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高中数学第四册讲了数列极限的“ε—N”定义法,对于函数的“ε—δ”定义法未作介绍。如果把数列视为以自然数为自变量的离散性函数,那么它的极限的“ε—N”定义法的基本思想,完全可以用来定义以实数为自变 相似文献
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本文就用数列极限“ε-N”定义，函数极限“ε-δ”定义的证明过程中，为解不等式的需要，对N，δ进行适当限定的目的，技巧进行了讨论。 相似文献
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<正> 按“ε—N”定义证明数列{a_n}的极限为A,一般从解不等式|a_n-A|<ε入手,若能分解出n,得一个不等式n>f(ε),取f(ε)的整数部分为N,则由数列极限定义证得lima_n=a_0如果从|a_n-A|<ε中不易分解出n,可以设法先把|a_n-A|适当大,使放|a_n-A|≤g(n),此处g(n)必须仍为无穷小量,g(n)<ε比|a_n-A|<ε容易分解出n,从而得出N(ε)。证明lima_n=A的关键是证明N(ε)是否存在,这又是证明的难点,学生不易掌握,因n→∞此,一定数量的例题与练习,对学生是必要的,证题中一些常见的错误提醒学生注意也是有益的。我们先通过简单的例子,说明如何化简|a_n-A|,以求出N来。 相似文献
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极限是高等数学中的重要概念。掌握用定义法证明极限存在是加深理解极限概念所必须的。一些自考学员在运用定义法证明极限存在时常常感到较为困难。本文以数列极限为例 ,来说明运用定义法证明数列极限存在应该注意的问题。大家都知道 ,用定义法证明数列极限存在的关键是 :对 ε >0 ,都能找到Ｎ (ε)的存在 ,使当ｎ >Ｎ时 ,有 |ｘｎ-ａ|<ε成立。对一些极简单的数列 ,我们可以用直接解不等式 |ｘｎ-ａ|<ε的方法找到Ｎ(ε)的存在。例 1:证明 :ｌｉｍｎ→∞(- 1) ｎ 1ｎ =0证 :对 ε>0 ,解不等式 (- 1) ｎ 1ｎ - 0 <ε ,由 (- 1) ｎ 1… 相似文献
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本文首先通过数列的一些实例说明当自变量n(取正整数)不断增大时有些数列无限接近于某一个数;有些数列不与某个数无限接近;而有些数列和两个数无限接近….我们把数列与某个数无限接近的这个数称为数列当自变量n取正整数无限增大过程中的极限.并举例说明无限接近的意义,就是说要多么接近都行,只不过数列与某数接近的程度越高,而需要的项数一般来说就越大,为了精确描述它用ε描述数列与某数的接近情况,N描述的是自变量n的变化趋势,从而得出了ε—N定义,并附以几何说明,只有详细分析了数列极限的定义以后.对于自变量趋于无限大时函数的极限,只不过是将自变量n(取正整数)换成X(取一切实数)而已.从而得出ε—X定义.类似地得出函数f(x)当x无限变小时的极限定义.当自变量X无限接近某个数x_0时函数f(x)与某数A无限接近时的极限定义,只要注意用δ>0来描述x与x_0的接近情况,ε>0来描述函数与某数的接近情况,从而得出ε—δ定义. 相似文献
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解红霞 《太原教育学院学报》2001,19(2):37-40
数学分析这门课程研究的对象是函数 ,而研究函数方法就是极限 ,数学分析中几乎所有的概念都离不开极限 ,从方法论的角度来讲 ,用极限的方法来研究函数 ,这是数学分析区别于初等数学的最显著标志 ,所以说极限是数学分析中的重要概念 ,也是数学分析中最基础最重要的内容。本文就求极限的各种方法做一归类。一、用定义求极限极限定义的 ε— N语言 :数列 {an}收敛 a∈ R, ε>0 , N∈ N , n>N,有|an-a|<ε.例 用 ε—N语言证明 limn→∞nn 1 =1 .证明 : ε>0 ,要使不等式|nn 1 -1 |=1n 1 <ε成立 :解得 n>1ε-1 ,取 N=〔1ε-1〕,于是 ε>0… 相似文献
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用定义证明函数极限的规范化方法卢广福杨宪立极限是学习数学分析或高等数学课程的基础，也是整个课程的重点和难点。大部分学生对应用“ε—δ”语言证明极限感到十分棘手，对在证题过程中大量使用放缩不等式技巧更是望而生畏。因此，同学们希望应用“ε—δ”语言证明极... 相似文献
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荣修模 《重庆广播电视大学学报》1996,(4)
