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先看下面的两个题 :题 1 一个等差数列共有 2ｎ 1项 ,其中奇数项之和为 3 0 5 ,偶数项之和为 2 76,试求第ｎ 1项。(见华东师范大学数学系编《数学学习丛书》高中代数 (二 )第 71页 3 0题 )题 2 已知数列ａ1,ａ2 ,…ａ2ｎ 1为等差数列 ,设Ｐ=ａ1 ａ3 … ａ2ｎ 1,Ｑ =ａ2 ａ4 … ａ2ｎ,求Ｐ/Ｑ的值。 (见华东师范大学出版社出版、上海市中、小学通用教材 ,高中数学二年级第二学期《数学习题册》第 2 8页第 1 2 (1 )题 )两个题的略解如下 :解 对于题 1 ,设题给的等差数列的各项依次为ａ1,ａ2 ,… ,ａ2ｎ 1,公差为ｄ ,依题意有 :… 相似文献
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《中学数学教学》最近连载蔡上鹤先生就高中数学新教材的教学方法 ,回答高中教师的问题 ,说得简单明了全面且多有妙语珠词。今仅就其中第 5 1、5 4两个问题 (编者注 :见本刊 2 0 0 1年第 2期 )作些补充。1 只给出数列头几项 (其余用省略号 )而求数列通项 (实际上就是求数列本身 )。这是一个不确定问题 ,它早已被大数学家拉格朗日彻底解决 ,他给出了万能插值法。就从蔡先生的例题说起 :给数列ａ1=2 ,ａ2 =-32 ,ａ3 =43,ａ4 =-54 ,ａ5=65 ,ａ6=-76 ,……其通项可以写成 :ａｎ=( -1 ) ｎ - 1·ｎ 1ｎ =( -1 ) ｎ 1·ｎ 1ｎ =( -1 ) ｎ … 相似文献
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高中教材第一册 (上 )第 1 4 0页第 2题第 4小题 :已知数列 ａｎ 、 ｂｎ 的通项公式分别为ａｎ =ａｎ+2 ,ｂｎ=ｂｎ+1 (ａ ,ｂ是常数 ) ,且ａ>ｂ ,求这两个数列中序号与数值均相同的项的个数 .这是求两个等差数列的公共项问题 ,但这道题要求序号与数值均相同 ,通常数列的公共项问题只要求数值相同 ,并不要求序号相同 .现举两例说明数列公共项问题的基本解法 .例 1 数列 ａｎ 与 ｂｎ 的通项公式分别为ａｎ =2 ｎ,ｂｎ =3ｎ +2 ,它们的公共项由小到大排成的数列是 ｃｎ ,求 ｃｎ 的通项公式 .解 设ａｍ =ｂｐ,则 2 ｍ =3 ｐ+2 ,ａｍ+1 =2 … 相似文献
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先看下面的一道题 :等差数列 {ａｎ}中 ,公差ｄ是正整数 ,等比数列{ｂｎ}中 ,ｂ1=ａ1,ｂ2 =ａ2 ,现有选项数据 : 2 ; 3; 4 ; 5。当 {ｂｎ}中所有的项都是数列 {ａｎ}中的项时 ,ｄ可以取。 (填上你认为正确的选项 )。(注 :本文中所提到的数列均指无穷数列 )《中学数学教学参考》2 0 0 1年第 1— 2期上给出这道题的答案是选 , 。其实 ,ｄ可否取某一数据取决于能否找到满足条件的等差数列。对于 ,取等差数列ａｎ=2ｎ -1 ;对于 ,取等差数列ａｎ=3ｎ -2 ;对于 ,取等差数列ａｎ=4ｎ -3;对于 ,取等差数列ａｎ=5ｎ -4。分别利用二项式定理可证 … 相似文献
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邓光明 《长江工程职业技术学院学报》2001,18(4):56
提出问题 :已知 {ａｎ}是等差数列 ,其前ｎ项和为Ｓｎ=3ｎ2 +5ｎ ,求其通项ａｎ。分析问题 :这是数列部分的一道习题 ,学生见到此题首先想到的就是等差数列的通项公式与求和公式 ,但因其首项和公差未知 ,难以求出。其实 ,解此题关键是要理解数列前ｎ项和的概念 ,由Ｓｎ=ａ1+ａ2 +… +ａｎ 的概念 ,前 1项的和就是ａ1,前两项之和为ａ1+ａ2 ,于是得以下解法。解决问题 :方法 1:Ｓ1=ａ1=3+5 =8,Ｓ2 =ａ1+ａ2 =2 2 ,于是ａ2 =ｓ2 -ａ1=14,ｄ =ａ2 -ａ1=6 ,故由等差数列的通项公式得 :ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ =8+(ｎ - 1) 6 =6ｎ +2。方法 2 :由前ｎ… 相似文献
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范霞 《邵阳学院学报(社会科学版)》1999,(2)
