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结论如图１,已知二面角Ｍ—ＡＢ—Ｎ为直二面角,ＡＥＭ,ＢＦＮ,且∠ＥＡＢ＝α,∠ＦＢＡ＝β,ＡＢ＝ａ,０≤α、β≤９０°,异面直线ＡＥ、ＢＦ所成的角为θ,距离为ｄ,则（１）ｃｏｓθ＝ｃｏｓα·ｃｏｓβ;（２）ｄ＝ａ１＋ｃｔｇ２α＋ｃｔｇ２β．图１... 相似文献
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郝世富 《中学数学教学参考》1997,(11)
两个平面垂直的一个充要条件及其应用陕西省南郑县江南压铸总厂子校郝世富定理由一点Ｓ引不共面的三条射线ＳＡ、ＳＢ、ＳＣ，设∠ＡＳＢ＝θ１，∠ＢＳＣ＝θ２，∠ＡＳＣ＝θ，其中θ１、θ２、θ均为锐角，则平面ＡＳＢ⊥平面ＢＳＣ的充要条件是ｃｏｓθ１·ｃｏｓθ２... 相似文献
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试验修订本 (下Ｂ)第九章第三单元《夹角与距离》开篇这样写道 :已知ＡＯ是平面α的斜线 ,Ａ是斜足 ,ＯＢ⊥α ,Ｂ为垂足 ,直线ＡＢ是斜线在平面α内的射影 ,设ＡＣ是α内的任一条直线 ,且ＢＣ⊥ＡＣ ,垂足为Ｃ ,又设ＡＯ与ＡＢ所成的角为θ1,ＡＢ与ＡＣ所成的角为θ2 ,ＡＯ与ＡＣ所成的角为θ ,则ｃｏｓθ=ｃｏｓθ1·ｃｏｓθ2 ①命题的简洁性与图形结构的特殊性以及涉及知识点的重要性 ,决定了其应用的广泛性 ,该命题在原立几教材中曾作为一道综合复习题。1 变更表述为更好地应用这一结论 ,依据图 1 ,变更其表达方式。图 1已知射线ＡＯ … 相似文献
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在处理某些数学问题时,根据题目的结构特征构造出直角三角形,利用直角三角形的性质,常可使问题巧妙获解．本文仅根据解题实践中的积累,粗略地对此进行归纳试探,以做引玉之砖．１ 利用锐角三角函数定义构造直角三角形例１ 已知α、β、γ均为锐角,β＜γ,ｔｇα＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγｃｏｓβ－ｃｏｓγ,求证：ｔｇβ＝ｓｉｎα·ｓｉｎγｃｏｓα＋ｃｏｓγ．图１证明 根据题设构造Ｒｔ△ＡＢＣ,使ＡＣ＝ｃｏｓβ－ｃｏｓγ,ＢＣ＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγ,∠Ａ＝α,如图１．∴ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝１－ｃｏｓβ·ｃｏｓγ．∵ｃ… 相似文献
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用ｓｉｎθ＝ｓｉｎα·ｓｉｎβ解高考试题王国平徐柏英（河南省太康一中４６１４００）如图１所示,ＢＯ是斜线ＢＡ在平面Ｍ内的射影,ＢＣ是平面Ｍ内过点Ｂ的一条射线．若∠ＡＢＯ＝θ,∠ＡＢＣ＝α,平面ＡＢＣ与平面Ｍ所成二面角为β,易证得ｓｉｎθ＝ｓｉｎα·ｓ... 相似文献
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在解决三角形中有关三角函数的求值问题时,要注意角的范围与三角函数值的联系与影响,通过对内在条件的挖掘,使隐含的条件显露出来。现就一常见类型问题的求解讨论如下：在△ＡＢＣ中,已知ｓｉｎＡ＝ｐ,ｃｏｓＢ＝ｑ,求ｃｏｓＣ。显然０＜ｐ≤１,－１＜ｑ＜１。 （一）当ｐ＝１时,知Ｂ＋Ｃ＝π２,∴ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＢ＝１－ｑ２; （二）当ｑ＝０时,知Ａ＋Ｃ＝π２,∴ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＝ｐ; （三）当－１＜ｑ＜０时,知０＜Ａ＜π２,π２＜Ｂ＜π,∴ｃｏｓＡ＝１－ｐ２,ｓｉｎＢ＝１－ｑ２,∴ｃｏｓＣ＝－ｑ１－… 相似文献
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定理设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是空间四点,射线ＢＣ与ＡＤ平行移动到它们的端点重合时所成的角作为直线ＢＣ与ＤＡ的夹角,记为（ＢＣ,ＤＡ）,那么：ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＣ２＋ＤＢ２－２ＢＣＤＡｃｏｓ（ＢＣ,ＤＡ）图１证明如图１,设Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＣＤ的中点,Ｍ为ＡＣ... 相似文献
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我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形．它有一个重要的性质如下：定理 在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ、ｂ、ｃ成等差数列，则有ｔｇＡ２ｔｇＣ２＝１３．证明 由题意知 ２ｂ＝ａ＋ｃ，由正弦定理得 ２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，∴ ４ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝２ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ－Ｃ２．又∵ ｓｉｎＡ＋Ｃ２≠０，则有２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝ｃｏｓＡ－Ｃ２，即 ２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２－２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２＝ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２，∴ ３ｓｉｎＡ２… 相似文献
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正弦定理和余弦定理是解斜三角形的两个常用定理．但是对于某些问题,若运用射影定理解决则更为方便．１定理与证明射影定理在△ＡＢＣ中,ａ、ｂ、ｃ分别是角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边,则有ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢ,ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡ,ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．图... 相似文献
