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1.
张锦川 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)
问题若实数x,y,z满足x+y+z=12,x 2+y 2+z 2=54,试求xy的最大值和最小值.[JP3]解法1:由x 2+y 2=54-z 2,可设x=54-z 2 cosθ,y=54-z 2 sinθ.[JP]则x+y+z=12,即12-z=54-z 2(sinθ+cosθ)=108-2z 2 sin(θ+π4),从而|12-z|≤108-2z 2,解得z∈[2,6].所以xy=12[(x+y)2-(x 2+y 2)]=12[(12-z)2-(54-z 2)]=z 2-12z+45.由2≤z≤6,得9≤z 2-12z+45≤25,即xy的最大值为25,最小值为9. 相似文献
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张希麟 《初中生世界(初三物理版)》2006,(15)
今天,数学兴趣小组的活动由Z老师作中心发言,题目是《从一道竞赛题解法的改进谈起》.这是一道2004年全国初中数学竞赛题:实数x、y、z满足x y z=5,xy yz zx=3,求z的最大值.[1]提供的解法是:由于x y=5-z,xy=3-z(x y)=3-z(5-z)=z2-5z 3,因此x、y是关于t的一元二次方程t2-(5-z)t z2 相似文献
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在数学竞赛中经常会碰到一些涉及两数(式)和与两数(式)积的问题,这类问题一般难度较大,不易解答。解答这类问题需要掌握一定的策略。本文举例说明解答这类问题常见的策略,供同学们参考。1 利用完全平方式转化和积 例1 已知x,y,z为实数,且x y z=5,xy yz zx=3,试求z的最大值与最小值。(加拿大第10届数学竞赛题) 解由题意有x y=5-z①,xy (x y)z=3,所以xy=3-(x y)z=3-(5-z)z=z2-5z 3②,由①②利用公式(x y)2-4xy=(x-y)2≥0得(5-z)2-4(z2-5z 3)≥0,即3z2-10z-13≤0,解之得-1≤z≤13/3,故z 相似文献
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同学们在学习分式的时候,经常会遇到有关多元的求值问题,解答时,可以利用消元的方法,化难为易.一、取值消元法例1已知abc=1,那么aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=.解:不失一般性,取a=1,b=1,c=1,则原式=13+13+13=1. 二、主元消元法例2已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则5x2+2y2-z22x2-3y2-10z2等于(A)-12 (B)-192 (C)-15(D)-13 解:以x、y为主元,那么4x-3y=6z,x+2y=7z .∴x=3z,y=2z.∴原式=5×9z2+2×4z2-z22×9z2-3×4z2-10z2=-13.选D. 三、比值消元法例3已知x2=y3=z4,则x2-2y2+3z2xy+2yz+3zx的值是.解:设x2=y3=z4=k,得x=2k,y=3k,z=4k… 相似文献
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题目:设x+y+z=xyz,(x>0,y>0,z>0)求证:2(x2+y2+z2)-3(xy+yz+xz)+9≥0文[1]中用三角函数知识来证明,且证明繁琐,文[2]用换元的方法,然后利用第25届IMO试题的结论:若x≥0,y≥0,z≥0,且x+y+z=1,则xy+yz+xz-2xyz≤727来证明也是不简单,实际上利用拙文[3]中提出的证明不等式化齐次的策略可简单地给出证明.证明:因x+y+z=xyz,原不等式等价于2(x2+y2+z2)(x+y+z)-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+9xyz≥02(x3+y3+z3)+2x(y2+z2)+2y(x2+z2)+2z(x2+y2)-3x(y2+z2)-3y(x2+z2)-3z(x2+y2)-9xyz+9xyz≥02(x3+y3+z3)-x(y2+z2)-y(x2+z2)-z(x2+y2)≥0(x+y)(x-y)2+(y+z)(y-z… 相似文献
