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我们知道,n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即若x_1,x_2,…,x_n∈k~ ,且n>1,有:(x_1 x_2 … x_n)/n≥(x_1x_2…x_n)~(1/2),其中,等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立。利用此不等式可求一些函数的 相似文献
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本文给出一个非常简单的不等式,并用于解证几道国内外数学竞赛题。由a~2+b~2≥2ab(a,b∈R),即a~2≥b(2a-b)可得推论若a,b∈R且b>0,则a~2/b≥2a-b。当且仅当a b时取等号例1 已知x>0,(?)1,2…,n,求证: x_1/x_2+x_2/x_3+…+x_n/x_1≥x_1+x_2+…+x_n。 (1984年全国高中数学联赛试题) 证明:由推论得 x_1/x_2≥2x_1-x_2,x_2/x_3≥2x_2-x_3,…,x(?)/x_1≥2(?)-x_1。将以上n个同向不等式两边相加,得 相似文献
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本文给出不等式x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1(其中x,y,z∈R_ )的一种最简单的证法。这种证法只需引用不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9 (*)其中a,b,c∈R~ 。 令a=x/(1 x xy),b=y/(1 y yz),c=z/(1 z zx)易知 1/a 1/b 1/c=1/x 1 y 1/y 1 z 1/z 1 x=3 (x 1/x) (y 1/y) (z 1/z)≥3 2 2 2=9,当且仅当x=y 相似文献
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夏中全 《中学数学教学参考》1994,(8)
若n∈N,n>1,则(1 x)~n≥1 nx. 其中等号当且仅当x=0时成立. 这就是著名的贝努利不等式.高中《代数》下册第123页用数学归纳法给出了它的证明,但未介绍它的应用.本文兹举几例,供教学时参考. 例1若x_i>-1,(i 1,2,…,n),n∈N,且x_1 x_2 … x_n=0,求证 (1 x_1)~n (1 x_2)~n … (1 x_n)~n≥n. 证明:当n=1时,等号显然成立. 当n>1时,由贝努利不等式知(1 x_1)~n (1 x_2)~n … (1 x_n)~n≥(1 nx_1) (1 nx_2) … (1 nx_n)=n n(x_1 x_2 … x_n)=n. 相似文献
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文[1]探讨了如下问题[2]:设x、y、z为非负实数,且x y z=32,求式子x3y y3z z3x的最大值;并猜想:设x、y、z为非负实数,n∈N*,n≥2,则xny ynz znx≤(n n1n)n 1(x y z)n 1.经笔者研究,有如下更一般的结果(本文中,xm 1=x1)定理设∑mi=1xi=1,xi≥0,m,n∈N*,m≥3,n≥2,则∑mi=1xinxi 1≤nn/(n 1)n 1.证明(数学归纳法)当m=3时,需证x1nx2 x2nx3 xn3x1≤nn/(n 1)n 1;考虑到不等式中字母的轮换性,不妨设x1=max(xi):1)若x1≥x2≥x3,则x1nx2 x2nx3 x3nx1≤x1nx2 2x1n-1x3x2≤(x1n nx1n-1x3)x2≤(x1 x3)nx2=(1-x2)n×nx2/n≤[n/(n 1)]n 1/n=nn/(n 1)n 1;2… 相似文献
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张继延 《苏州教育学院学报》1996,(1)
求三角函数式的极值,最常用的不等式及其性质、定理,可归纳为以下三个方面: 1.一元二次方程在实数范围内有解,则判别式大于或等于零,即b~2-4ac≥0; 2.三角函数具有有界性,如-1≤sinx≤1,-1≤cos≤1; 3.x_1 x_2 …x_n/n≥(x_1·x_2…x_n)~(1/n)(x_1,x_2,…x_n均为正数,n为正整数,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。 利用不等式求三角函数式的极值时常见错误剖析如下: 相似文献
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蒋明斌 《中学数学研究(江西师大)》2006,(10):13-16
文[1] 在研究不等武:设 x_1,x_2,…,x_n≥0,且 x_1 x_2 … x_n=1,m∈N,则1/(1 x_1~m) 1/(1 x_2~m) … 1/(1 x_n~m)≤n~(m 1)/(1 n~n)(0)的证明时,需证明如下条件不等式:若 a,b,c>0且 a b c=1,则 相似文献
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有些不等式的证明,从整体上考虑难下手,如果构造若干个结构相同的局部不等式,逐一证明后,再利用同向不等式相加或相乘的性质,即得证所求不等式。例1 设x_1,x_2……x_n是n个正数,求证:x~2_1/x_2 x~2_2/x_3 … x~2_n/x_n x~2_n/x_1≥x_1 x_2 … x_n(’84全国数学竞赛 相似文献
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一个不等式的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
