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文[1]建立了如下关于三角形中线长的一个有趣的不等式:若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,R、r为△ABC外接圆和内切圆半径,则有22222ma mb mc rbc+ca+ab≥+R.研究发现并获得如下加强形式及其对偶不等式.1加强定理1若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,则有22294ma mb mcbc+ca+ab≥.(1)为证定理1,先引入以下引理:引理1设a,b,c>0,则有(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)≤abc.(2)(1983年瑞士数学竞赛试题)引理2设a,b,c为三角形的三边长,则有(3a?b?c)(3b?c?a)(3c?a?b)≤(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)(3)与a3+b3+c3+9abc≤2(a2b+b2c+c2a)+2(ab2+bc2+ca2).(4)简… 相似文献
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我们知道,对于三角形有Finsler-Hadwiger不等式:222243()abcSab - 2()bc-2()ca -,当且仅当abc==时取等号(,,abc和S分别为三角形的三边长和面积).有趣的是,在四边形里也有类似的不等式:定理设a,b,c,d和S分别是四边形的四边长和面积,则(1)2222abcd 224[()()Sabbc?- - 22()() 相似文献
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也谈四面体的Nesbitt不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
1引言1903年,A.M.Nesbitt建立了如下关于三角形边长a、b、c的几何不等式[1]:3/2≤a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)<2
文[2]将Nesbitt不等式推广到四面体中,得到:定理1设四面体A_1A_2A_3A_4中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数1λ≥,则122343414()()3SSSSSSSSλλλ≤++++++34412123()()2SSSSSSSSλλ+<++++,(2)文[2]称1λ=时的(2)式为关于四面体的Nesbitt不等式.本文给出四面体中的Nesbitt不等式在另一指数范围内的一个推广.2主要结论定理2设四面体1234AAAA中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数13/4… 相似文献
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一、巧用三边定理
例1 已知三角形三边长为a，b，c，且a〉c那么｜c-a｜-以√（a＋c-b）^2等于（ ）． 相似文献
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<正>命题在△ABC中,a、b、c分别为其三边长,R、r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥4-2r()Rabc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.由于a、b、c是三角形的三边长,所以有a+b>c,即a+b-c>0,同理有b+c-a>0,c+a-b 相似文献
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正弦定理sinaA=sinbB=sincC和余弦定理a2+b2-2ab·cosC=c2b2+c2-2bc·cosA=a2a2+c2-2ac·cosB=b2是三角形边角关系的美妙体现,它们的发现和证明都显示着人类的智慧,是人类文明史上灿烂的一页.在数学和物理学领域中,很多方面都渗透出正弦定理和余弦定理的气息.本文试图用物理方法给出正弦定理和余弦定理的证明.设三角形ABC是边长分别为a、b、c的通电导线框,其电流强度为I.现将它置于磁感应强度为B的匀强磁场中且线框平面与磁场方向垂直,那么三角形ABC的三边所受的安培力如图1所示,其大小分别为图1Fa=BIaFb=BIbFc=BIc(1)很显然,这三… 相似文献
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构成三角形的三边的长度是互相制约的 ,不是任意三条线段都可构成三角形的。只有满足三角形三边关系定理“三角形两边之和大于第三边”及其推论“三角形两边的差小于第三边”的三条线段 ,才能构成三角形。灵活运用三边关系 ,可简捷地解决以下两类问题。一、判断三条线段能否组成三角形设三条线段的长为a、b、c且c≥a ,c≥b ,这时显然有c +b>a ,c +a >b ,故当a +b >c时 ,三条线段能组成一个三角形。由此可得到判断三条线段能否组成一个三角形的简易方法 :“三条线段中 ,如果较短的两条线段的和大于最长的第三条线段 ,则这三条线段能组成一个… 相似文献
