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题目（2013年高考湖北卷·理13）设x,Y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=——.解法1（柯西不等式）因为x2+y2+z2=1,x+2y+3z=141/2,所以利用柯西不等式得（12+22十32）·（X2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2,即14≥14,说明不等式等号条件成立,故1/x=2/y=3/z.令1/x:2/y:3/z:1/k,则x=k,Y=2k,z=3k,将其代入x+2y+3z=141/2,得k=14{1/2),即x+y+z=6k=141/3. 相似文献
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查正开 《数理化学习(高中版)》2013,(8):10-11
在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=（14）1/2,则x+y+z=<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2,因为x2+y2+z2=1,所以（x+2y+3z）2≤14,即得x+2y 相似文献
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陕西安振平老师在文[1][2]两次提出了如下一个颇有难度的无理不等式猜想,即已知a,b,c为正实数,则（a2/（a2+26bc））1/3+（b2/（b2+26ac））1/3+（c2/（c2+26ab））1/3≥1.（1）笔者经过一年多研究发现这个猜想不等式是成立的,现给出证明.证明:设x=（bc）/（a2）,y=（ac）/（b2）,z=（ab）/（c2）,则不等式（1）等价于下面命题,即x,y,z为正实数且xyz=1.则 相似文献
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高考原题（2011年高考浙江理科卷第16题）设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是<sub><sub><sub><sub><sub>,难度系数0.78利用重要不等式求最大值解法1∵1=4x2+y2+xy≥2·2xy+xy=5xy,∴xy≤1/5.令t=2x+y,则t2=（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1-xy+4xy=1+3xy≤1+3/5=5/8,所以2x+y的最大值是2(101/10). 相似文献
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聂生庚 《中学数学研究(江西师大)》2013,(6):35-36
2008年同济大学自主招生有这样一道试题:在实数范围内求满足方程组（?）的实数x,y,z的值,对于学习过竞赛的同学来讲,利用柯西不等式解答会比较得心应手,其解答如下:由Cauchy不等式,39=-8x+6y-24z≤（-8）2+62+（-24）2(1/（-8）2+62+（-24）2·x2+y2+z2(1/x2+y2+z2=6761/676 相似文献
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李云杰 《中学数学研究(江西师大)》2022,(1)
试题呈现设x,y,z>0且满足x2+y2+z2=3,求证xyz(x+y+z)+2021≥2024xyz①.式①形式简洁优美,四川成都西华中学的张云华老师给出了如下证明:由基本不等式得x2+y2+z2≥33√x2y2z2,则33√ x2y2z2≤3,04√xyz·1/xyz+2020xyz=2024xyz. 相似文献
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本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p2/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值. 相似文献
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卜以楼 《数理天地(初中版)》2008,(10):14-15
例1已知3x-31/2y+z=0,求证y2≥4xz.分析待证的"y2≥4xz",类似于"b2≥4ac".现在所要解决的问题就是将"3x-31/2y+ z=0"中的"x,y,z"由通常的主元地位降至参数.而"3X-31/2y+z=0"中的3=(31/2)2,给我们提供了"二次"与"一次"的关系,于是本题可 相似文献
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一、三角函数对称问题三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象具有对称性.根据图象,由ωx+φ=κπ+π/2,得对称轴方程是x=1/ω（κπ+π/2-φ）;再由ωx+φ=κπ,得对称中心是（（κπ-φ）/ω,0）（以上k∈Z）.下在同通过一道高考题,给出求解三角函数图象对称问题的几种处理策略.例1函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/8对称,求实数a的值.分析一般地,可考虑利用公式asinx+bcosx=（a2+b2）1/2sin（x+φ）,将f（x）化为只含一个三角式的形式,f（x）=（a2+1）1/2(sin2x·1/（a2+1）1/2+cos2x·a/（a2+1）1/2)=（a2+1）1/2sin（2x+φ）,其中sinφ=a/（a2+1）1/2,cosφ= 相似文献
