一组猜想不等式的统一证明     

沈兵  陈罗英 《中学数学研究(江西师大)》2015,(2):20-21

宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想4为:已知a,b,c是正数,求证a~2/(a~2+(b+c)~2)+b~2/b~2+(c+a)~2+c~2/c~2+(a+b)~2≥3/5(1);(a~3)/(a~3+(b+c)~3)+(b~3)/(b~3+(c+a)~3)+(c~3)/(c~3+(a+b)~3)≥1/3(2);(a~4)/(a~4+(b+c)~4)+(b~4)/(b~4+(c+a)~4)+(c~4)/(c~4+(a+b)~4)≥3/(17)(3).  相似文献   

函数y=f(x)的解析表达式的几种求法     

王守庆 《数学教学通讯》1985,(1)

画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x)  相似文献   

关于方程(ax~2+b)/(cx~2+d)=((-dx+b)/(cx-a))~(1/2)的一个定理     

沈家书 《中等数学》1992,(2)

在发表文[1]时,编者按中提出了方法的适用范围、可靠性、步骤等尚可探讨.下述定理完满地回答了这一问题.定理方程(*)(ax~2+b)/((cx~2+d)=(-dx+b)/(cx-a))~(1/2)(a,b,c,d∈R,ad≠bc)与方程 (1)(ax~2+b)/(cx~2+d)=x(x≥0)和(Ⅱ){(a~2+cd)x~2+(ad-bc)x+d~2+ab=0,(ax~2+b)/cx~2+d≥0,a~2+cd≠0}等价.  相似文献   

分式通分的几种技巧     

张永平 《数理化学习(初中版)》2006,(4)

在分式运算中,常常要利用通分·若我们能细心观察、分析分式的结构特点,结合一定的通分技巧,往往可使运算简捷、准确·取得事半功倍的良好效果·一、整体处理后通分例1计算aa-31-a2-a-1·解:原式=aa-31-(a2+a+1)=a3-(a-a1)-(a12+a+1)=a3-a(a-31-1)=a-11·二、化积约分后通分例2计算x+2x3-3x-10-x2+x3-x2-10·解:原式=(x-5x)+(2x+2)-(x+5x)-(2x-2)=x1-5-x+15=10x2-25·三、分组结合后通分例3计算x-12+x2+1-x-21-x+12·解:原式=(x1-2-x1+2)+(x2+1-x-21)=4x2-4-x24-1=4(x2-1)-4(x2-4)(x2-4)(x2-1)=12x4-5x2+4·四、拆项相消后通分例4计算(x-11)…  相似文献   

初二数学期中自测题及解答     

沈加 《中学数学月刊》1996,(10)

一、填空题 (每题2分,共20分) 1.直接写出下列各式因式分解的结果: 3(x-2)-x(2-x)=____; 4a~2-4=____ 2.x~2 x ____=(____)~2; (x-1/x)~2 _____=(x 1/x)~2. 3.若a~3 1/8m=(a-b)(a~2-nab b~2),则m=____,n=____,n=_____ 4.当x____时,分式(2x-1)/(3x 4)有意义;当x_____时,分式(x~2-4)/(3x-6)的值为零, 5.不改变分式的值,(1)使(1/3x-1)/(x 1/2)分子与分母各项系数都化为整数,得_____;  相似文献   

解方程病例剖析     

王祥林 《中学教与学》1999,(1)

1.忽视方程的同解 例1 解方程:(x-1)(x-2)=x-1. 错解:两边除以(x-1),得 x-2=1,x=3. 评注:忽视了方程的同解,方程两边除以(x-1)就可能导致丢根x=1.为此,把原式整理成(x-1)(x-2-1)=0. ∴x_1=1,x_2=3为所求. 例2 解方程:(x a)/(x-b) (x b)/(x-a)=2. 错解:两边同乘以(x-b)(x-a),有 (x a)(x-a) (x b)(x-b) =2(x-a)(x-b), 即2(x-a)x=(a b)~2. ∴当a b≠0时,x=(a b)/2.  相似文献   

二次函数的定积分     

张维仁 《青岛职业技术学院学报》1995,(2)

本文译自《大学数学》Ⅱ_B(中田羲元·根岸世雄·藤田 宏共著).[B.611]若f(x)是二次函数,则integral from -h to h(f(x)dx)=h/3[f(-h)+4f(0)+f(h)].证 设f(x)=ax~2+bx+c (a≠0)integral from -h to h((ax~2+bx+c)dx)=2integral from 0 to h((ax~2+c)dx)=2[(a/3)x~3+cx]_0~h=h/3[2ah~2+6c]又f(-h)=ah~2-bh+c4f(0)=4cf(h)=ah~2+bh+c以上三式相加得  相似文献   

