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试题第一天(上午8:00—12:30) 一.设a_1,a_2,…,a_n是给定的不全为0的实数,r_1,r_2,…,r~n是实数,如果不等式sum from k=1 to n[r_k(x_k-a_k)]≤(sum from k=1 to n(x_k~2))~(1/2)-(sum from k=1 to n(a_k~2))~(1/2)对任何实数x_1,x_2,…,x_n成立,求r_1,r_2,…,r_n的值。二.设C_1,C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的半径的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长;并确 相似文献
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八年级 1.(1)如果存在n个整数,其积为n且其和为零,那么数n能被4整除。 (2)如果自然数n能被4整除,试证必存在n个整数它们的乘积为n,而和为零。 2.证明:对任意的非负数a和b,下述不等式成立 1/2(a+b)~2+1/4(a+b)≥ab~(1/2)+ba~(1/2)。 3.平面上有二个等边三角形A_1A_2A_3和B_1B_2B_3,A_1→A_2→A_3与B_1→B_2→B_3为顺时针方向。 相似文献
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本文证明了:单位质点组的重心是到各质点距离均平方和最小的点。由此确定了到多边形及多面体各顶点距离的平方和最小的点的位置。我们知道:两个质量分别为m_1和m_2的质点A和 B,它们的重心G在线段AB上,重心G的质量为m_1+m_2,并且重心G分线段AB的比为m_2∶m_1。于是,我们可以得到下面的结论。 [定理1] 设A_1、A_2…A_n是质量相同的n个单位质点,则它们的重心的位置可用下面方法求得:先连结线段A_1A_n,并取其中点为B_1;然后连结线段A_2B_1,并在其上取点B_2,使得A_2B_2=2B_2B_1;再连线段A_3B_2,并在其上取点B_2,使A_3B_3=3B_3B_2;再连结线段A_4B_3,并在其上取点B_4,使A_4B_4=4B_4B_3;……如 相似文献
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六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。 相似文献
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河北省2002年中考数学第26题是一道有创新意义的好题,它由简单到复杂,由特殊到一般,考察了学生的联想与探索能力. 题目图形的操作过程(本题中4个矩形的水平方向的边长均为a,竖直方向的边长均为b): 在图1中,将线段A_1A_2向右平移1个单位到B_1B_2,得到封闭图形A_1A_2B_2B_1(即阴影部分); 在图2中,将折线A_1A_2A_3向右平移1个单位到B_1B_2B_3,得到封闭图形A_1A_2A_3B_3B_2B_1(即阴影部分). 相似文献
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张晓华 《苏州教育学院学报》1996,(2)
高中《立体几何》P31第9题为:求证两条平行线和同一平面所成的角相等,教学参考书上给出的证明是这样的: 已知:a∥b,a∩α=A_1,b∩α=B_1,∠θ_1,∠θ_2分别是a、b与α所成的角。 求证:∠θ_1=∠θ_2。 证明:如图,在a和b上分别取点A、B,这两点在平面α的同侧,且AA_1=BB_1,连结AB和A_1B_1,∴AA_1(?)BB_1,∴四边形AA_1BB_2是平行四边形,∴AB∥A_1B_1,∵A_1B_1(?)α,∴AB∥α,设A_2、B_2分别是α的垂线AA_2、BB_2的垂足,连结A_1A_2、B_1B_2,则距离AA_2=BB_2。 相似文献
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第三届全国数学冬令营选拨赛试题第2题:设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4的周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长,并请确定等号成立的条件。本题可推广为: 设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的m(m>l)倍。 n(n≥3)边形A_1A_2…A_n内于C_1。将A_nA_1延长交圆C_2于B_1, 相似文献
