关于三角形中线长的一个不等式的加强及其对偶不等式     

李建潮 《福建中学数学》2006,(8)

文[1]建立了如下关于三角形中线长的一个有趣的不等式:若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,R、r为△ABC外接圆和内切圆半径,则有22222ma mb mc rbc+ca+ab≥+R.研究发现并获得如下加强形式及其对偶不等式.1加强定理1若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,则有22294ma mb mcbc+ca+ab≥.(1)为证定理1,先引入以下引理:引理1设a,b,c>0,则有(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)≤abc.(2)(1983年瑞士数学竞赛试题)引理2设a,b,c为三角形的三边长,则有(3a?b?c)(3b?c?a)(3c?a?b)≤(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)(3)与a3+b3+c3+9abc≤2(a2b+b2c+c2a)+2(ab2+bc2+ca2).(4)简…  相似文献   

巧解一类不等式     

吴健文 《福建中学数学》2006,(2)

对于较复杂的分式不等式()()a f xb???<(1)然后一一求解,最后求它们的交集,但这种方法比较繁琐,而对于不等式组(1)可等价于()0,()0,()()0,()()0,()()0,()()0.g x g xf x ag x f x ag xf x bg x f x bg x???>?>???亦可等价于[f(x)?ag(x)][f(x)?bg(x)]<0,即有下列的结论:不等式()()()a f xb a b相似文献   

四边形F-H不等式的形式及应用     

杨浦斌 《福建中学数学》2004,(5):18-18

我们知道,对于三角形有Finsler-Hadwiger不等式:222243()abcSab - 2()bc-2()ca -,当且仅当abc==时取等号(,,abc和S分别为三角形的三边长和面积).有趣的是,在四边形里也有类似的不等式:定理设a,b,c,d和S分别是四边形的四边长和面积,则(1)2222abcd 224[()()Sabbc?- - 22()()  相似文献   

也谈四面体的Nesbitt不等式   总被引：1，自引：0，他引：1  

郭要红 《福建中学数学》2005,(4):19-20

1引言1903年,A.M.Nesbitt建立了如下关于三角形边长a、b、c的几何不等式[1]:3/2≤a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)<2 文[2]将Nesbitt不等式推广到四面体中,得到:定理1设四面体A_1A_2A_3A_4中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数1λ≥,则122343414()()3SSSSSSSSλλλ≤++++++34412123()()2SSSSSSSSλλ+<++++,(2)文[2]称1λ=时的(2)式为关于四面体的Nesbitt不等式.本文给出四面体中的Nesbitt不等式在另一指数范围内的一个推广.2主要结论定理2设四面体1234AAAA中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数13/4…  相似文献   

例析与三角形相关的试题解答策略     

徐焰 《数理化解题研究》2014,(3):9-9

一、巧用三边定理 例1 已知三角形三边长为a，b，c，且a〉c那么｜c-a｜-以√（a＋c-b）^2等于（ ）．  相似文献   

三角形三边关系在解题中的应用     

《初中数学教与学》2021,(11)

<正>一、基本结论1.如果正数a,b,c满足a+b> c,a+c>b,b+c> a,那么以a,b,c为边长能构成一个三角形;反之,若三角形的三边长是a,b,c,那么a+b> c,a+c> b,b+c> a.注利用这一结论解决与三角形三边有关的问题时,通常要说明正数a,b,c满足三个不等式,但在实际解题过程中比较繁琐.其实,当正数a,b,c满足条件a≤b≤c时,只要a+b> c,则可说明以a,b,c为边长能构成一个三角形,即有:  相似文献   

一个关于三角形边长的不等式链     

董林 《中学数学教学》2015,(2):63

<正>命题在△ABC中,a、b、c分别为其三边长,R、r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥4-2r()Rabc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.由于a、b、c是三角形的三边长,所以有a+b>c,即a+b-c>0,同理有b+c-a>0,c+a-b  相似文献   

用物理方法证明正弦定理和余弦定理     

徐英 《中学数学杂志》2006,(9)