根据牛顿二项式定理 ,有如下展开式(ａ ｂ) ｎ =∑ｎｋ=0Ｃｋｎａｎ-ｋｂｋ ( 1 )现设ａ >0 ,ｂ >0 ,试求 ( 1 )式中有最大值的项 .显然 ,第ｋ 1项 (ｋ =0 ,1 ,2 ,… ,ｎ)的值为Ｓｋ 1=Ｃｋｎ·ａｎ-ｋｂｋ ( 2 )收稿日期 :1998- 11- 0 2 作者 :范霞 女 中教一级教师 特殊情形 ,当ａ =ｂ =1时 ,对ｎ =0 ,1 ,2 ,… ,依次将展开式中各项排出 ,恰好组成杨辉三角形1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1……………………观察其构成 ,其最大项有 1项或 2项 ,依ｎ是偶数或奇数而定 .若 (ａ ,ｂ)≠ ( 1 ,1 ) ,其最大项如何求 … 相似文献
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20 0 3年数学高考题 (全国卷 )第 2 2题 ,一般认为应从杨辉三角中寻找解题灵感 ,但是笔者认为这道题若用二进制数的思想来解 ,会更符合题目本身的特点 .现将笔者的解法介绍如下 :原题 1 设 {ａｎ}是集合 {2 ｓ+ 2 ｔ0≤ｓ<ｔ,且ｓ,ｔ∈Ｚ}中所有的数从小到大排列而成的数列 ,即ａ1 =3 ,ａ2 =5 ,ａ3=6,ａ4 =9,ａ5= 10 ,ａ6 =12 ,…… ,将数列 {ａｎ}各项按照上小下大 ,左小右大的原则写成如下的三角形数表 : 3 5 6 9 10 12 ……(1)写出这个三角形的第四行、第五行各数 ;(2 )求ａ1 0 0 .2 (附加题 … 相似文献
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《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 ·必修 )数学第一册 (上 )》(人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )第 1 33页练习第 4题 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证Ｓ7,Ｓ1 4 -Ｓ7,Ｓ2 1 -Ｓ1 4 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ 成等比数列吗 ?配套的教师教学用书 (人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )上给出的参考解答 :由Ｓ7=ａ1 (1 - ｑ7)1 - ｑ ,Ｓ1 4 =ａ1 (1 - ｑ1 4 )1 - ｑ ,Ｓ2 1 =ａ1 (1 - ｑ2 1 )1 - ｑ ,可得Ｓ7· (Ｓ2 1 -Ｓ1 4 ) =(Ｓ1 4 -Ｓ7)… 相似文献
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数列问题往往是将已知数列转化为两个基本数列而得到解决 .本文通过实例说明 ,对于一类由递推公式ａｎ+ 1=Ａａｎ+Ｂ给出的数列ａｎ ,如何化为基本数列使问题得到解决 .题 已知数列 ａｎ 中 ,ａ1=2 ,ａｎ+ 1=2ａｎ+3(ｎ∈Ｎ ) ,求通项公式ａｎ.解 在ａｎ+ 1=2ａｎ+3两边加 3,得ａｎ+ 1+3=2ａｎ+6 ,即ａｎ+ 1+3=2 (ａｎ+3) ,变形 ,得 ａｎ+ 1+3ａｎ+3=2 .所以 ,新数列 ａｎ+3是以ａ1+3=5为首项 ,2为公比的等比数列 ,从而ａｎ+3=5 · 2 ｎ-1,即所求数列 ａｎ 的通项公式为ａｎ =5 · 2 ｎ-1- 3(ｎ ∈Ｎ ) .有同学要问 ,你是如何想到两边… 相似文献
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一类函数问题的简解 总被引：1，自引：0，他引：1
谭向清 《中学数学教学参考》2001,(11)
1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛 ,高二第一试的选择题第 1 0题 ,让人颇费脑筋 ,原题是这样的 :题目 :设ｆ(ｘ) =ｘ3 -3ｘ2 6ｘ -6,且ｆ(ａ) =1 ,ｆ(ｂ) =-5 ,则ａ ｂ =( ) .Ａ .-2 Ｂ .0 Ｃ .1 Ｄ .2与之类似的有以下两个题 :1 设 ｆ(ｘ) =ｘ3 ｘ 1 ,且 ｆ(ａ) =-2 ,ｆ(ｂ) =4,则ａ ｂ =( ) .Ａ .-2 Ｂ .0 Ｃ .1 Ｄ .22 设 ｆ(ｘ) =ｘ3 -6ｘ2 1 2ｘ -7,且 ｆ(ａ ｂ) =9,ｆ(ａ -ｂ) =-7,则ａ =( )Ａ .-2 Ｂ .0 Ｃ .1 Ｄ .2以上题目都是关于ｘ的三次函数 ,初看起来 ,上面的题好像容易解… 相似文献
