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在不少的数学刊物中刊登了对求证:n~(n 1)>(n 1)~n(3≤n∈N)这道不等式题的证明,而多数采用的是数学归纳法或二项式定理给予证明的。其实用微分中的导数的性质来证明此题也较为简单。思考:要证明n~(n 1)>(n 1)~n成立,变形为n~(1/n)>(n 1)~(1/(n 1)),由此可以看出只要证明函数f(x)=x~(1/x)(x≥3)为减函数,此题就迎刃而解了。证明:设 f(x)=x~(1/x)(x≥3) 则 f′(x)=(x~(1/x))′=(e~(1/xlnx))′ =e~(1/xlnx)·(1-lnx)/x~2。 相似文献
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数学归纳法是证明一些与自然数有关命题的基本方法。是数学证明的有力工具。但是用数学归纳法证明不等式时,却往往受挫。不过若能掌握若干技巧,将会使证明获得成功,到达胜利的彼岸。本文试对数学归纳法证明不等式的若干技巧举例阐述之。一、改变命题形式例1 求证:当n是不小于3的整数时,有n~(n 1)>(n 1)~n……(Ⅰ) 分析:若用数学归纳法证明,要证明传递性:设n=k时有k~(k 1)>(k 1)~k,则n=k 1时,(k 1)~(k 2)是 相似文献
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王伟欣 《数理化学习(高中版)》2004,(Z1)
求证(1 1)((1 1/3))…1 (1/(2n-1))>(2n 1) 这是1998年高考题中需证明的一个不等式,一般都是采用数学归纳法来证明的.但是,在新教材中,不要求会用数学归纳法证明不等式,那么如何证明这个不等式呢? 相似文献
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正函数是中学数学中最为重要的思想方法,一些不等式的证明常常运用函数思想进行求解.下面通过一些典型问题谈谈其在不等式证明中的应用.一、一元不等式的证明对于一元不等式的证明问题可考虑把问题转化为求函数的最大(小)值问题.1.证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)min0;证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)max0.例1当x0时,证明:ln(1+x)x-12x2.分析:不等式ln(1+x)x-12x2可化为ln(1+x)-x+ 相似文献
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高级中学代数课本第一册(以下简称课本)习题二中的第9题是“求证:(1)没有一个有理数,它的平方能够等于3;(2)没有一个有理数,它的立方能够等于2。”也就是要求证明3~(1/2)和2~(1/3)不是一个有理数。课本上给出了2~(1/2)不是一个有理数的证明,学生们仿照这个证明,能毫无困难地证出2~(1/3)不是一个有理数,但是,如果仍旧仿照这个证明去证明3~(1/2)不是一个有理数的话,那将不能获得任何结果,学生在这里也遇到了极大的困难。问题在于证明3~(1/2)不是一个有理数所需要的知识比证明2~(1/2)不是一个有理数所需要的知识来得多,因此,形成了能够证明的学生不多,证得好的更少的情况。这是一方面;另一方面,也确有个别成绩较好的学生,在证明3~(1/2)不是一个有理数的同时, 相似文献
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不等式的证明历来是各级数学竞赛中的热点与难点。在本文中,对不等式的性质及一些重要不等式应用不再加以探讨,而着力于从近几年的竞赛题中归纳出一些证明不等式的技巧,供读者参考。一、利用递推如果在不等式的证明中,遇到了证明f(n)相似文献
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用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在… 相似文献
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大家知道,利用数学归纳法来证明某些与自然数n有关的数学命题,关键是证明归纳步骤,即利用n=k命题成立这个假设条件来证明n=k+1时命题也成立。笔者现提出如何证明归纳步骤的一些技巧,供参考。一、要从n=k后条件出发“进”到n=k+1结论。例1.实数列{R_n}中,设R_1=1,R_(n+1)=1+n/R~2。求证:n~(1/2)≤R_n≤n~(1/2)+1。根据归纳法假设,当n=k时,命题成立,即 K~(1/2)≤R_k≤k~(1/2)+1 (1)要证明n=k+1时,命题也成立,即 相似文献
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用导数证明不等式,是证明不等式的一种主要方法。它既不能完全代替其他方法,但对证明不等式具有独特的作用。有些不等式的证明题,用初等数学方法很难证明,用导数证明却很容易。而且用导数证明不等式的规律性较强,一般要先设辅助函数,并求此函数的导数。但用导数证明不等式,设辅助函数要有一定的技巧,证明方法也常因题而异。本文分类举例说明用导数证明不等式的方法。 (一) 用微分中值定理证明例1 求证|arcsinb-arcsina|≥|b-a|。证明若a=b,显然成立,若a≠b,则设f(x)=arcsinx,不妨设-1≤a相似文献
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聂文喜 《数理化学习(高中版)》2006,(3)
不等式的证明方法很多,有时使人觉得扑朔迷离,无从下手或证明太繁而通过联想构造函数,将常量作为变量的瞬时状态置于构造函数的定义域内,利用函数的性质证明不等式,却是十分巧妙有效的方法．本文介绍构造函数证明不等式的几种途径,读者可以体会到用函数思想证明不等式,思路清新、简捷明快．一、利用一次函数的保号性证明不等式例1 (第15届俄罗斯竞赛题)已知x,y,z ∈(0,1),求证:x(1-y) y(1-z) z(1-x) <1． 相似文献
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有奖解题擂台(74)浙江湖州双林中学李建潮(邮编:313012)题证明或否定∑nk=1sec(22kn-+11)π=(-1)n·2[n2+1]。其中,n∈N*,符号[x]表示实数x的最大整数部分。(注第一位完整且正确的应征解答者授于奖金30元。)一类有限和的下界估计———兼擂题(70)解答江西省宁都县固厚中学张树生(邮编:342814)擂题(70)(刘永春提供):1证明:∑2004k=11k>1306;2证明:∑2004k=1(1k)21>1465186;3证明:∑2004k=1(1k)31>1145546。本文给出擂题(70)的证明。证明1如图所示:1k=S矩形AkBkCk+1Ak+1=S△BkBk+1Ck+1+梯形AkBkBk+1Ak+1-S阴影)+影=21(1k-k1+1)+[21(1k+k… 相似文献
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刘继科 《华夏少年(简快作文 )》2015,(5)
数学是“思维的体操”.