正弦定理sinaA=sinbB=sincC和余弦定理a2+b2-2ab·cosC=c2b2+c2-2bc·cosA=a2a2+c2-2ac·cosB=b2是三角形边角关系的美妙体现,它们的发现和证明都显示着人类的智慧,是人类文明史上灿烂的一页.在数学和物理学领域中,很多方面都渗透出正弦定理和余弦定理的气息.本文试图用物理方法给出正弦定理和余弦定理的证明.设三角形ABC是边长分别为a、b、c的通电导线框,其电流强度为I.现将它置于磁感应强度为B的匀强磁场中且线框平面与磁场方向垂直,那么三角形ABC的三边所受的安培力如图1所示,其大小分别为图1Fa=BIaFb=BIbFc=BIc(1)很显然,这三…  相似文献   

三角形三边关系定理的活用     

朱维胜 《初中生辅导》2003,(17)

构成三角形的三边的长度是互相制约的 ,不是任意三条线段都可构成三角形的。只有满足三角形三边关系定理“三角形两边之和大于第三边”及其推论“三角形两边的差小于第三边”的三条线段 ,才能构成三角形。灵活运用三边关系 ,可简捷地解决以下两类问题。一、判断三条线段能否组成三角形设三条线段的长为a、b、c且c≥a ,c≥b ,这时显然有c +b>a ,c +a >b ,故当a +b >c时 ,三条线段能组成一个三角形。由此可得到判断三条线段能否组成一个三角形的简易方法 :“三条线段中 ,如果较短的两条线段的和大于最长的第三条线段 ,则这三条线段能组成一个…  相似文献   

也谈关于三角形边角关系的一些性质     

张赟 《中学数学月刊》2006,(2):46-46

文[1]介绍了关于三角形边角关系的两个结论.实际上,在三角形中还有命题1设a,b,c为△ABC的三边长,当an,bn,cn(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且an,bn,cn(n∈N*)成等比数列.所以b2n=ancn,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.命题2设a,b,c为△ABC的三边长,当a1n,b1n,c1n(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且a1n,b1n,c1n成等比数列,所以(b1n)2=a1n·c1n.即b12=a1c,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.由命题1和命题2得定理设a,b,c为…  相似文献   

巧用三角形三边关系定理解题     

吴秀皊 《初中数学教与学》2012,(23):21-23

<正>三角形的三边关系定理为:三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.该定理揭示了三角形三边之间的相互制约关系,巧用这个定理能妙解许多问题,下面举例说明.一、化简求值例1已知a、b、c为ABC的三边长,则2  相似文献   

关于三角形的一个正切公式及其应用     

谢进武  傅波 《中学数学教学》2010,(1)

在三角形中刻画边角关系最重要的定理是正弦定理和余弦定理.但在近几年高考数学试题中经常出现三角形中角的正切问题.为此我们向读者介绍下面的一个正切公式:定理设非直角△ABC的三个内角A、B、C所对的边为a、b、c,S为其面积,则有:tanA=b2+4c2S-a2;tanB=a2+4cS2-b2;tanC=a2+4bS2-c2.证明由余弦定理cosA=b2+2cb2c-a2及面积公式S=12bcsinA得:tanA=csionsAA=b22+bccsi2n-Aa2=b2+4c2S-a2.同理可证其它两式.这个公式刻画了三角形(非直角三角形)的三个角正切值与其面积、三边的关系.在解有关三角形正切问题中有着很广泛的应用.现举几例予以说明.例1(2005年天津卷理17题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和bc=21+3,求∠A和tanB.解由余弦定理得:cosA=b2+2cb2c-a2=bc2bc=21.故∠A=3π.由正切公式得:tanB=a2+4cS2-b2=4×21bcsin3πa2+c2-b2=2c23-bcbc=2c3-bb=2.bc3-1=3...  相似文献   

三角形三边关系巧运用     

康松 《中学生数理化》2009,(4)

三角形三条边长之间的关系,即"三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边"是三角形的重要性质.有的同学会认为,只要三条线段的长度a、b、c满足条件a+b＞c并且a-b＜c,那它们就可以组成一个三角形.  相似文献   

三棱柱截面的一个性质     

张善立 《中等数学》2000,(6)

