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有些类型的方程用通常的方法往往不易解得,例如解下列方程: (1)E(x)=2;(2)E(x)=4,其中E(x)=x~2甚至是否有解也难确定,但是如果能利用递推数列则不难求解。本文旨在通过解方程(1)来介绍这一方法: 为解方程(1),我们可令一个递推数列: x_(n+1)=(2~(1/2))~x_n,x_0=1。不难看出,{x_(n+1)}是一个单调递增数列,这是因为当x_n>1_(n-1)时,有 x_(n+1)/x_n=(2~(1/2))~x_n/(2(1/2))~x_(n-1)=(2~(1/2))~(x_x-x_(x-1))>1。而用数学归纳法,我们还可以证得{x_(2+1)}是一个有界数列: 相似文献
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导数的应用是中学数学的一个重要内容.下面讨论利用导数研究函数性质.1利用导数研究函数的单调性在区间(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件是:对于任意的x∈(a,b),有f'(x)≥0(或f'(x)≤0),且f'(x)在区间(a,b)的任意子区间上都不存在连续的点使得f'(x)=0.例1已知f(x)=kx3?x2+kx/3?16在R上单调递增,则k的取值范围是()A、k>1B、k≥1C、k>1D、k≥1分析由f(x)=kx3?x2+kx/3?16得f'(x)=3k x2?2x+k/3,又∵函数f(x)在R上单调递增,∴f'(x)≥0在R上恒成立,即3k x2?2x+k/3≥0在x∈R上恒成立.∴30,44310.3kk k??????=>???≤∴R≥1… 相似文献
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过失一:忽视函数的定义域例1函数f(x)=ln(4-x2)的单调递增区间为.难度系数0.70错解据题意可知f′(x)=-2x/4-x2.令f′(x)>0,解得-22.故所求函数的单调递增区间为(-2,0)和(2,+∞).错因分析我们一般都是在函数有定义的前提下研究函数问题,而上述解答过程忽视了函数的定义域,没有先确定函数的定义域,故上述求解出的函数的单调区间没有意义.正解要使已知函数有意义,需满足4-x2>0,解 相似文献
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关于函数y=x p/x(p≠0)的单调性,有如下两个结论: Ⅰ.函数y=x p/x(p>0)在区间[-p~(1/2),0)或(0,p~(1/2)]上单调递减;在区间(-∞,-p~(1/2)]或[p~(1/2), ∞)上单调递增。 Ⅱ.函数y=x-p/x(p>0)在区间(-∞,0)或(0, ∞)上单调递增。 相似文献
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一、选择题1.定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)=-f(x+4),当x>2时,f(x)单调递增,当(x1-2)(x2-2)<0且x1+x2<4时,f(x1)+f(x2)的值().(A)恒小于0(B)恒大于0(C)可能为0(D)不确定2.定义在R上的函数f(x)满足:f(x+1)=12+f(x)-[f(x)]2,且f(-1)=12,则f(2 006)的值为().(A)-1(B)1(C)12(D)2 0063.函数f(x)=x2+ax+5,且f(x)=f(-4-x)对于x∈R恒成立,当x∈[m,0]时,f(x)最大=5,f(x)最小=1,则实数m的取值范围是().(A)(-∞,-2](B)[-4,0](C)[-4,-2](D)[-2,0]4.奇函数f(x)在[-1,1]上单调递增,且f(-1)=-1,函数f(x)≤t2-2at+1对于x∈[-1,1]恒成立,则当a∈[-1,1]… 相似文献
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李国庆 《中学生数理化(高中版)》2009,(5)
1.已知函数f(x)=ax+1/x+2在(-2,+∞)内单调递减,求实数a的取值范围. 错解:f(x)=2a-1/(x+2)2由题意得f'(x)≤0在(-2,+∞)内恒成立,即2a-1/(x+2)2≤0在(-2,+∞)内恒成立,故a≤1/2. 相似文献
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2013年高考全国卷理科压轴题 已知函数f(x)=ln(1+x)-x(1+λx/1+x).(Ⅰ)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;
(Ⅱ)设数列{an}的通项an=1+1/2+1/3+…+1/n,证明:a2n-an+1/4n＞ln 2.
另解 (Ⅰ)先证当λ≥1/2时,f(x)≤0(x≥0)恒成立,即证(1+x)In(1+x)≤x(1+1/2x)(x≥0),即1/2x2+x-(x+ 1)ln(x+1)≥0(x≥0).
