巧用分点坐标公式解等差数列题     

张俊英 《中学数学研究(江西师大)》2008,(5):43-44

线段的定比分点坐标公式x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y:(y_1 λy_2)/(1 λ),λ=(x-x_1)/(x_2-x)反映了线段的起点P(x_1,y_1)、终点P_2(x_2,y_2)、分点P(x,y)与定  相似文献   

平面上两点关于直线或二次曲线位置关系的判定     

单文海 《中学数学月刊》1998,(3)

设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0.  相似文献   

三点共线的等价命题类     

《中学数学教学参考》2007,(17)

从平面几何到代数、立体几何和解析几何,证明三点共线的命题、方法、技巧,实在不少,它们都可以归结为等价命题.(1)P、Q、R 三点共线(在同一条直线上).(2)P 在直线 QR 上.(3)P 到直线 QR 的距离为0.(4)P、Q、R 都是平面α与β的公共点.(5)P、Q、R 是△ABC 外接圆上一点分别在直线AB、BC、CA 上的射影.(6)S_(△PQR)=0。(7)三点 P、Q、R 在直线 AB 同侧,且 S_(△PAB)=S_(△QAB)=S_(△RAB).(8)线段 PQ、QR、PR 中,有两条之和等于第三条.(9)k_(PQ)=k_(PR).(10)若直线 PQ 的方程为 Ax By C=0,则直线 PR 的方程为 kAx kBy kC=0(k≠0为常数).若设三点 P、Q、R 的坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3),则有(11)(x_3,y_3)满足方程(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1).(12)设λ_1=(x_1-x_2)/(x_2-x_3),λ_2=(y_1-y_2)/(y_2-y_3),则λ_1=λ_2.  相似文献   

巧用定比分点公式解代数题     

叶芳琴 《中学数学教学参考》1995,(5)

我们知道,在直角坐标系中,设点P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2),若点P(x,y)为有向线段P_1P_2的内(外)分点,则点P分P_1P_2所成的比λ为 λ=(P_1P)/(PP_2)=(x-x_1)/(x_2-x)(=(y-y_1)/(y_2-y)>0(<0)。 (*) 特别地,当线段P_1P_2落在x轴上时,纵坐标为0,情形就更加明了(以下讨论仅在x轴上进行,且不妨约定x_10(λ<0),则P为P_1P_2的内(外)分点,亦即P点介于P_1P_2之间(之外),这时有x_1相似文献   

一类直线方程的统一求法     

文晓 《中等数学》1984,(3)

贵刊1983年第5期刊登了《一类直线方程的四种求法》一文,该文介绍了解决如下问题的四种方法:过二次曲线C:F(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部[指包含焦点的平面区域(不包括周界)]已知点M(x_0,y_0)作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得点M平分弦AB。对于这类问题,可作如下推广:过M作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得M点为弦AB的n等分点。当n≥3时,用《一类直线方程的四种求法》一文介绍的四种方法来求  相似文献   

用直线两点式参数方程证比例式     

于志洪 《中学数学教学》1986,(5)

本文介绍利用直线两点式参数方程来证明比例式的一种规范化有效方法,供参考。一、直线两点式参数方程如图, 设P_1(x_1,y_1)、P(x_2,y_2)、P(x,y)都是直线l上的点,且P_1P/PP_2=λ则(x=x_1+λx_2/1+λ)/(y=y_+λy_2/1+λ)(λ为参数,λ≠-1) 即为过P_1、P_2两点的直线的参数方程。∵由(x_1-x_2)/(x-x_2)=1+λ 及  相似文献   

建立几何模型智解代数、三角问题     

张进义 《甘肃教育》2007,(6)

建立斜率公式模型形如(y_1-y_2)/(x_1-x_2)的分式,可把它理解成平面直角坐标系内,连接两点p_1(x_1,y_1),p_2(x_2,y_2)的直线的斜率,从而把这类问题转化为解析几何中直线的斜率问题.  相似文献   

一个由定点与定直线确定的常量及运用     

张青山 《数学教学通讯》1998,(5)

在直角坐标平面内点P(X_0,y_0),直线l:Ax By C=0,过 P 作 l 的垂线 PQ,设垂足为 Q(x',y'),显然直线 PQ 的方程为:B(x-x_0)-A(y-y_0)=0,令x'-x_0=λA,则 y-y_0=λB,又Q∈l,则有:A(x_0 λA) B(y_0 λB) c=0.解得:λ=-Ax_0 By_0 C/A~2 B~2,显然λ是由点 P 和直线 l 确定的常量.我们把它记作λ(P,l),有时简记为λ.显然,过 P 作 l 的垂线之垂足 Q(x_0 XA,y_0 λB);P 关于 l 的对称点 P'(z_0 2λA,y_0 2λB).  相似文献   

空间点到直线距离的几种求法     

刘桂香  田素芳 《周口师范学院学报》1996,(3)

求空间点P_0(x_0,y_0,z_0)到直线a=(x-x_1)/1=(y-y_1)/m=(z-z_1)/n(这里P_1(x_1,y_1,z_1)为直线a上的点,V={1,m,n}为直线a的方向矢量)的距离d,通常直接用距离公式d=|V×P_1P_0|/|V|。本文主要介绍异于用距离公式的几种方法。 设P_0(2,3,1)为直线a外的一点,直线a的方程为:(x 1)/2=y/(-1)=(z-2)/3 方法1 利用两点间的距离公式,只要求出过P_0点且与a垂直的平面与直线a的交点坐标即可。  相似文献   

关于直线同y轴所成的角     

张平  文晓宇 《中等数学》1989,(1)

如果直线l同y轴相交,则将直线ι沿逆时针旋转到第一次与y轴平行(重合)时所转过的角,称为ι对于y轴的倾斜角,记作β.如果l与y轴平行或重合,则规定β=0°.因此,0°≤β<180°.把关于y轴的倾斜角的正切,称为关于y轴斜率,记作k_y=tg β,(关于x轴的倾斜角和斜率分别记作a和k_x=tg a) 斜率公式.过两点P(x_1,y_1,),Q(x_2,y_2)(x_1≠x_2)的直线的斜率为k_y=(x_2-x_1)/(y_2-y_1)。  相似文献   

点到直线距离公式的推导真的很繁琐吗?     