二元二次多项式的因式分解     

李海北 《中等数学》1984,(3)

数域P上的一元二次多项式ax~2+bx+c(a≠0)在数域P上能够分解的充要条件是(b~2-4ac)~(1/2)∈P,并且当(b~2-4ac)~(1/2)∈P时,ax~2+bx+c=a[x+(b-(b~2-4ac)~(1/2))/2a)][x+(b+(b~2-4ac)~(1/2))/2a]。可是在什么条件下,数域P上的二元二次多项式f(x,y)=ax~2+bxy+cy~2+dx+ey+f (Ⅰ) (a,b,c不同时等于零)在数域P上能够分解呢?如能分解,该怎样分解呢?本文详细讨论这两个问题。  相似文献   

关于代数方程和方程组的解和讨论的题目     

М.Б.巴尔克  鲜于方圣 《数学教学》1958,(6)

1.方程组{ax+y=a~2 x+ay=1 有多少解? 2.方程组{ax+y+z=1 x+ay+z=a x+y+az=a~2 有多少解?3.解方程|x-1|+|x-2|+|x-3|=x。 4.解方程(x+3-4(x-1)~(1/2)~(1/2)+(x+8-6(x-1)~(1/2))~(1/2)=1。5.下列方程是否有实根?  相似文献   

北师大版八年级(下) 第2章 分解因式     

袁荣贵 《中学数学教学参考》2006,(6)

一、精心选一选(每小题3分,共24分)1.下列变形,属于因式分解的是( ).A.2xy(x+3x~2y)=2x~2y+6x~3y~2B.(x-4)~2=x~2-8x-16C.5a~2-10a=5a(a-2)D.ax~2+bx+c=x(ax+b)+c2.把多项式-5ab+10abx-25aby 因式分解的结果是( ).A.-ab(5+10x-25y) B.-5ab(1-2x+5y)C.-5ab(2x-5y) D.-5ab(1-2x-5y)3.多项式-4xy~2+12x~2y~2-16x~3y~2z 的公因式是( ).  相似文献   

分式加减运算中的创造性思维例话     

徐新宏 《安徽教育》1990,(12)

例1、计算(x-1)/(x~2-3x+2)+(x+1)/(x-2)-(x~2-x-6)/(x~2-4) 解:原式=(x-1)/[(x-1)(x-2)]+(x+1)/(x-2)[(x-3)(x+2)]/[(x+2)(x-2)]=1/(x-2)+(x+1)/(x-2)-(x-3)/(x-2)=[1+(x+1)-(x-3)]/(x-2)=5/(x-2) 说明:本题看起来是异分母的分式相加减,但把两个较复杂的公式的分子、分母分解因式后,约去公因式,就变简单了,且是同分母的分式相加减。若不这样做,则会异常繁杂。  相似文献   

利用体积解立体几何题     

卫广彦 《中学数学教学》1983,(1)

和面积在平面几何中的地位相当,体积在立体几何中也有一番妙用。举例说明如下。一利用体积求点到平面的距离例1 长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c,求顶点B_1到截面A_1BC_1的距离。解由题设,长方体AC_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c, ∴A_1B=(a~2+c~2)~(1/2),BC_1=(b~2+c~2)~(1/2),A_1C_1=(a~2+b~2)~(1/2) 故cos∠BA_1C_1=((A_1B)~2+(A_1C_1)~2-(BC_1)~2)/(2A_1B·A_1C_1)=(a~2+c~2+a~2+b~2-b~2-c~2)/(2((a~2+c~2)~(1/2))·(a~2+b~2)~(1/2))=(a~2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))sin∠BA_1C_1=(1-(a~4)/(a~2+c~2)(a~2+b~2))~(1/2)=(a~2b~2+b~2c~2+c~2a~2)~(1/2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))  相似文献   

因式分解的应用(配合北师大版)     

胡卉文 《中学生数理化》2005,(2)

利用因式分解进行分式的化简和计算,是中考中的常见题型,它不仅考查了同学们对因式分解的掌握情况,而且考查了计算能力.例1(广州市)计算:x2+2x-3/x2-9·x2-5x+6/3x2-x-2.解:原式=(x+3)(x-1)/(x+3)(x-3)·(x-2)(x-3)/(3x+2)(x-1)=x-2/3x+2.点评:本题将各多项式进行因式分解后,可以发现分子分母有公因式,约去公因式,即可达到化简的目的.  相似文献   

一道课本习题的五种换元解法     

刘顿 《中学数学月刊》1997,(1)

