~*(Ⅰ)求数列{a_n}的通项;(Ⅱ)设b_n=n/a_n,求数列{b_n}的前n项和S_n.时隔仅二年,2009年高考湖北卷文科数学 相似文献
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如果数列{a_n}满足 a_n=c_1a_(n-1)+c_2a_(n-2)+…+C_ka_(n-k).(n≥k+1)(＊),其中c_k≠0,就称{a_n}是一个k阶线性循环数列。在高中数学课本中的等比数列与等差数列就是线性循环数列,因为公比为q的等比数列的定义式是a_n=qa_(n-1)(n=2,3,…).所以等比数列是一阶线性循环数列.因为等差数列的定义式是 相似文献
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数列的通项公式揭示了这个数列的内在规律。中学教材中,对等差数列、等比数列作了重点介绍,本文想在此基础上作一些推广。首先我们定义:multiply from i=k to n f(i)=1(k>n) 定理一:在数列{a_n}中已知a_1且满足 a_n=f(n)a_(n-1)+g(n) (n=2,3,4…)则a_n=a multiply from i=2 to n f(i)+sum from i=2 to n[g(i) multiply from i=i to n-1 f(i+1)] 证明:1°n=2,右边=f(2)a_1+g(2)=a_2 2°假定当n=k时命题成立即 相似文献
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二项式定理以结构的对称性给人以美的享受,这种美感更体现在它的广泛应用上。运用二项式定理证明一些不等式,结构简明,思路清晰,可达事半功倍之效。 例1 已知数列|a_n|,|b_n|,分别是等差数列和等比数列,且a_1=b_1,a_2=b_2,a_1≠a_2;a_n>0(n∈N~ ),求证:当n≥3时,a_nN时a_n<0,矛盾。故d>0。 n≥3,b_n=b_1q~(n-1)=a_(a_2/a_1)~(n-1) =a_1((a_1) a_1)~(n-1)=a_1(1 d/(a_1))~(n-1) =a_1[1 C_(n-1)~1d/(a_1) C_(n-1)~2 … C_(n-1)~(n-1)(d/(a_1))~(n-1)] 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2018,(4)
<正>一、数列本身各部分知识的综合例1已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n,且满足S_1>1,6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N_+,求{a_n}的通项公式。解析:利用n≥2时S_n-S_(n-1)=a_n将已知条件6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N+转化为a_n与a_(n-1)之间的关系。由a_1=S_1=1/6(a_1+1)(a_1+2),解得a_1=1或a_1=2,由假设a_1=S_1>1,因此a_1=2。又由a_(n+1)=S_n+1- 相似文献
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彭森宝 《中学数学研究(江西师大)》2006,(6):36-38
2005年江西省普通高校招生考试《数学(文科)》试卷的第22题,是全卷的最后一道题,带有压轴性质.其题目是:“已知数列{a_n}的前n项和 S_n 满足 S_n-S_(n-2)=3×(-1/2)~(n-1)(n≥3),且 S_1=1,S_2=-3/2,求数列{a_n}的通项公式”.考试到条件 S_n-S_(n-2)=a_n a_(n-1),故这道题考题实质上是已知数列递推关系 a_n a_(n-1)=mf(n) k 和起始值 a_1,求数列{a_n}的通项公式的问题.此类题型在多年高考中屡见 相似文献
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例1已知数列{a_n}中，a_1=1，对任意自然数n都有a_n=a_(n-1)+1/(n(n+1))，求a_n．解：由已知得a_n-a_(n-1)=1/(n(n+1))，a_(n-1)-a_(n-2)=1/((n-1)n)，…，a_3-a_2=1/(3×4)，a_2-a_1=1/(2×3)．以上n-1个式子累加，并利用1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，得a_n-a_1=1/(2×3)+…+1/((n-2)(n-1))+1/((n+1)n)+1/(n(n+1))=1/2-1/(n+1)，∴a_n=3/2-1/(n+1)．点评：求形如a_n-a_(n-1)=f(n)的数列通项，可用累加法． 相似文献
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今年广东文科数学的最后一题是设数列{a_n}满足a_1=1,a_2=2,a_n=1/3·(a_(n-1) 2a_(n-2))(n=3,4,…).数列{b_n}满足b_1=1,b_n(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤b_m b_(m 1) … b_(m k)≤1. 相似文献