设g(x)=1/2x2+x-(x+1)ln(x+1)(x≥0),得g’(x)=x-ln(x+1)(x≥0). 相似文献
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张邦宁 《课程教材教学研究(小教研究)》2006,(Z6)
设三次函数为f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),其导函数f′(x)=3ax2 2bx c的判别式为△=4b2-12ac则有以下性质:1.当△≤0时,三次函数(fx)在R上是单调函数;(1)当△≤0且a>0时;函数f(x)在R上单调递增,(2)当△≤0且a<0时;函数f(x)在R上单调递减。它们的图像形如下图:2.当△>0时,三次函数f 相似文献
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苗建成 《中学数学研究(江西师大)》2006,(1):45-46
二次复合函数单调性是高考的热点之一,但求解中对复合函数单调性的判定方法:“由里到外,同增异减”的理解和应用误区颇多,本文举一例说明求二次复合函数单调区间的错因及正确解法.题目函数 f(x)=(x-1)~2 2,g(x)=x~2-1,求函数 y=f[g(x)]的单调区间.错解1 因为函数 f(x)=(x-1)~2 2在(1, ∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减;函数 g(x)=x~2-1在(-∞,0)上单调递减,在 相似文献
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在新课标中,应用导数研究函数的单调性进而证明不等式是近些年来高考中出现的新热点．导数为证明提供了“金钥匙”,解题如行云流水,简捷明快．现举几例,予以说明．例1若x＞-1,证明：In(x+1)≤x．证明：令f(x)=In(x+1)-x,则f(x)=1/(x+1)-1．令f′(x)=0,解得x=0．当-1＜x＜0时,f(x)＞0,所以f(x)在区间(-1,0)上单调递增．当x＞0时,f(x)＜0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减．所以,当x＞-1时,f(x)=In(x+1)-x≤f(0)=0,即In(x+1)≤x．方法步骤：(1)移项,使不等式一边为0,构造辅助函数； 相似文献
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用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在… 相似文献
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设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导函数f'(x)=3ax2+2bx+c的判别式为△=4ab2-12ac,则有以下性质。1.△≤0时,三次函数f(x)在R上是单调函数。(1)当△≤0且a>0时,函数f(x)在R上单调递增。(2)当△≤0且a<0时,函数f(x)在R上单调递减。它们的图象如下图1、2。例说三次函数图象性质的应用$昆明三中@张邦宁 相似文献
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本文就函数f(x)=x+k/x(k>0)的图像,性质及其变形和应用进行归纳总结并展开讨论.结论1函数f(x)=x+k/x(k>0)的图象及性质:(1)图象如右图所示:(2)性质:①是奇函数;②在区间(k,+∞)和(?∞,?k)上单调递增,在区间(?k,0),和(0,k)上单调递减;③在x>0时,有最小值2k,在x<0时,有最大值?2k;④存在两条渐近线为直线y=x和x=0.应用1试讨论y=b/a+a/b(ab≠0)的取值情况.解当ab>0时,y≥2;当ab<0时,y≤?2,评述构造函数y=x+1/x,充分利用性质③进行解题.应用2求函数y=x+4/(x?3)(x>3)的最小值.解y=x?3+4/(x?3)+3≥7,当且仅当x=5时等号成立.所以y的最小值为7.评述令… 相似文献
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刘少平 《第二课堂(小学)》2004,(1)
一、求函数的定义域的试题例1 已知f(x+1)的定义域是[-2,3),求,f(1/x+2)的定义域.解∵f(x+1)的定义域为[-2,3),即-2≤x<3, ∴-1≤x+1<4 ,∴-1≤1/x+2<4.∴x≤-1/3或x>1/2故f(1/x+2)的定义域为(-∞,-1/3]∪(1/2,+∞).二、确定取值范围的试题例2如果函数f(x)的定义域为{x|x>0},且,f(x)为增函数,f(x·y)=f(x)+f(y). 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(11)
<正>利用导数判断函数的单调性,进而确定函数的单调区间,这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想。特别要注意的是:(1)f(x)为增函数 f'(x)≥0且f'(x)=0的根有有限多个;(2)f(x)为减函数 f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限多个。例1若函数f(x)=x3-ax3-ax2+4在(0,2)上单调递减,求实数a的取值范围。 相似文献
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《中学生理科月刊》2003,(2)
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.函数,(z)=10g』(*。一2x一3)的单调递增区间是( ).A.(一o。,一1)c.(1,+∞)B.(一。。,1)D.(3,+∞)由*。一2x一3>0有%<一1或%>3,故函数嵫(x。一2x一3)的定义域为z<一1或x>3。二次函数n=Ⅸ。一2%一3在(一*,一1)内单调递减,在(3,+*)内单调递增.而1哄u在(0,+a。)上单调递减,所以lo~(x。一2x一3)在(一*,一1)单调递增,故选A.@A 2.若实数*,Y满足(x+5)。+(Y一12)。=142,则*0+f的最小值为( ). A.2 B.】 C.朽D.压 @如右图,(x+5)z+(,,一12)。=142是以点C(一5,12)为圆心,半径为14的圆.设P为圆上任一点,则lOP… 相似文献
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试题已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3…(Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;(Ⅲ)记bn=a1n+an1+2,求数列{bn}的前n项和Sn,并证明Sn+3Tn2-1=1.解(Ⅰ)由a1=2,且点(an,an+1)在f(x)=x2+2x的图象上,所以an+1=a2n+2an>0(n=1,2,3,…)所以llgg((11++aan+n)1)=lg(1lg+(12+ana+n)a2n)=2,所以数列{lg(1+an)}是以2为公比的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{lg(1+an)}的公比为2,第1项为lg3,从而lg(1+an)=2n-1lg3=lg32n-1,即1+an=32n-1(1)因此数列{an}的通项为an=32n-1-1.由(1)得… 相似文献
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马先亮 《中学数学研究(江西师大)》2010,(6):30-32
文[1]在求无理函数f(x)=(?)的值域中,采用代数方法以导数为工具得出f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,由此求得f(x)_(min)=f(-1)=-2 2~/(1/2),再分别求出(?) f(x)=2, 相似文献
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根据一次函数的图象及单调性,容易推得如下结论成立:一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当x∈[m,n]时,1f(x)>0f(m)>0且f(n)>0;2f(x)<0f(m)<0且f(n)<0;3f(x)=0f(m)f(n)≤0.有些数学问题,可根据题意转化为关于某一变量的一次函数,应用上述结论求解,简捷、明了.例1对于满足0≤p≤4的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,试求实数x的取值范围.解:不等式x2+px>4x+p-3即(x-1)p+x2-4x+3>0令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3视它为关于p的一次函数,显然x≠1.由于0≤p≤4,所以由f(p)>0恒成立可得f(0)>0且f(4)>0,即f(0)=x2-4x+3>0f(4)=4(x-1)+x2-4x+3>0.解之得x<-1或x>3.例2… 相似文献