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康艳红 《中学数学研究(江西师大)》2007,(9):27-28
2007年江西高考理科第20题是这样的:如图是一个直三棱柱(以A_1B_1C_1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A_1B_1=B_1C_1=1,∠A_1B_1C_1=90°,AA_1=4,BB_1=2,OC_1=3. 相似文献
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如所周知,将抛物线 y=ax~2(a≠0 (1)平移,可得抛物线y=ax~2 bx c (2)我们将顶点在抛物线上的三角形叫做抛物线的内接三角形.性质1 若抛物线(1)和(2)的内接△A_1A_2A_3和△B_1B_2B_3的顶点的横坐标分别相等,则这两个三角形的面积相等.证明:设顶点的横坐标依次为 x_1,x_2,x_3,由 相似文献
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梁训果 《重庆第二师范学院学报》1995,(2)
矩形的边长之比为1:2~(1/2),本文简称1:2~(1/2)矩形。1:2~(1/2)矩形有以下性质。性质如图,N、M 分别是矩形 ABCD 较长边 AB、CD 的中点,AM、CN 分别交 BD 于 E、F。如果较长边AB=2~(1/2)BC,那么,E 和 F 两点是分别过 E、F 的两条线段的垂足,且 E、F 是所在线段的三等分点,今较短边BC=a,AB=2~(1/2)a,则 ME=NF=(1/3)CN=(1/3)AM=(1/6)6~(1/2)a,BF=EF=DE=(1/3)3~(1/2)a。应用以上平几知识,可以提高分析和解决某些立几问题的能力,兹举例并分析如下。例1 正方体 ABCD—A_1B_1C_1D_1中,二面角 A_1— 相似文献
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《数学教学》1992,(5)
276.设P是正△ABC内一点,分别作P关于直线AB、BC、CA的对称点C_1、A_1、B_1,并设△ABC、△A_1B_1C_1的面积分别为S、S′,试证:S′≤S。证:如图1,设正△ABC的边长为x,P到三边BC、CA、AB的距离分别为a、b、c,△PB_1C_1、△PC_1A_1、△PA_1B_1的面积分别为S_1、S_2、S_3,那么S′=S_1+S_2+S_3,且因∠A_1PB_1=∠B_1PC_1=∠C_1PA_1=120°,所以 S_1=1/2·2b·2c·sin120°=3~(1/2)bc, S_2=3~(1/2)ca,S_3=3~(1/2)ab。因正三角形内任一点到三边的距离之和等于此正三角形的高,即a+b+c=3~(1/2)/2x,于是S′=3~(1/2)(bc+ca+ab)≤3~(1/2)·1/3(a+b+c)~2=3~(1/2)/3·(3~(1/2)/2x)~2=3~(1/2)/4x~2=S。 相似文献
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设A_1,B_1,C_1分别是△ABC中BC,CA,AB边上的任意点,则你△A_1B_1C_1为△ABC的内接三角形。本文中记△ABC的面积为S,AB=c,BC=a,CA=b,内切圆半径为r,三旁切圆半径为r_a,r_b,r_c;AC_1/C_1B=m,BA_1/A_1C=n,CB_1/B_1A=l,△AC_1B_1,△BA_1C_1,△CB_1A_1,△A_1B_1C_1的面积分别为S_1,S_2,S_3,S′。则有。定理、△ABC的面积S与其内接△A_1B_1C_1面积S′有如下关系式:S′=(1+mnl)/((1+m)(1+n)(1+l))S其中AC_1/C_1B=m,CB_1/B_1A=l,BA_1/A_1C=n。 相似文献
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《立体几何》第31页第9道题是“求证:两条平行线和同一平面所成的角相等。”人民教育出版社出版的《教学参考书》第43页作了如下的解答: 已知:a∥b,a∩a=A_1,b∩a_1=B_1,∠θ_1、∠θ_2分别是a、b与a所成的角,求证:∠θ_1=∠θ_2。证:如图,在a与b上分别取点 A、B,这两点在平面a的同侧,且AA_1=BB_1,连结AB和A_1B_1。∵:AA_1(?)BB_1,∴四边形AA_1B_1B是平行四边形,∴AB∥A_1B_1, 相似文献
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利用“平行线分线段成比例定理”容易证得如下: 推论 共点线束在两条平行线上所截得的线段对应成比例. 如图 1,直线a//b,过点O的三条直线分别交a、B于A_1、A_1、A_3和B_1、B_2、B_3,则 相似文献