高等数学中极限定义是基本概念之一,极限理论是数学分析的基础,是研究函数的重要工具。数学分析的教科书上对极限概念作出了精确而严密的定义,并且利用不少篇幅解决极限存在的证明和计算极限值的方法。从函数极限定义可见,不等式|x一x_0|<ε(任意小ε>0),|f(X)一A|<δ(任意小δ>0),是从量的角度刻划极限是否存在,同时描述了两个变量的变化趋势。初学者要能很好掌握这个概念有一定困难,有一个深刻理解、熟悉熟练、应用掌握的过程。对于非数学专业学生,尤其经济类专业学生,不要求在理论上进一步探讨,只重极限的计算和应用。教学中为了帮助学生能较快的建立起极限概念,在思考函数极限时可分两步进行,旨在分散难点。根据自变量的变化趋势和受制解析规律的函数值的变化趋势分析问题,可初断函数极限是否存在;然后是确证极限存在或计算极限值。这里只谈教学中如何引导学生从函数的两个变化趋势值初断函数极限是否存在,建立极限概念。 首先讨论如何初断整标函数的极限(数列的极限)。 函数f(n)的自变量n只能取正整数值时,称函数f(n)为整标函数。将整标函数f(n)的函数值依自变量增大的次序排列出来: 相似文献
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沈济泰 《楚雄师范学院学报》1987,(4)
用极限定义来证明极限,根据极限的定义方式,可分为ε—N、ε—δ、ε—E三种。 一、ε—N方法 首先对ε的理解,一方面ε具有任意性。ε可以代表任意小的正数,只有这样方能保证描述数列{a_n}无限地趋近于a。另方面ε必须有相对的固定性。它一经给出,由它求N时,就暂时把它作为某一定数看待,这是ε的给定性。ε的二重性,深刻反映从静认识动,从近似认识精确,从有限认识无限的一种数学方法。 相似文献
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在用“ε—δ”语言证明有理函数极限lim x→α f(x)/g(x)=A的过程中,常要限定|x-α|<δ’来加强不等式|f(x)/g(x)-A|,于是δ’的选择便是关键,本文给出了一个选择δ’的方法,在实用中即方便又准确。 相似文献
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极限是数学分析的基础,其重要性不言而喻。本文试就极限求法略作探讨。 一、利用定义求极限 我们知道,设{a_n}是一个数列,a是一个确定的数,若对任何正数ε,总存在某一个自然数N,使得n>N,都有|a_n-a|<ε,则a即为{a_n}的极限,利用之,我们即可求得某些数列的极限。 例:求{n/(n 1)}的极限。 解:∵|n/(n 1)|=|1/(n 1)|=1/(n 1)<1/n ε>0取N=[1/ε],则当n>N时,即有|n/(n 1)-1|<ε 但是,我们必须明确,利用此法求极限,首先必须利用直觉猜测到极限是什么,因此,预见性要求较高,而事实上,本法常多用于证明数列极限。 例:证明（其中a>1） 证明:令a~(1/n)-1=α,则α>0, ∴a=(1 α)≥1 nα=1 n(a~(1/n)-1) (利用了贝努利不等式) ∴a~(1/n)-1<(a-1)/n 可见,当时n>(a-1)/ε时,就有a~(1/n)-1<ε ∴|a~(1/n)-1|<ε ∴a~(1/n)=1 相似文献
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“一般地 ,对无穷数列 {an},如果存在一个常数 A,无论预先给定多么小的正数ε,都能在数列中找到一项 a N,使得这一项后面所有的项与 A的差的绝对值都小于ε(即当 n >N时 ,| an-A| <ε恒成立 ) ,则称 A为数列 {an}的极限”.对数列极限的“ε -N”定义 ,教过的教师大概都有体会 :尽管教师口干舌燥 ,学生却依然不知所云 .说它是难点中的难点 ,一点也不过分 .难在哪里 ?我们分析 ,难在它的动态多变 ,ε变化 ,N与 a N 要随之变化 ;难在它信息含量大 ,有 n、a、A、ε、N、an、| an -A| ,以及它们之间的关系 ;还难在它的句式新奇 ,叙述严密等… 相似文献
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曹爱民 《济南职业学院学报》2001,(6):57-59
极限概念是数学分析中一个非常重要的基本概念 ,是研究变量数学的有力工具 ,极限方法是数学分析中研究函数的基本方法。对学习者来讲 ,首先是对极限概念的理解 ,其次是极限问题的计算。现将求极限的几种常用方法简单介绍如下。1 基本方法 (利用定义、性质 )例 1 求数列 0 9,0 99,0 999……的极限。证明 :令ｘｎ=0 .99… 9(共ｎ个 9) (ｎ =1,2 ,… ) ,对于任意给定的ε>0 ,∵ |ｘｎ- 1|=110 ｎ,要使 |ｘｎ=1|<ε,只需 110 ｎ<ε或 10 ｎ>1ε就行 ,这相当于ｎ >ｌｇ 1ε ,因此 ,只要取Ｎ =[ｌｇ 1ε],则当ｎ >Ｎ时 ,就有 |ｘｎ=1|<ε。所… 相似文献
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王亮亮 《吕梁高等专科学校学报》2008,24(2)
以函数极限的ε-δ定义为基础,通过对同一个函数的三种不同极限的证明,帮助学生理解ε-δ定义的本质,进而提高学生灵活应用极限定义解决问题的能力. 相似文献
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林伟洪 《黎明职业大学学报》2001,(3):32-37
通过分析数列极限证明中的常见错误，阐述了深刻理解并用适当地使用“ε－N”语言，有助于提高学员的思考力，培养不的辩证统一观，对学员进一步深入学习微积分学打下坚实基础。 相似文献