李锋  王凤华 《中学数学杂志》2008,(3):25

设点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,求点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0距离公式的推导无论是原来的旧教材还是现在的新课标教材,都指出由点P(x_0,y_0)向直线l作垂线,垂足为Q,求出Q  相似文献   

两个公差之比的几何意义及其应用     

张耀 《数学教学通讯》1984,(5)

解析几何中的中点坐标公式大家是十分熟悉的:由这个公式易看出一个事实,即x_1,x,x_2;y_1,y,y_2两组数都是等差数列,不妨设其公差分别为d_1,d_2。本文的目的在于探讨这两个公差之比的几何意义及其应用。设P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)分别是直线l与二次曲线C的两个交点,P(x,y)为P_1P_2的中点,则d_2/d_1就是弦P_1P_2的斜率k。这一几何意义是不难证明的事实上,d_2/d_1=(y-y_1)/(x-x_1)=k。  相似文献   

也谈椭圆内接矩形的一个性质     

王崔军  谭德铨  孟农生 《中学教研》1985,(3)

在高二《解析几何》课本总复习题中有这样一道习题:“已知椭圆x~2/(16)+y~2/9=1,求椭圆内接正方形的面积.”(P 192) 对于这一道题,通常解法如下: 设椭圆内接正方形一个顶点坐标为(x_1,y_1),则另外三个顶点坐标为(-x_1,y_1)(-x_1,-y_1),(x_1,-y_1),再由正方形的特征可得|x_1|=|y_1|,代入椭圆方程立得:x_1~2/(16)+x_1~2/9=1,即得:x_1~2=(144)/(25) S正方形=4x_1~2=(576)/(25)  相似文献   

一个简单命题及其应用     

汪仁友 《中学数学月刊》1998,(9)

命题 设|x_n|,|y_n|是两个正项数列,如果x_1>y_1,同时(x_n)/(x_(n-1))>(y_n)/(y_(n-1))(n≥2),那么x_n>y_n。 证明 x_n=(x_n)/(x_(n-1))·(x_(n-1))/(x_(n-2))…·(x_2)/(x_1)·x_1>(y_n)/(y_(n-1))·(y_(n-1))/(y_(n-2))…(y_2)/(y_1)·y_1=y_n。  相似文献   

每期一题     

柯连平  张必华 《中学数学教学》1992,(6)

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=  相似文献   

圆锥曲线中的对称问题     

《中学生数理化(高中版)》2017,(12)

<正>在圆锥曲线的考查中,我们经常会遇到这样的一类问题:圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称,求参数的取值范围。这类问题的解法是:设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b(k≠0)对称的两点,PQ的中点为M(x_0,y_0),则PQ的方程为y=-1/kx+m,利用点差法、中点坐标公式求得中点坐标,再根据中点与圆锥曲线的位置关系求解。例1已知抛物线C:y²=x与直线l:  相似文献   

有关Ax By C=0为轴对称的直线问题的解法     

阿布来提江·扎依尔 《中学数学教学》1997,(Z1)

题 在直角坐标平面上,如果直线l_1:A_(1x) B_(1y) C_1=0斜率为k_1,直线l:Ax By C=0斜率为k,直线l和l_1的交点为D(x_0,y_0),则直线l_1关于直线l的对称直线l_2的方程是:y-y_0=(2k k_1k~2-k_1)/(1 2kk_1-k~2) (x-x_0)。  相似文献   

巧用定比分点公式     

梁喜涛  陈月双 《数理天地(高中版)》2006,(11)

1．巧求值域例1求函数y=(1 cosx)/(3-2cosx)的值域．分析观察上式可联想到定比分点公式x=(x_1 x_2λ) /(1 λ)得y=(1/3 (-(1/2))(-(2/3)cosx))/(1 (-(2/3)cosx)),即P(y,0)分起点为P_1(1/3,0),终点为P_2(-(1/2),0)的有向线段(?)的比为  相似文献   

用代换法求轴对称     

张兆麟  许秀生 《中学数学教学》1991,(5)

求已知点P(x_0,Y_0)关于直线y=kx m的对称点P＇(x,y),通常是解方程组 {1/2(y y_0)=k·1/2(x x_0) m (y-y_0)/(x-x_0)=-(1/k) 但当k=±1时,可直接用对称轴方程y=±x m即x=±y±m代换以求P＇点的位置。定理1 若P＇(x,y)是点P(x_0,y_0)关于直线y=x m的对称点,则 {x=y_0-m, y=x_0 m。证明比较简单,兹从略。特别地,当m=0时,点p(x_0,y_0)和点p＇(y_0,x_0)关于直线y=x对称。推论1 曲线f(x,y)=0关于直线y=x m对称的曲线方程是f(y-m,x m)  相似文献   

直线方程y0y=p(x+x0)的几何意义     

朱明侠 《中学数学研究(江西师大)》2007,(8):20-21

文[2]作为文[1]的续文,在直线方程(x_0x)/(a~2) (y_0y)/b~2=1的三种几何意义探讨启发下,给出了直线方程(x_0x)/(a~2)-(y_0y)/(b~2)=1的几何意义.本文再给出直线方程y_0y=p(x x_0)的几何意义,以告对此类问题的探讨圆满解决.  相似文献