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霍二东 《中学数学研究(江西师大)》2006,(7):29-30
排列组合中经常会碰到一类特殊的计数问题,看似排列组合应用题,但其复杂的情形常令人无从下手.若能根据题目特点建立递推数列则问题往往能迎刃而解.例1 有一楼梯共10级,如果规定每步只能跨上一级或二级,要走上这10级楼梯,共有多少种走法?解:设上 n 级共有 a_n 种走法,当 n=1时,一级楼梯只有1种走法,a_1=1;当 n=2时,两 相似文献
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设n是大于1的自然数,a>0。易知a(?)1时,a-1与n-(1+a+…+a~(n-1))总是异号。所以, (a-1)[n-(1+a+…+a~(n-1))]≤0。即(a-1)(n-(1-a~n)/(1-a))≤0。整理,有a(n-a~(n-1))≤n-1。①显然,①式等号成立的充分必要是a=1。如果a_1,a_2,…,a_n是n个正数,在①中令a=(a_1/((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(1/(n-1)),则有a_1~(1/(n-1))·(a_2+…+a_n)/(n-1)≤≤((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(n~(n-1)),即((a_1+a_2+…+a_n)/n)~n≥≥a_1((a_1+a_2+…+a_n)/(n-1))~(n-1)。②再在①中令a=(a_2/(a_2+…+a_n)/(n-))~(1/(n-2)),重复上述步骤,并结合②,有 相似文献
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李季钰 《中学数学研究(江西师大)》2006,(11):36-37
2006年高考江西卷第22题为:已知数列{a_n}满足:a_1=3/2,且 a_n=(3na_(n-1))/(2a_(n-1) n-1)(n≥2,n∈N~*).(1)求数列{a_n}的通项公式;(2)证明:对一切正整数 n,不等式 a_1a_2…a_n<2·n!成立.显然,求解本题的关键之一是根据已知 a_n与 a_(n-1)(或 a_n与 a_(n 1))的递推关系式,能寻找出 a_n 的表达式.这是近年高考中比较多见的一种题型.由于已知关系式的形式不同,其解法也不尽相同.如本题的通项 a_n 求法为:将条件变 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(11)
<正>类型一:累加法形如:a_n=a_(n-1)+f(n)(其中f(n)不是常值函数)例1已知数列{a_n}满足a_1=3,2/a_n-a_(n+1)=n(n+1),则a_n=____。方法指导:先将递推公式变形为a_n-a_(n-1)=f(n),令n=2,3,4,…,n,再将这n-1个式子相加,得a_n-a_1=f(2)+f(3)+…+f(n)。所以,a_n=a_1+f(2)+f(3)+…+f(n)=a_1+ 相似文献
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第三届美国数学邀请赛试题中有这样一道题:选取一列整数a_1,a_2,a_3,…,使得每个n≥3都有a_n=a_(n-1)-a_(n-2),若该数列的前1492项之和等于1985,前1985项之和等于1492,那么前2001项之和是多少? 这是一道很好的数列题,它有多种解法,现介绍—种较为巧妙的解法。∵ a_n=a_(n-1)-a_(n-2) ∴ a_n=(a_(n-2)-a_(n-3))-a_(n-2)=-a_(n-3)。(1) 这表明数列中的第一项和第四项、第二项和第五项、第三项和第6项,……互为相反数重复使用(1)可得 a_n=-a_(n-3)=-(-a_(n-6))=a_(n-6)。(2) 这表明这个数列中的各项是以6为周期重复出现的。 相似文献
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一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(x≤-2).(1)求f~(-1)(x);(2)设a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))(n≥2,n∈N),求a_n;(3)求sum from i=1 to n 1/(a_1+a_i+1)的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:(1)函数,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(定义域为x≤—2,值域为y≥0)的反函数为f~(-1)(x)=-(x~2+4)~(1/2)(定义域为x≥0,值域为y≤-2) (2)∵a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))由迭代法得:a_n=-(a_(n-1)~2+4)~(1/2)=-(a_(n-2)~2+2×4)~(1/2)=…=-(a_1~2+(n-1)4)~(1/2)=-(4n-3)~(1/2)(亦可由a_n~2=a_(n-1)~2+4,n=2,3,…n,累加而得) (3) 注意到 a_n~2-a_(n-1)~2=4, 相似文献