命题 对任意三棱柱,总可以作一个截面,使它与侧棱或侧棱延长线相交所得的截面三角形,与一个给定的三角形相似。 引理1 Heron公式。设a、b、c是三角形三边长,S表示面积,则  相似文献   

一道IMO试题推广的简证     

吴善和 《中学教研》2003,(8):32-33

第24届IMO试题中有一道脍炙人口的不等式证明题:设a,b,c,为三角形的三边长,试证  相似文献   

高线构成的三角形     

吴善和 《福建中学数学》2002,(4):18-19

符合某种条件的三角形的存在性,是三角形几何学研究中一个有价值的课题[1].众所周知,以三角形的三条中线为边长可以构成新的三角形,但以三角形的三条内角平分线或三条高线为边长却不一定能构成三角形. 文[1]、[2]讨论了三角形三条内角平分线为边长可构成三角形的条件及其性质.本文对高线构成三角形的相关问题进行探讨. 定理1 设△ABC的三边长为a、b、c,对应的高线长为ha、hb、hc,则ha,hb,hc为长  相似文献   

一个不等式的推广     

郭要红 《福建中学数学》2002,(12):14-14

设a、b、c为正实数,则有 222[1]1(),2abcabcbccaab (1) 222[2]1().2abcabcabbcca (2) 文[3]将不等式(1)、(2)统一推广为 定理1 设a、b、c为正实数,l、m、u是不全为零的非负实数,则有 2aabcabclmulmu 宄 . (3) 其中表示对a、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lmu==时成立. 本文从指数方面考虑,给出不等式(3)的推广. 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、u是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabclmulmu-- 宄 . (4)证明 22()mmaaabcabclmulmu=? 22()()maabclmu? (根据Cauchy不等式)① 22()()maalmu= …  相似文献   

一个不等式的下界估计   总被引：1，自引：1，他引：1  

宋庆  吴爱龙 《中学数学月刊》2001,(9):46-46

《数学通报》2 0 0 0年 5月号问题 1 2 52为 :设 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,求证 :a2 b b2 c c2 a<18. ( 1 )这里 ,我们给出不等式 ( 1 )的下界估计 .定理　若 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,则a2 b b2 c c2 a>2 32 1 6 . ( 2 )证明　不妨设 a≤ b,a≤ c,则 1 - 2 a≥ 1- 2 b>0 ,1 - 2 a≥ 1 - 2 c>0 .于是 ,( 1 - 2 a) 2 ( 1 - 2 b) ( 1 - 2 b) 2 ( 1 - 2 c) ( 1 - 2 c) 2 ( 1 - 2 a)≤ ( 1 - 2 a) [( 1 - 2 a) ( 1 -2 b) ( 1 - 2 b) ( 1 - 2 c) ( 1 - 2 c) 2 ]≤ ( 1 - 2 a) [( 1 - 2 b) ( 1 - 2 a 1 - 2 c) …  相似文献   

一道苏联数学竞赛题的下界估计     

陈友才 《中学数学月刊》1994,(1)

第二十三届全苏奥林匹克数学竞赛九年级第2题为：设a、b、c为三角形的边长，且a＋b＋c=本文现对上述不等式左端的下界作一估计，得到如下结果：设a、b、c为三角形的边长，且证由对称性，不妨设C成等差数列，故可令等号当且仅当一道苏联数学竞赛题的下界估计@陈友才$湖南省资兴矿务局一中  相似文献   

周界中点三角形的三个性质   总被引：1，自引：0，他引：1  

丁遵标 《福建中学数学》2005,(10)

笔者从周界中点三角形的边长、面积、周界中线长三方面进行研究,便得到了周界中点三角形的三个有趣的几何性质.引理若D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,1()p=2a b c,则有:AE=BD=p?c,AF=CD=p?b,BF=CE=p?a.(证明省略)定理1若EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r则有:2221a2R∑a?a=r.证明由引理知AE=p?c,AF=p?b,在△AEF中,EF2=AE2 AF2?2AE?AF?cos A,即222a1=(p?c) (p?b)?2(p?c)(p?b)cosA=[(p?c) (p?b)]2?2(p?b)(p?c)(1 cos A)222(2)22()()(1)2p b c p b p cb c abc…  相似文献