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20 0 4年高考数学有这么一道考题 (全国卷Ⅲ第 2 2题 ) :已知数列 {an}的前n项和Sn 满足Sn =2an ( -1) n,n≥ 1.( 1)写出数列 {an}的前三项a1 ,a2 ,a3;( 2 )求数列 {an}的通项公式 .( 3 )证明 :对任意的整数m >4,有1a4 1a5 … 1am <78.显然 ,本题的前两问考查由Sn 求an,第( 3 )问考查不等式的证明 ,许多考生也容易得到 :( 1)a1 =1,a2 =0 ,a3=2 ;( 2 )当n ≥ 2时 ,有an =sn -sn - 1 =2 (an -an- 1 ) 2 · ( -1) n,所以an =2an- 1 2 · ( -1) n- 1 .但是 ,再往下就显得力不从心了 .究其原因 ,显然是对数列通项缺乏深刻理解所致 ,下面就… 相似文献
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数列求和是中专数学的重要内容 ,这类问题形式复杂变化多样 ,虽无通法可循 ,但根据不同题型的不同特征 ,也可总结出一些方法 ,本文列举如下 ,供参考 .1 反序相加法例 1 若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1=(ａ1 ａｎ 1)· 2 ｎ- 1.证明 设Ｓ =ａ1 Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 … Ｃｎｎａｎ 1,(1)将 (1)倒序写出 ,有Ｓ =Ｃｎｎａｎ 1 Ｃｎ- 1ｎ ａｎ Ｃｎ- 2ｎ ａｎ- 1 … ａ1.(2 )(1) (2 )并注意Ｃｒｎ =Ｃｎ-ｒｎ (ｒ≤ｎ) ,得2Ｓ =(ａ1 ａｎ 1)Ｃ0 ｎ (ａ2 ａｎ)Ｃ1ｎ (ａ3 ａｎ- 1)Ｃ2 ｎ … … 相似文献
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一、巧变公式 等差 (比 )数列的通项公式与其首项ａ1有关 ,但实际问题中未必给出ａ1,或者根本不需要考虑ａ1,若还用通项公式求解会造成运算繁琐 ,故将等差 (比 )数列 ａｎ 的通项公式变通为 :ａｎ=ａｍ+(ｎ -ｍ)ｄ(ａｎ =ａｍｑｎ-ｍ) ,其中ｎ ,ｍ∈Ｎ .例 1 等比数列 ａｎ 中 ,ａ2 =- 3,ａ5= 36 ,求ａ8.解 ∵ ａ5=ａ2 ｑ3 ,∴ ｑ3 =ａ5ａ2 =- 12 ,∴ ａ8=ａ5ｑ3 =- 4 32 .例 2 在等差数列ａｎ 中 ,ａｍ +ｎ =ｐ ,ａｍ-ｎ =ｑ,求ａｍ 和ａｎ.解 ∵ ａｍ+ｎ =ａｍ-ｎ+[(ｍ+ｎ) - (ｍ -ｎ) ]ｄ ,即=ｑ+ｎ(ｐ- ｑ)2ｎ=ｐ+ｑ2 .∴… 相似文献
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有这样一道习题 (新编高中数学配套练习高中一年级第一学期用书 6 4页 ) :一个等差数列共有 2ｎ + 1项 ,其中奇数项之和为 30 5 ,偶数项之和为 2 76 ,则ｎ + 1项是 ( ) .(Ａ) 31 (Ｂ) 30 (Ｃ) 2 9 (Ｄ) 2 8.咋一看 ,答案选 (Ｃ) ,似乎正确 !因为该等差数列共有 2ｎ+ 1项 ,设其奇数项之和为Ｓ奇 ,偶数项之和为Ｓ偶 ,则ａ2 +ａ4 +ａ6 +… +ａ2ｎ- 2 +ａ2ｎ =Ｓ偶 ,①ａ1+ａ3+ａ5+… +ａ2ｎ- 1+ａ2ｎ+1=Ｓ奇 .②① -②得 (ａ2 -ａ1) + (ａ4 -ａ3) + (ａ6 -ａ5) +…+ (ａ2ｎ -ａ2ｎ- 1) -ａ2ｎ+1=Ｓ偶 -Ｓ奇 ,即 ｎｄ-ａ2… 相似文献
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数列是历届高考的重点 ,在试题中的比重约占总分的 1 0 % .现就近几年高考数列题的速解技巧归结如下 ,供同学们复习参考 .一、巧取特例1 取自然数列ａｎ =ｎ例 1 (1 993年全国高考题 )已知等差数列{ａｎ},公差ｄ >0 ,ａ1 >0 ,Ｓｎ = ｎｉ=11ａｉａｉ 1 ,则ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ = .解 特殊数列ａｎ =ｎ满足已知条件 ,这时Ｓｎ =11 · 2 12 · 3 … 1ｎ(ｎ 1 )=(1 -12 ) (12 -13) … (1ｎ-1ｎ 1 )=1 -1ｎ 1 ,故ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ =1 .例 2 (1 990年全国高考题 )已知 {ａｎ}是公差不为 0的等差数列 ,如果Ｓｎ 是 {ａｎ}的前ｎ项和… 相似文献
