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1.
设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二… 相似文献
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设k》2为自然数,我们把自然数分为k次方数和非k次方数两列: Fk(”):Ik,Zk,3k,…,”k,…(1) G、(n):2,3,…,n“一1,n“ 1,…(2)(2)的通项公式是什么? 定理设自然数k)2,则(2)的通项公式为 Gk(n)=刀 〔“记: 〔“侧又〕〕,(3)其中〔x〕表示x的整数部分。 证明记Gk(n)==T,〔k侧于〕 相似文献
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对此间题,回答是否定的。 定理2满足(a)式的正整数P、q、l.m(P>q,‘l,爪互素)只有一组P二3,q==1,l二1,爪=2。 为方便证明,先引入一个引理,此引理的证明不难,请读者自行完成,或参阅文〔1〕。 引理习k,(P为正整数)可表示为:的 抢=1_P十1次多项式,并且最高次项的系数为 1P十1“ 现在证明定理2。力占口曰谧11协、多七 不定方程P“=扩结构对称,形式优美,关于它的解,有 定理1方程班二扩(P>妇有唯一的正整数解(4,2)。 证明:,.’p>q,.’.尹{尹,又由尸二尹,得受q】P叮,从而有g!乡. 设P二初(k是大于1的正整数),则 (k口)女=口竺口,k至二口l,k二理“… 相似文献
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本文推广定理1角降幂公式设k任N,k)2,〔尝〕‘;f导列有艺曰Cos口1Zk一1a(、k)eos(左十2一2,)。.()gOl午第六明27n勺﹄系数a(气、i两足a‘扩,=z,Jl.(a”)=“、从+a(梦.,、〔宁〕)一卉〔·:n’一‘二,,一弓,_磅l‘,)。。、(,卜:一21,‘了i一(2)+(夕忆,11n︸,‘(k一卜1)吃k) ~(n〕‘+切,1,cOS“·若k为偶数,“梦1二 (取)Zak二+a2咔记a‘丫+,)=a{’=1,口(飞川=。}少二一2若k为奇数,则a (玉)口k+1 2‘““‘晋,,飞+‘+a;n,知)证应用归纳法。e 05忍a(eosZa+1),定理结论成立. 对奇数,,有eos”’卜’a绝2c 05’a=专‘a‘;,cosZa+a(梦,cosa,其中… 相似文献
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一个不等式推广问题的研讨 总被引：1，自引：0，他引：1
文[1]给出了如下: 定理1设a、b、c为正实数,l、m、n是不全为零的非负实数,则有 2aabcabc++l+m+nl+m+n, (1) 其中表示对a 、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lm=n=时成立. 文[2]将定理1推广为: 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、n是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabc--++l+m+nl+m+n,(2) 其中表示对a、b、c的循环和,当m>2时,等号当且仅当abc==时成立;当m=2时,等号当且仅当abc==或0,l筸=n0=时成立.. 本文从项数方面入手,将定理2推广为: 定理3 设1,2,,nxxxL为正实数,12,,ll ,nlL是不全为零的非负实数,2m,则有 11122mnnxxxx… 相似文献
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设n任N,T是N到N的一个变换.令 T,(n)=T(,:),T,+1(,:)=7’(7’,(,:)),k~l,2,·…称T,为T的k次迭代.现在对自然数,:=a,…a,a。,定义 ,I’(n)~a盆+a二一、十…+a百+a石.(*)则有 定理对任何自然数r,N上的变换(,)在有限次迭代以后必进入循环.设r·gr是k位整数,取,,。~max(10圣,10『),并设 儿=a,…a .a。=a,.10加+一+a,.10+口。,其中甄半0.那么,当n>n。时,。)k,m)r.这时 7’(,:)一a几+…十a万+a么.由于函数f(x)~x(10’一x『一’)(0镇x镇9)递增(’·’f‘(x)~一。。=二x·,李10‘一r .gr妻0),故a.(10”一a万’))10’一l)10盖一1.于是,,一了’(… 相似文献