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包宁霞 《数理天地(初中版)》2008,(11):11-12
例1已知x、y为实数,且y= (（x2-1）1/2+（1-x2）1/2)/（x+1）,求xy的值.分析应用二次根式的定义,就可解决.解由已知,得x2-1≥0,且1-x2≥0,显然x2=1,x=±1.又由x+1≠0,知应舍去x=-1,故只取x=1,代入到 相似文献
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厉倩 《数理天地(高中版)》2008,(4):21-22
题1设x,y,z为非负实数,且x+y+z =1,则0≤xy+yz+zx-2xyz≤7/（27）.（第25届IMO）题2正实数a,b,c的和为1,求证:（ab）5/4+（bc）5/4+（ca）5/4<1/4.（04年IMO中国国家队培训题）这两道题的形式、结构及其中的指数都不相同,从表面上看没有联系,然而,在本质上这两道题联系紧密.为了挖掘这两道题深层的联系,不妨先加强或推广这两道题. 相似文献
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一、选择题1.（2011年辽宁卷·文12）已知函数f（x）=Atan（ωχ+ψ）（ω>0,|ψ|<π/2）,y=f（x）的部分图像如图1,则f（π/24）=（）A.2+31/2 B.31/2C.31/2/3 D.2-31/2 相似文献
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"心"定,半径变例1（2010山东济南）如图1,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,直线BD的函数表达式为y=-31/2x+331/2,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C,与x轴交于点E. 相似文献
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引例求Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1.解析（法一）显然,an=n·2n-1为等差乘等比型数列,可选择采用错位相减法.Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,2Sn=1·21+2·2++…+（n-1）·2n-1+n·2n,则-Sn=(20+21+22+…+2n-1)-n·2n=2n-1-n·2n,即Sn=（n-1）·2n+1.（法二）注意到an=n·xn-1型以及（xn）′=n·xn-1,可选择以导数为工具,采用构造函数法.令f（x）=1·x0+2·x1+3·x2+…+n·xn-1,不难观察到,（xn）′=n·xn-1,所以f（x）=（x+x2+x3+…+xn）′=((xn+1-x)/（x-1）)′=(n·xn+1-（n+1）xn+1))/（（x-1）2） 相似文献
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不等式的证明题中,常常会在给定条件或待证的不等式中含有“1”或与“1”有关的项.因此,熟知“1”的应用技巧并灵活运用,对学生拓宽解题思路、提高解题能力是十分有益的.下面就证明不等式时“1”的几个常用技巧做一总结.※“1”的等量代换法※当给定条件中有含“1”的等量关系式时,常常将“1”用式子等量代换到要证明的不等式中,对原不等式变形.[例1]已知x+y+z=1,证明x2+y2+z2≥13.证明:原不等式可变形为3(x2+y2+z2)≥1.∵x+y+z=1,∴3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,左-右=3x2+3y2+3z2-(x+y+z)2=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0∴原… 相似文献
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《初中数学教与学》2015,(21)
<正>商的算术平方根化成算式平方根的商是有条件限制的,即公式(a/b)(1/2)=a(1/2)=a(1/2)/b(1/2)/b(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)(1/2)的值.这两题的结构相同,区別仅在于已知条件中两数和的符号相反,但是在解法上却是不一样的. 相似文献
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<正>1试题呈现(连云港中考第16题)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x,y为实数),则W的最小值为_____。2解法探究思路1整体思想+配方法把2x—y看作一个整体,利用完全平方式进行配方。解法1:W=4x2-4xy+y2+4x-2y+1+x2+4x+2=(2x-y)2+2(2x-y)+1+(x+2)2-2=[(2x-y)+1]2+(x+2)2-2,显然当(x+2)2=0且[(2x-y)+1]2=0,即x=-2,y=-3时,Wmin=—2。思路2主元思想+配方法 相似文献