文 [1 ]提出一个猜想不等式 :设 x,y,z∈ ( 0 , ∞ ) ,则有xx y yy z zz x≤ 322 . ( 1 )文 [2 ]应用导数给出了证明 ,文 [3]又给出其下界估计xx y yy z zz x>1 . ( 2 )现将其推广 :设 x,y,z∈ ( 0 , ∞ ) ,n≥2 ,则有1 xx y,yy z>yy z,n zz x>zz x,所以n xx y n yy z n zz x>xx y yy z zz x>xx y z yy z x zz x y=1 .再证右端 .当 n=2时 ,由 ( 1 )知 ,不等式 ( 3)显然成立 .现设 n>2 ,… 相似文献
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本文旨在探讨不等式中一类常见、重要的不等式:(x_1 x_2 …x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2并通过例题,说明利用这个不等式求解含有分式的不等式有关的问题的求解,不仅有章可循,而且比用其它方法求解更为简洁.命题:设x_1,x_2, …,x_n是n个正实数,(?)∈N且n≥2测(x_1 x_2_…x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立,这个不等式就是本文所要介绍的倒数关系不等式. 相似文献
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梁承勇 《中学数学研究(江西师大)》2007,(8):15-16
许多刊物出现这样一个不等式:若a b=1,a>0,b>0则3/2<1/(1 a~n) 1/(1 b~n)≤(2~n 1)/(2~n 1).曹学锋,汪飞老师在《数学通讯》2004(21)上给出了上式的高维形式:若x_1 x_2 …x_m=1,x_1,x_2…,x_m>0,则(m 1)/m<1/(1 x_1~n) 1/(1 x_2~n)… 1/(1 x_m~n)≤(m~(n 1))/(?)(其中m≥2,n≥2且m∈N,n∈R). 相似文献
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一、主要内容 比较大小,不等式的证明,不等式的解法,不等式的应用,函数、数列等数学分支内容与不等式的综合问题,如: 示例1 (’95全国高考题)解不等式 (1/3)~(x~2-8)>3~(-2x) 说明:解不等式是每年必考的热点之一。 示例2 (’94全国高考题)已知函数f(x)=tgx(x∈R~ ),若x_1,x_2∈R~ ,判断与f(x_1 x_2/2)的大小,并加以证明。 说明:此题属于比较大小这一内容,几何背景涉及凹凸函数的性质。 示例3 (’95全国高考题)设{a_n}是由正数组成的等比数列,S_n表示其前n项的和,证明:1/2(lgS_n lgS_(n 2))相似文献
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何秋声 《中学数学教学参考》1994,(4)
有这样一个问题:是否存在互不相等的x_1,x_2,…x_n(n≥3),满足 x_1 1/x_2=x_2 1/x_3=…=x_(n-1) 1/x_n =x_n 1/x_1=t. 本文给出一个充要条件,从而解决这个问题。 定理 对t≠2,n≥3,函数 f(x)=1/t-x 在定义域内有n个两两不同的x_1,x_2,…,x_n,使 相似文献
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题目已知 x,y 是满足 x y=1的正数,求证:1 1/(2~(1/2))<(x~(1/2) y~(1/2))(1/((1 x)~(1/2)) 1/((1 y)~(1/2))≤4/(3~(1/2)).(1)此双联不等式的右半部分,是《数学通报》2002年第8期问题1388题,左半部分是宋庆老师给出的(见《中学数学月刊》2003年第2期),本文给出该不等式的一个根指数推广.推广已知 x,y是满足 x y=1的正数,m∈N且 m≥2,则 相似文献
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张本尧 《郧阳师范高等专科学校学报》1992,(1)
定义.如果对于f(x)的定义域D中的任意x_1,x_2,有f(x_1+x_2)/2≥(≤)则把f(x)叫做D上的上凸(下凸)函数。定理.如果f(x)是D上的上凸(下凸)函数则对于x_1,x_2,…,x_n∈D,n∈N,有f(x_1+x_2+…+x_n)/n≥(≤)f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_k)/n下面我们用凹凸函数的性质证明一类不等式。 相似文献
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在宇宙空间和世界上,大量存在“不等关系”。这类关系在数学中的表现形式是用符号“>”或“<”连结量与量、量与式、式与式等,统称为“不等式”。下面是中学数学中一些重要的不等式。’ (1)(x_1-x_2)~2≥0及x_1~2 x_2~2≥2x_x_2(其中x_1、x_2>0,当x_1=x_2时,等号成立) (2)(x_1/x_2) (x_2/x_1)≥2(其中x_1、x_2>0,当x_1=x_2时,等号成立) (3)如果x>0,y>0,xy=1,则x y≥2(当x=y时,等号成立) 一般说来:如果x_i>0,x_1·x_2…x_n=1(其中i=1,2…n,n表自然数) 相似文献
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第四届(1989年)全国中学生数学冬令营试题的第二题是: 设x_1,x_2,…,x_n都是正数(n≥2),且sum from i=1 to n x_i=1,求证: 二/X。 sum from i=1 to n x_i/1-x_i~(1/2)≥sum from i=1 to n x_i~(1/2)/n-1~(1/2).(1) 本文对这道试题作出如下推广: 设x_1,x_2,…,x_n都是正数(n≥2),且sum from i=1 to n x_i=A>0,若α≥1,β>0,0<γ<1, 相似文献