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1 填空题(1 )向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在一个实数λ,使。(2 )两个向量a ,b相互垂直的充分必要条件是。(3)假设平面 3x - y - 1 =0与平面 2x +ay -z - 2 =0垂直 ,则a =。(4 )点 (- 1 ,- 2 ,- 1 )到平面x +2 y +2z - 5 =0的距离d =。(5 )直线x =3y =5 +tz =1平行于坐标轴。(6 )函数 y =1ln(1 -x - y) 的定义域为。(7)曲线x =acost,y=asint,z =bt在t=π2 处的切线方程为。(8)设z=xy,则 z x=。(9)设z=ex2 +y,则 2 z x2 =。(1 0 )累次积分∫10 dx∫xx f(x ,y)dy交换积分次序后 ,得到积分。(1 1 )圆域D :x2 +y2 ≤ 2上的二重积分… 相似文献
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《中学生数理化》2003,(32)
《巧拼图形》略.《乱中求实》设质量为1 g、10 g、50 g的木块数分别为x、Y、z,则x+y+z=100,x+10y+50z=500. ②-①,得9y+49z=400,故y=44-5z+4×(1-z)/9.因y、z均为正整数,故(1-z)/9为整数.设(1-z)/9=t(t为整数),则z=1-9t,y=39+49t.而-39/40相似文献
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第一试 一、选择题(每小题7分,共42分)1.设M＝(1-y2)(1-z2)/yz+(1-z2)(1-x2)/zx+(1-x2)(1-y2)/xy,其中,x、y、z为互不相等的实数.若x+y +z=xyz≠0,则M的值是( ).(A)3 (B)-3 (C)4(D)-4. 相似文献
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题目 设正实数x．y、z满足x^2-3xy＋4y^2-z=0,则当等取最大值时,2/x＋1/y-2/z的最大值为（） 相似文献
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1 选择题( 1)设z =2xy3 ,则2y=( )。 A 2 z y2 B 2 z x2 C 2 z x y D 2 z y x( 2 )设z =2xy3 ,则z y x =2y =2 =( )。 A 8 B 32 C 2 4 D 4 8( 3)函数z=ln( 4 -x2 - y2 )x2 +y2 - 1的定义域为( )。 A x2 +y2 <4 B x2 +y2 >1 C 1相似文献
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因式分解是初二代数中的重要内容之一 ,不论是在求代数式的值的计算还是代数式的证明中应用都十分广泛 ,现举例如下 :例 1 已知x2 - 2xy - 1 5y2 =0 ,求 xy 的值。分析 :本题利用二次三项式x2 +(p +q)x +pq =0型的因式分解 ,将x2 - 2xy - 1 5y2 =0通过因式分解化为二个二元一次方程 ,从而求出 xy 的值。解 :由已知x2 - 2xy - 1 5y2 =0得 :(x - 5y) (x +3y) =0只有当x - 5y =0或x +3y =0时 ,原式成立。∴x =5y或x =- 3y即 xy=5或 xy- 3例 2 已知 :x - 3z =5y ,求x2 - 2 5y2 +9z2 - 6xz的值。分析 :本题先从已知入手 ,通过移项得x - 3z - 5z… 相似文献
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华腾飞 《数理化学习(高中版)》2013,(9):19
构造对偶式解题是一种常用的方法,是指挖掘出题目中潜在的对称性,充分利用对称原理在纷繁的困惑中,寻觅到简捷的解法.一、互倒构造此法是利用倒数关系构造对偶式.例1若x、y、z∈(0,1),求证11-x+y+11-y+z+11-z+x≥3.证明:设M=11-x+y+11-y+z+11-z+x,构造互倒对偶式N=(1-x+y)+(1-y+z)+(1-z+x),则有M+N=11-x+y+(1-x+y)+11-y+z+(1-y+z) 相似文献