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求斜线和平面所成角的问题，历来都被考试命题所青睐．它是教学的重点，也是一个难点．解决这类问题的“三步曲”是，作角、证角、计算，其中作角是关键．解题时常会因判断不准，作角位置不正确，导致解题失败．本文介绍一个斜线和平面所成角的性质，可避免作角、证角的麻烦，而使问题顺利解决．定理 经过一个角的顶点，引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边的夹角为α、β，这个角为γ，那么这条斜线与平面所成的角是δ＝ａｒｃｃｏｓｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β－２ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎγ．图１证明 如图１，∠γ所在… 相似文献
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定理 设两条异面直线ａ ,ｂ所成的角为θ ,由ｂ上两点Ａ ,Ｂ引ａ的垂线 ,垂足分别是Ａ1,Ｂ1.则ｃｏｓθ=Ａ1Ｂ1ＡＢ . ( ) 图 1 证 若Ａ1,Ｂ1是相异两点 ,如图 1,过Ａ作,连Ｂ1Ｃ和ＢＣ ,则Ｂ1Ｃ ∥ＡＡ1.∵ＡＡ1⊥ａ ,∴ａ⊥Ｂ1Ｃ .又ａ⊥ＢＢ1,∴ａ⊥平面ＢＢ1Ｃ ,故ＡＣ⊥ＢＣ .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠ＢＡＣ =θ ,ｃｏｓθ=ＡＣＡＢ,从而ｃｏｓθ =Ａ1Ｂ1ＡＢ .若Ａ1,Ｂ1两点重合 ,易知ａ⊥ｂ ,显然等式ｃｏｓθ=Ａ1Ｂ1ＡＢ 成立 .于是定理获证 .下面举例说明定理在解题中的应用 .例 1 如图 2 ,在长方体ＡＣ1中 ,ＡＢ =4 ,… 相似文献
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张永召 《中学数学教学参考》1997,(6)
关于勃罗卡角、点的两个关系式河南石油勘探局职工大学张永召如图，Ｐ为△ＡＢＣ中一点，若∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝α，则Ｐ点称为勃罗卡点，角α称为勃罗卡角．定理１设α为△ＡＢＣ的勃罗卡角，则１ｓｉｎ２α＝１ｓｉｎ２Ａ＋１ｓｉｎ２Ｂ＋１ｓｉｎ２Ｃ．证明... 相似文献
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一个应用广泛的不等式 总被引：1，自引：1，他引：0
设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证 注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１ 在△ＡＢＣ… 相似文献
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嵇仲韶 《宁波大学学报(教育科学版)》2000,22(3)
ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的下界就一般△ＡＢＣ来说是０,而本文主要就非钝角三角形情况,来探讨幻ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的最小值问题． 当ｎ＝１或２的时候,易证所求的下界为２,本文着重于ｎ≥３的情况． 设ｙ＝ｓｉｎｎｘ,则ｙ’＝ｎｓｉｎｎ－１ｘｃｏｓｘ,再求导得： ｙ”＝ ｎ（ｎ－１）ｓｉｎｎ－２ ｘｃｏｓｘ－ｎｓｉｎｎｘ ＝ｎｓｉｎｎ－２ｘ［（ｎ－１）ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ］． 当 ｔｇｘ≤ ｙ”≥０,此时ｙ＝ｓｉｎｎｘ是凸函数,应用有关凸函数性质可知：（１）当ａｒｃｔｇ … 相似文献
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《中学数学教学参考》1998,(7)
成果集锦不等式ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３Δ的一个对偶定理在非钝角△ＡＢＣ中,有１ａ２＋１ｂ２＋１ｃ２≥５４Δ．（＝｜△ＡＢＣ为等腰直角三角形）①证明：由ｃｔｇＡ＝２ｂｃｏｓＡ２ｂｃｓｉｎＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２４Δ,及ｃｔｇＢ、ｃｔｇＣ的类似表达式,知①等价... 相似文献
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在数学解题中,有些题目用常规思路去做很繁琐,但巧妙构造三角形,便可得到简洁解法。 例１．己知△ＡＢＣ的三个内角 Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ= ２Ｂ,求的值。 （１９９６年全国高考题） 解：∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°,由Ａ＋Ｃ＝２Ｂ,得Ｂ＝６０° 而cos=１０５°=,cos１５°= 易知＋ 构造△ＡＢＣ,如图１,使Ａ＝１０５°,Ｂ＝６０°,Ｃ＝ １５ °从而cos= １５°,从而 cos＝ 例２、求值sin~２１０°＋ｃｏｓ~２４０°＋ｓiｎ１０°ｃｏｓ４０。 （１９９５年全国高考题） 构造△ＡＢＣ,如图２,使Ｂ＝１０°,Ｃ＝５０°,Ａ＝１２… 相似文献
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参考公式 三角函数和差化积公式 ｓｉｎθ＋ｓｉｎψ＝２ｓｉｎ θ＋ψ／２ ｃｏｓ θ－ψ／２； ｓｉｎθ－ｓｉｎψ＝２ｓｉｎ θ＋ψ／２ ｓｉｎ θ－ψ／２； ｃｏｓθ＋ｃｏｓψ＝２ｃｏｓ θ＋ψ／２ ｃｏｓ θ－ψ／２；ｃｏｓθ－ｃｏｓψ＝－２ｓｉｎθ＋ψ／２ ｓｉｎ θ－ψ／２．台体的侧面积公式 Ｓ＝１／２（Ｃ＋Ｃ＇）ｌ，其中Ｃ，Ｃ＇分别表示上、下底面周长，ｌ表示斜高或母线长台体的体积公式 Ｖ台体＝１／３（Ｓ＇＋√ＳＳ＇＋Ｓ）ｈ其中Ｓ＇，Ｓ分别表示上，下底面积，ｈ表示高。 相似文献