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称不定方程x盖: x盔: … x盖。=x飞。,:的一个正整数解(a‘,…,a。n,a。。 :)为一组n十1元勾股数.已知满足(x::,x::)二1,2 lx:,的一组三元勾股数为x:1=.aZ一bZ,x::=Zab,x:玉=aZ 乙恤>b>奋一,:(a,b)=1).我们来构造四元勾股数:由于a,b一奇一偶,设x:。=Zk 1=(无 1)’一k,,取a:=k 1,乙,=k,Za:b:=z无(无 李),则a艳一 ‘,=z正 i=(无 i)’一kZ二心一时,因此(aZ一bZ)’ =(aZ 乡2)2=(a老一b老)飞=(a尹 b尹)2(Za乙)2 〔2无(k 1)〕’ (Za:乡:)2 (za,今:)竺又ka, 右’一1 2Za:b:=Zk(k 1)=(aZ bZ)2一1 2a老 乙:_a‘ bz午1三-一一丁一因此得四元勾… 相似文献
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于先金 《河北理科教学研究》2005,(1):54-55
文〔1」将一个不等式推广为:定理1设ai>0(i=1,2,…,n),n弟“,m任N’,且“二谷ai,则有 .一刀名,._.竺,肠亡I,址气_- 、,__~_、’~,,‘一J‘J“‘石一二弓,‘J“i云留l口一“i林一11吕l本文中“〕”的等号成立均当且仅当al二‘”二a。·以下略,(1)=口2 记“‘“二愈a‘:,文〔“〕又给出了不等式(l)的一个指数推广: 定理2设al,aZ,…,a。(n办2),尸皆为正实数,则对任意非负实数q,有S(。)占a产宁q宁q)ZJ二万.下一~-甲罗仑一月一~一万‘=进万‘F,一alJ,一n一l 文〔3〕将不等式(l)推广为: 定理3设ai>o(i=1,2,…2,m、keN书,且m·>k,L ‘54, (2)… 相似文献
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题已知两个等差数列前”项之和的比为sn十3:Zn+7,求这两个数列第9项的比。 解设S。为等差数列{a。}的前n项的和,S。产为等差数列{a。/}的前n项的和。 由已知扮黯,设“一‘5n+3,“,s。‘=(Zn+7)k(k为不等于零的常数) 则a。=S。一S。=(5 xg+3)k 一(5 xs+3)k=sk, a。,=S。‘一S。产一(2 xg+7)k 一(2 Xs+7)k“Zk, ·,.a。:a。’二sk:Zk=5:2。 解答错了!错在哪里? 上面解答把S,看成为项数n的一次函数。事实上,对于任意的等差数列{气}, a。==a,+(n一1)d,S。=告(a:+an)n=去dn“+(a,一参d)n,可见等差数列的通项。。是。的、一次函数,前”项和S… 相似文献
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刘治国 《青岛职业技术学院学报》1994,(3)
运用Lagrange级数展开法,获得了三角级数S_m(n)=sum from k=1 to 2kn cos~m(2kπ)/(2n 1)的求和公式1,主要结果本文借助于Lagrange级数展开法获得了下列结论:定理:设S_m(n)=sum from k=1 to ncos~m(2kπ)/(2n 1),则有这里m为自然数,[x]表示x的最大整数部分,(?)为二项式系数 相似文献
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题目:设复数:,,::,…,气。为等比数列,已知,:的1,::=:i。=1,:。=忍:.求”,的模和辐角. 这是一道考查学生复数与等比数列两部分知识的综合题.由复数的表示方法不同可导出下面四种基本解法。 解法一:由题设得1=咤=气‘。=,声、=!么‘l,,…}劣:}=1. 解法四:设::二叹coso 翻ino),公比q=s(。osa 招Ina),这里r、s>0.’.’::==气。=1,于r俨s‘份份十“i.n.<“土“珍一于,‘、犷s’Lc0S吸口 ,“) 铝In吸U ,a)J=1.~{犷s=”.=1,eos(8 a)=eos(0 ga)由①知‘二s==1,即}::1== 1.2希万,0 ga=2正‘万,正、希,〔2. ①二1.②由②知0 a=消去a,得80=设:,=eo… 相似文献
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“:”n。。。n。z,。。。h h”’·· 十>H.这是一个很常见的不等式,其证明方法一般采用数学归纳法或利用数列的单调性.下面给出这个不等式的一种新的证法——分段放缩法.证明1”若n为偶数,可设n—Zk（k6N ）_』___,。11则原不等式q=vn- zr=s … 。。。、·l,—。、、-。Zk 12h 21_13_7斗下>于,山Zk Zk—24”一①的左式一D=------十丁:二十… =---l一\Zk 1Zk 2Zk k）/111 4n==vn==v …十_I\Zk k 1Zk Zk）------1111\_13。wb wb … wb>H。,。。。。。。。。:。（赤 赤 …协） 6 太 …十二一个不等式的新证法@张辉$湖南省新化县第三中学… 相似文献