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题目 已知x≥y≥z>0 .求证 :x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 +y2 +z2 .这是第 3 1届IMO的一道预选题 ,原解答较繁 ,且技巧性强 ,这里给出一个相对简洁的证法 .证明 :由Cauchy不等式 ,有x2 yz +y2 zx +z2 xyx2 zy +y2 xz +z2 yx≥(x2 +y2 +z2 ) 2 .观察上式知 ,如有x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 zy +y2 xz +z2 yx ,则问题得证 .通分移项 ,有x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2 ≥0 .①故只须证式①成立 .x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2=x2 y2 (x-y) +y2 z2 (y-z) +x2 z2 (z-x)=x2 y2 (x -y) +y2 z2 (y -z) +x2 z2 ·(z-y +y -x)… 相似文献
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赵振华 《中学生数理化(高中版)》2004,(12):21-21
134.问:已知三个正实数x,y,z满足 x y z 12xyz= 16,求证: x y z≥4 14xyz.(河南商城一中高二三班 胡军伟)证明:x y 12xyz=16-z 16-z≥2 xy 12xyz=12xy(4 z) (4- z)(4 z)≥12xy(4 z) 4- z≥12xy,两边同乘 z得:4 z-z≥12xyz.同理可证:4 x-x≥12xyz,4 y-y≥12xyz.三式相加得 4( x y z)-(x y z)≥32xyz,即4( x y z)≥12xyz xyz x y z x y z≥4 14xyz.原不等式得证. (河南 赵振华)135.问:将字母a,a,a,b,c,d,e排成一行,有多少种不同的排法?(四川成都一中高三… 相似文献
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设x,y,z是正整数.若x2+y2=z2,则称(x,y,z)是一组Pythagoras数.本文运用初等方法证明了:(1)恰有12组Pythagoras数(x,y,z)满足2p(x,y,z)=xy,其中p为奇素数;(2)恰有36组Pythagoras数(x,y,z)满足2pq(x+y+z)=xy,其中p,q均为奇素数,且p相似文献
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题目 设x,y,z是满足x y z=5,xy yx zx=3的实数,试求z的最大值.(加拿大第七届中学生数学竞赛试题) 1 构造一元二次方程 相似文献
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先看下面不等式的证明过程:设x、y、z是非负实数,且满足x+y+z=1,求证:4(xy+yz+zx)-9xyz≤1。 证明:由对称性,不妨设x≥y≥z,则0≤z≤1/3,进而知4-9z>0。 相似文献
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逯中原 《数理化学习(初中版)》2006,(4)
近年来,各省市中考及初中数学竞赛中,经常有最值问题出现,现举例说明·一、利用判别式求最值例1(2004年全国初中数学竞赛试题)实数x、y、z满足x+y+z=5①,xy+yz+zx=3②,则z的最大值是·分析:消去一未知数,使之变为z为参数的一元二次方程·解:由①得y=5-x-z③把③代入②得x(5-x-z)+z(5-x-z)+zx=3整理得:x2+(z-5)x+z2-5z+3=0因为x为实数,所以Δ≥0所以(z-5)2-4(z2-5z+3)≥0所以(3z-13)(z+1)≤0所以-1≤z≤133·二、利用非负数性质求最值例2多项式P=2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值为·分析:将多项式配方,使之化为几个非负数之和·解:P=2x2-4xy+5y2… 相似文献
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王俊 《济南职业学院学报》2004,(5):48-49
二次函数y =ax2 +bx +c(a≠ 0 )配方后可变为标准形式y =a(x + b2a) 2 + 4ac-b24a (a≠ 0 ) ,由此可以很快求出y的最值 ,初中数学中 ,有不少的最值问题 ,常常可以转化为二次函数来求解 ,下面通过几个例子来介绍几种求解方法。一、主元代入法例 1. 已知x、y、z均是实数 ,且满足x + 2y -z =6x -y + 2z =3求x2 +y2 +z2 的最小值。 (2 0 0 1年安庆市竞赛题 )解 :原方程组变为 :x + 2y =6 +zx -y =3- 2z,解得 x =4 -zy =z+ 1于是x2 +y2 +z2=(4-z) 2 + (z+ 1) 2 +z2=3z2 - 6z+ 17=3(z - 1) 2 + 14当z=1(此时x =3,y =2 )时 ,x2 +y2 +z2 取到最小值… 相似文献