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文[1]介绍了关于三角形边角关系的两个结论.实际上,在三角形中还有命题1设a,b,c为△ABC的三边长,当an,bn,cn(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且an,bn,cn(n∈N*)成等比数列.所以b2n=ancn,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.命题2设a,b,c为△ABC的三边长,当a1n,b1n,c1n(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且a1n,b1n,c1n成等比数列,所以(b1n)2=a1n·c1n.即b12=a1c,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.由命题1和命题2得定理设a,b,c为… 相似文献
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<正>三角形的三边关系定理为:三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.该定理揭示了三角形三边之间的相互制约关系,巧用这个定理能妙解许多问题,下面举例说明.一、化简求值例1已知a、b、c为ABC的三边长,则2 相似文献
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在三角形中刻画边角关系最重要的定理是正弦定理和余弦定理.但在近几年高考数学试题中经常出现三角形中角的正切问题.为此我们向读者介绍下面的一个正切公式:定理设非直角△ABC的三个内角A、B、C所对的边为a、b、c,S为其面积,则有:tanA=b2+4c2S-a2;tanB=a2+4cS2-b2;tanC=a2+4bS2-c2.证明由余弦定理cosA=b2+2cb2c-a2及面积公式S=12bcsinA得:tanA=csionsAA=b22+bccsi2n-Aa2=b2+4c2S-a2.同理可证其它两式.这个公式刻画了三角形(非直角三角形)的三个角正切值与其面积、三边的关系.在解有关三角形正切问题中有着很广泛的应用.现举几例予以说明.例1(2005年天津卷理17题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和bc=21+3,求∠A和tanB.解由余弦定理得:cosA=b2+2cb2c-a2=bc2bc=21.故∠A=3π.由正切公式得:tanB=a2+4cS2-b2=4×21bcsin3πa2+c2-b2=2c23-bcbc=2c3-bb=2.bc3-1=3... 相似文献
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三角形三条边长之间的关系,即"三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边"是三角形的重要性质.有的同学会认为,只要三条线段的长度a、b、c满足条件a+b＞c并且a-b＜c,那它们就可以组成一个三角形. 相似文献
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命题 对任意三棱柱,总可以作一个截面,使它与侧棱或侧棱延长线相交所得的截面三角形,与一个给定的三角形相似。 引理1 Heron公式。设a、b、c是三角形三边长,S表示面积,则 相似文献
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设a、b、c为正实数,则有 222[1]1(),2abcabcbccaab (1) 222[2]1().2abcabcabbcca (2) 文[3]将不等式(1)、(2)统一推广为 定理1 设a、b、c为正实数,l、m、u是不全为零的非负实数,则有 2aabcabclmulmu 宄 . (3) 其中表示对a、b、c的循环和,等号当且仅当abc==或0,0lmu==时成立. 本文从指数方面考虑,给出不等式(3)的推广. 定理2 设a、b、c为正实数, l、m、u是不全为零的非负实数,2m,则有 213()mmmaabcabclmulmu-- 宄 . (4)证明 22()mmaaabcabclmulmu=? 22()()maabclmu? (根据Cauchy不等式)① 22()()maalmu= … 相似文献
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一个不等式的下界估计 总被引：1，自引：1，他引：1
《数学通报》2 0 0 0年 5月号问题 1 2 52为 :设 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,求证 :a2 b b2 c c2 a<18. ( 1 )这里 ,我们给出不等式 ( 1 )的下界估计 .定理 若 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,则a2 b b2 c c2 a>2 32 1 6 . ( 2 )证明 不妨设 a≤ b,a≤ c,则 1 - 2 a≥ 1- 2 b>0 ,1 - 2 a≥ 1 - 2 c>0 .于是 ,( 1 - 2 a) 2 ( 1 - 2 b) ( 1 - 2 b) 2 ( 1 - 2 c) ( 1 - 2 c) 2 ( 1 - 2 a)≤ ( 1 - 2 a) [( 1 - 2 a) ( 1 -2 b) ( 1 - 2 b) ( 1 - 2 c) ( 1 - 2 c) 2 ]≤ ( 1 - 2 a) [( 1 - 2 b) ( 1 - 2 a 1 - 2 c) … 相似文献
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第二十三届全苏奥林匹克数学竞赛九年级第2题为：设a、b、c为三角形的边长，且a＋b＋c=本文现对上述不等式左端的下界作一估计，得到如下结果：设a、b、c为三角形的边长，且证由对称性，不妨设C成等差数列，故可令等号当且仅当一道苏联数学竞赛题的下界估计@陈友才$湖南省资兴矿务局一中 相似文献