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9年级(最后一轮第一天) 对第二种操作,有 1.设自然数二使2,+1及3n+l都是平方数,间5二+3是否能为质数. 解设Zn+1=几2.3,+1=,:(泛,,〔N),则sn+3=4(加+1)一(3n+1)二4泛.一.盆~(幼+琳)(2汤一邢)是合数,选是由于2泛一,笋1,事实上,若2盛一,=1,即2盛二。+1,从而5,+3=2。+1,于是(,一1).=.一(2爪+1)+2二(3月+1)一(5月十3)十2=一2”<0,这就导致矛盾. 2.设两条单位长的线段AB和C刀相文于点O,且匕月OC二60’.求证:AC+BD》1. .,、。,,l‘二一二少,J’于二万, 证如图l作CBI//月B,且CB,=AB,则四边形ABBIC是平行四边形.从而月C二BB、,由△BB,D,… 相似文献
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应用关于一元二次方程“‘’十b‘+c=o(a戈0)的根与系数关系的定理可以证明: 定理方程ax“十bx十c二o(a、0)的一根比另一根的k倍大m的充要条件是 kbZ一(k+1)“ae=仍a〔仍a一(沦一1)b〕。 例1.a为何值时,方程 (a+l):艺+(a一3)x+(a一5)=o的一根比另一根大3? 解:定理中取无=l,m二于则 (a一3)2一4(a十l)(a一5)=9(a+1)2, 5a=l或一马. J 例2.方程a:’十bl+。二2:3,求证6b2=25a。. 解:设两根为::,::.有0两根之比一为则21二2:,/3艺a、.了扣一(;·即6b2=25ae. 例3.求证:无论。戈1为任何数,方程 4(明一1)2x2+4(阴一1)(切+3)才 +(仍+1)(”弓+5)=0恒有… 相似文献
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本刊1987年6期有如下猜想:艺jkc孟的表达式是一个关于:的k次多项式与2“一“的积. 本文证明这一猜想。引理1设s(:,t)表示:元集合分成t个非空无序子集的划分方法数(第二类sti犷ling数),则S(:,t)满足 了S(刀,0)二0,S(刀,n)“1,; 吃S(n,t)=ts(龙一1,r) S(n一1,t一1).(t=1,2,…,儿一1.)(I) 引理2设T(心幻表示n元集合分成,个非空有序子集的划分方法数,则 T(n.t)二才一S(n,t),(11)T(n,t)=乙(一i)’c’t(卜介“.(l)上述引理可见文献〔l〕、〔2〕.定理设R(k,哟=公夕“cJ,,二 j巴0min(k,,),k,龙〔N,则天(k,邢)可表示为R(无,n)=乙p之z”一’S(k,… 相似文献
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文[1]给出了如下不等式: 设,,abc为正实数,l、m、g是不全为零的非负实数,则 2aabcabclmglmg++宄++++, 其中表示,,abc的循环和,当且仅当abc==或0l,0mg==时成立. 文[2]将其推广为: 设12,,,nxxxL为正实数,12,,,nlllL是不全为零的非负实数,2m,则 11122mnnxxxxlll+++L 211212()mmnnnxxxlll--++++++LL. 其中表示对12,,,nxxxL的循环和. 文[2]还指出:当2m>时,上述不等式中等号成立当且仅当12nxxx===L,并猜想:当2m=时,当且仅当12nxxx===L或10,l 230nlll====L等号成立. 本文将给出文[2]中不等式的均值证法,并由此证明该文所提出的猜想. 1 当2m=时,… 相似文献
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1.试证:1984可以表为某些i生井自然数证明f限设 1984=l、十(l、+!、干…+(k+n).(空}吸2沁一卜n)(n十卜)二2?·只1.川洁为素炎交.(k2kneN)那么198、!业旦士髻竺卫一,11斗+n二2‘,}二3 1.(])(2)2二31=(Zk+n)(n+1) 2 (l) 21=3 0. 故19 84可自然数的币约两式联立解之.得k二Jg,火表为拍一j不为49.末顶为79的3}个为.46“甲,泞纵与-一-~一...‘匆........‘二.数 2.试证:1984不能表为c:+C己+C乏+…+C公的和。(11任N) 证明根据二项式定理,有 (1+:).=C呈+C二x+C呈x“+…+把!:面的n个等式两边相加.便得 厂n(n+1)、 ]。+2。+3。+…+no=l——I .二… 相似文献