题 用换元法解方程((x 2)/(x-1))~(1/2) ((x-1)/(x 2))~(1/2)=5/2。 (人教版初中代数第三册第57页第3题) 解法一 (运用倒数关系换元) 设((x 2)/(x-1))~(1/2)=y,则((x-1)/(x 2))~(1/2)=1/y, ∴原方程化为y (1/y)=5/2, 解这个方程,得y_1=2,y_2=1/2。 当y=2时,((x 2)/(x-1))~(1/2)=2, 解之,得x_1=2;  相似文献   

用判别式法求函数y=(mx~2+nx+p)/(ax~2+bx+c)的值域     

于桂华 《中等数学》1987,(6)

如果a≠0,函数可化为 y=m/a+(dx+e)/(ax~2+bc+c)。因而只考虑分式函数y=(dx+e)/(ax~2+bx+c)就行了。 1.b~2-4ac<0。此时对任何实数x,  相似文献   

当a+b+c=0时     

刘宝军 《中学生理科月刊》2003,(Z2)

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。  相似文献   

1983年第一期数学问题     

《中学数学教学》1983,(1)

1.试证:在直角坐标系中,一切重心坐标为((661/3)~(1/2),((2×661)/3)~(1/2))的三角形的三顶点到原点的距离的和都大于或等于(1983)~(1/2) (浙江新昌徐晟提) 2.若a>0,且a≠1,证明:(1+a~2+a~4+…+a~(2n))/(a+a~3+a~5+…+a~(2n-1))>(n+1)/(n)。 (铜陵县一中郎永发提) 3.△ABC的三个角满足关系式Sin1/2(A-B)+sin1/2(A-C)+sin1/23A=3/2,求:(1)sin~2B+cos~2C的值;(2)角A的度数。 (黄毓抛提) 4.曲线y=x~3+ax~2+bx+c在x=-1/2处的切线与x轴重合,而在其它各点的切线斜率均  相似文献   

一类代数式求值问题的研究     

陈水泉 《数学教学》1992,(5)

在初中数学竞赛中,常出现一类代数式求值问题,如: (1) 已知x=2-3~(1/2),求x~4-5x~3+6x~2+5x的值。(1986年上海市初中数学竞赛试题) (2) 若x=(5~(1/2)-1)/2,则x~4+x~2+2x-1=____。(第六届全国部分省市初中数学通讯赛试题) (3) 已知x=(111~(1/2)-1)/2,求多项式(2x~5+2x~4-53x~3-57x+54)~(1989)值。(1989年浙江省初中二年级数学竞赛试题) (4) 已知a=(22~(1/2)+5~(1/2))/(5~(1/2)-2~(1/2))求值:a~5-7a~4+6a~3-7a~2+11a+13。(第三届求是杯数学竞赛初二试题) (5) 当x=3~(1/2)-1时,代数式 (x+4)/(x~3+6x~2+5x-3~(1/2)-15)的值是多少?(88—89学年度广州、福州、武  相似文献   

一道方程题的五种妙解     

郑传礼  骆怡  叶峰  冯佑明 《数学教学通讯》1993,(3)

解方程组: (初中代数第三册P_(154-155)13(13)) 解法一(构造法):由原方程组可知: (x+1)~(1/2)>0,(y-2)~(1/2)>0而(((x+1)~(1/2))~-((y-2)~(1/2))~2=((x-y+3)~(1/2))~2=15 因此(x-y+3)~(1/2), (y-2)~(1/2),(x+1)~(1/2)而能构成图中的直角△。设(x+1)~(1/2)=a (Ⅰ), 则(y-2)~(1/2)=5-a (Ⅱ) (5-a)~2+(15~(1/2))~2=a~2(?)a=4代入(Ⅰ)、(Ⅱ)解得x=15,y=3。经检验是原方程组的解(以下省去这步)。  相似文献   

1986年献礼     

张焕明  数学组  刘宁 《数学教学通讯》1986,(3)

1.若(a b)/(a-b)=(b c)/(b-c)=(c a)/(c-a) 求证:|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 【证明】:由条件(*)知a、b、c两两不等,且abc≠0,对(*)式用合分比定理得a/b=b/c=c/a=x≠1从而c=ax,b=cx=ax~2,a=bx=ax~3 ∴ x~3=1,可见x是1的立方虚根w或w~2。∴ c=aw,b=xw~2或c=aw~2,b=aw~4=aw, 于是|a~(1986)|=|(aw~2)~(1986)|=|(aw)~(1986)| 故|a~(1986)|=|b~(1986)|=|c~(1986)| 2.证明:是合数【证明】:=10~(1986)-1/9=(10~(993))~2-1/9=((10~(993) 1)(10~(993)-1))/9  相似文献