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由 (a-6)2+(b-c)2+(c-a)2 =2(a2+b2+c2-ab-bc-ca),易知 a2+b2+c2-ab-bc-ca =1/2[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2], 这个恒等式,看来普通,殊不知如果你会灵活地用它,不少问题可以得到新颖而又简捷的解法. 例1 已知a-b=5+6,b-c=5-6,求 相似文献
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杨忠 《数理天地(初中版)》2008,(12)
例1已知(x/(a-b))=(y/(b-c))=(z/(c-a)),求x+ y+z的值.解设(x/(a-b))-(y/(b-c))-(z/(c-a))=k,则x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)于是x+y+z =k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0,所以x+y+z=0.以上解法中,并没有具体求出x,y,z关于a,b,c的表达式. 相似文献
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龙远芳 《数理天地(初中版)》2002,(3)
下列的式子称为欧拉公式a3+b3+c3-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) =1/2(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] 特别地,(1)当a+b+c=0时,有a3+b3+c3=3abc. (2)当c=0时,欧拉公式变为两数立方和公式. 请看公式的应用: 例1 分解因式(a+b-2x)3-(a-x)3-(b-x)3的结果等于____. (“希望杯”试题) 解因为 相似文献
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不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0. 相似文献
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有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z 相似文献
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在关于不等式的许多命题中,都有一个“当且仅当…时取等号往往不被重视,其实,在解题时它们是很有作用的。本文介绍解题的一些例子。例1.设a,b,c是三角形的三边,则此三角形为等边三角形的充要条件是:a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b-c)=3abc (1) 证明:令b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z, 则z,y,z>0, 相似文献
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近年来各地的中考和数学竞赛经常出现判定三角形形状的试题,三角形形状的判定是一个综合性较强的问题,大都是应用代数或三角函数的知识把题设条件转化成边与边的关系,再根据几何知识进行判定,且方法灵活具有一定的技巧性,现略举几例解析如下:1配方法例1已知:a,b,c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,试判定△ABC的形状.解析将已知等式变形配方,得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,根据平方的非负性,则a-b=0,b-c=0,c-a=0同时成立.得到a=b=c所以△ABC为等边三角形.2韦达定理法例2已知α是三角形的一个内角,且sinα和cosα是方程2x2-2x+p=0的… 相似文献
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上海姜坤崇老师在《数学通报》2013年第2期“数学问题解答”栏目中用柯西不等式证明了2103号问题,即：设a、b、c为△ABC的三边,x、y、z为正数,求证：x2a/b＋c-a＋y2b/c＋a-b＋z2c/a＋b-c≥xy＋yz＋zx.当且仅当x/b＋c-a=y/c＋a-b=z/a＋b-c时等号成立.经过研究,笔者通过构造函数得到如下解答： 相似文献
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设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4) 相似文献
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高中代数必修本下册 P33第9题是已知 a>b>c,求证:1/a-b+1/b-c+1/c-a>0证明:1/a-b+1/b-c+1/c-a=-a~2-b~2-c~2+ab+bc+ca/(a-b)(b-c)(c-a)=-[(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2]/2(a-b)(b-c)(c-a) 相似文献
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问题 如果a,b,c成等差数列x,y,z成等比数列,且x,y,z都是正数,求证:(b-c)log_dx (c-a)loh_dy (a-b)log_dz=0. 相似文献
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因式分解作为一种运算技巧或解题方法,在解题中有着独特的作用.因此,我们学习因式分解之后,就要重视因式分解的应用.一、求值例1.已知a=120x+20,b=210x+19,c=210x+21,那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是(/).(A)4(B)3(C)2(D)1分析:直接求值计算量很大,如何利用公式化简代数式是解题的关键.解:原式=12(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2)=12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2].由a=120x+20,b=210x+19,c=210x+21可得a-b=1,b-c=-2,a-c=-1.∴原式=12[12+(-2)2+(-1)2]=21(1+4+1)=3.选(B).二、化简例1先化简x+1x2+x-2÷x-2+3x+2!",再求值,其中x=tan45°-cos30°… 相似文献
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题目设二次函数y=(a+b)x~2+2cx-(a-b)。其中a、b、c分别为ΔABC的三边,当x=-(1/2)时,二次函数的最小值为-(a/2)。试判断ΔABC的形状。(1994年甘肃省中考试题) 解由题意可设二次函数的解析式为 y=(a+b)(x+1/2)~2-(-(a/2)) =(a+b)x~2+(a+b)x+(b-a/4), 又∵y=(a+b)x~2+2cx-(a-b), 比较系数,得{a+b=2c, {b-a/4=-(a-b).解得 a=b=c。 相似文献
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刘臻 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):39-40
本文中,笔者针对国内外中学数学期刊近期出现的一些十分有意义的不等式题,灵活运用常规方法(即通性通法)给出简单而有效的证明,供中学数学同行在教学、教研中参考学习.
例1 (《数学通报》2013年1月号问题2103)设a,b,c为△ABC的三边长,x,y,z为正数,求证:x2a/b+c-a+y2b/c+a-b+z2c/a+b-c＞yz+zx+xy. 相似文献
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本文献给读者的如下题目,各题具有一些特点和功能,供读者们根据需要而选用。 1.将1/(a~(1/2)+b~(1/2))分母有理化得__(写出过程)。 2.若实数a、b满足关系式a~2-3a+2=0和b~2-3b+2=0。则a+b=__。 3.解关于x的方程(b-c)x~2+(c-a)x+a-b=0得x=__。 4.解关于x的不等式kx~2-3(k+1)x+9>0得__。 5.若不等式(1-m)x~2+(m-1)x+1>0的解集是全体实数,则m的取值范围是__。 相似文献