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(ａ+ｂ) ｎ二项展开式有 (ｎ+ 1)项 ,(ａ +ｂ+ｃ) ｎ三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出 :[(ａ+ｂ) +ｃ]ｎ =Ｃ0 ｎ(ａ +ｂ) ｎｃ0 +Ｃ1ｎ(ａ +ｂ) ｎ- 1ｃ1+…+Ｃｒｎ(ａ +ｂ) ｎ-ｒｃｒ+… +Ｃｎｎ(ａ +ｂ) 0 ｃｎ,其展开式共有 (ｎ + 1) +ｎ + (ｎ - 1) +… + 2 + 1=(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 项 .那么 (ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｍ) ｎ展开式又有多少项呢 ?观察是思维的入口 ,是解题的第一能力 .从五光十色的交叉干扰信息中 ,能迅速找到自己需要的要点 ,这是观察能力中最基础、最珍贵的直觉思维能力 .观察上式结论 :(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 =Ｃ… 相似文献
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《中学数学杂志》2002,(12)
一、填空题1.ａ ;2 .(ｘ ｙ 2 ) (ｘ ｙ -2 ) ;3 .2 0 0 3 ;4.180元 ;5.1;6.ｘ2 -1;7. 9.12 ;8.ｘ≤ｃ ;9. 0 .5;10 .ｎ 1ｎ · (ｎ 1)= ｎ 1ｎ (ｎ 1) ;11. -3 ;12 .Ｓ =4ｎ -4(ｎ≥ 2 ) ;13 .ａ ｄ =ｂ ｃ或ａ ｂ =ｄ ｃ -14 ;14 .12 43 ;15.-1(或 0或 3 ) ;16.(32 ,32 ) ;17.3 92ｘ -3 92ｘ 4 0 =1;18.85.9;19.2 552 56;2 0 . 1ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) =121ｎ(ｎ 1 ) -1(ｎ 1 ) (ｎ 2 )二、选择题1.Ａ ;2 .Ｃ ;3 .Ａ ;4.Ｃ ;5.Ｂ ;6.Ｂ ;7.Ａ ;8.Ｂ ;9.Ｂ ;10 .Ｃ ;11.Ｄ ;12 .Ａ ;13 .Ａ ;14 .Ｄ ;15.Ａ ;16.Ｄ … 相似文献
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在中学阶段经常遇见以下数列求和问题 :(1) 1+2 0 +30 0 +… +ｎ× 10 ｎ-1;(2 ) 1+3× 2 +5 × 2 2 +7× 2 3 +… +(2ｎ- 1) ·2 ｎ-1.上述数列是由一个等差数列 {ａ +(ｎ- 1)ｄ}和等比数列 {ｂｑｎ-1}相应的项相乘而得到的混合数列 { [ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1} ,通常采用“错位相减法”进行计算 .为了加强对其解题思路的理解 ,有必要进行一般性探讨 .因为数列通项ｕｎ=[ａ+(ｎ - 1)ｄ]·ｂｑｎ-1=[ａｂ+(ｎ - 1)ｂｄ]ｑｎ-1,为简单起见 ,不妨设此混合数列为ａ1,ａ2 ｑ,ａ3 ｑ2 ,… ,ａｎｑｎ-1,其中ａｎ-ａｎ-1=ｄ(ｎ>1) ,那么上述求和… 相似文献
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问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2… 相似文献
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有些分数问题 ,适当地用字母表示数 ,使之转化为分式问题 ,就可以使问题得以巧妙解决 .请看几例 .例 1 计算 :199919982199919972 199919992 -2 .解 设 19991998=ｎ ,则原式 =ｎ2(ｎ -1) 2 (ｎ 1) 2 -2 =ｎ22ｎ2 =12 .例 2 -191919919191-190 190910 910 -190 0 190 0910 0 910 0 的值等于 ( ) .(Ａ) -3 (Ｂ) -5 791 (Ｃ) -1 (Ｄ) -13解 设 19=ａ ,91=ｂ ,则原式 =-10 10 1ａ10 10 1ｂ-10 0 10ａ10 0 10ｂ-10 0 0 10 0ａ10 0 0 10 0ｂ=-ａｂ(1 1 1) =-3ａｂ=-5 791.应选 (Ｂ) .例 3 已知Ｍ =5 6 7890 12 346 7890 1… 相似文献