数学公式看似简单,若仔细探究,实则变化无穷.初中数学、高中数学中,几何知识、代数知识之间紧密联系,尤其是三角函数的题目,方法众多.下面用一道经典的三角函数题为例来详细说明.
求证:cosx/1-sinx=1+sinx/cosx
[分析]证明等式的一般方法:
(1)从左边证明到右边,如证明二,证明三.
(2)从右边证明到左边,如证明七,证明八.
(3)作差法,如证明四. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(11)
<正>利用不等式的性质证明简单不等式的实质就是根据性质把不等式变形,要注意不等式的性质成立的条件,如果不能直接由不等式的性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构,再利用不等式的性质进行转化。例1设函数f(x)=|lgx|,若0f(b),试证明:ab<1。分析:要证明ab<1,需利用对数函数的性质进行综合分析。证明:因为f(a)=|lga|,f(b)= 相似文献
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曾昭惠 《成都教育学院学报》2003,17(1):63-63
不等式的证明是高中数学的一个难点,掌握好不等式的证明,对训练学生思维能力,提高数学思维的效率是大有益处的,本文就以下不等式的证明进行探讨,以餮读者。 例 “设a、b、c为正数,且a b c=1,求证(1/a) (1/b) (1/c)≥9” 此不等式的证明方法很多,除可直接用常见的基本方法:作差比较法和均值定理法进行证明外,还可着眼于条件, 相似文献
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证明与自然数有关的不等式问题 ,数学归纳法是首选 ,但完成 ｐ(ｋ+ 1 )的证明却是难点 .笔者收集了部分以证明不等式为出发点的高考题 ,发现它们均可以用数学归纳法完成 ,而且用分析法完成 ｐ(ｋ+ 1 )的证明 ,方法朴实简单 ,易于掌握 ,堪称通法 .例 1 (1 992年“三南”高考题 )求证 :1 + 12 + 13 +… + 1ｎ<2ｎ(ｎ∈Ｎ ) .证明 (1 )当ｎ=1时 ,左边 =1 <2 =右边 .不等式成立 .(2 )假设当ｎ=ｋ时 ,不等式成立 ,即1 + 12 + 13 +… + 1ｋ <2 ｋ ,那么 1 + 12 + 13 +… + 1ｋ+ 1ｋ + 1 <2 ｋ+ 1ｋ + 1 .现在只需证明2ｋ+ 1ｋ+ 1 <2 ｋ+ 1… 相似文献
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何勇波 《河北理科教学研究》2015,(3)
本文先介绍一个证明不等式成立的充分条件模型,然后根据模型分析出要证明高考题中的不等式所需要构造的模板不等式,然后用积分法求某些图形面积证明所构造的模板不等式成立.
充分条件模型:要解答(或证明)形如F(1)+F(2)+…+F(n)＞(≥、＜或≤)G(n)的函数与不等式综合题成立的充分条件是证明不等式F(k)＞(≥、＜或≤)G(k)-G(k-1)且F(1)(≥、＜或≤)G(1)成立. 相似文献
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设a_1,a_2,…,a_n是不全相等的正数,则成立着著名的Cauchy不等式 1/n sum from k=1 to n a_k>(multiply from k=1 to n a_k)~(1/2) (0) 不等式(0)有很多证明,本短文借助于不等式 (a-b)/ab>0,给Cauchy不等式一个较简的证明,不等式(1)的证明是简单的,实际上,根据拉格朗日中值定理lna-lnb=1/c(a-b),其中a>c>b>0。由此推得不等式(1)。当a=b时,(1)成为等式。以下我们来证明不等式(0) 令σ=1/n sum from k=1 to n a_k。显然,不失普遍性,可以假定 相似文献
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汪英明 《苏州教育学院学报》1998,(2)
在解析几何中,涉及到求过两圆交点的圆方程,求过一直线和一圆的交点的圆方程时,设圆系方程来解是一个非常快捷的一个方法,但没有给出圆系方程一定表示一个圆的证明,本文拟补出这个证明.(I)如果直线1:Ax By C=0与圆C:x~2 y~2 Dx Ey F=0相交,那么过两交点的圆可表示为x~2 y~2 Dx Ey F十λ(Ax By C)=0 (1)(λ∈R)(1)圆过交点的证明略去(2)下面证明方程(1)一定是一个圆方程.证明:(1)经过整理可改写为x~2 y~2 (D λA)x (E λB)y F λC=0,证明方程(1)表示 相似文献
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张建山 《中学数学教学参考》2023,(29):40-42
<正>1试题呈现(江西中考第22题)课本再现思考:我们知道,菱形的对角线互相垂直。反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程。 相似文献