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一些代数不等式,用代数方法证明是较困难的,但若根据题设条件构造几何图形,运用几何方法,往往会得到巧妙直观的证明。本文介绍构造几种特殊的图形证明代数不等式,以供参考。一、构造正三角形例1 正数a、b、c、A、B、C满足条件a A=b B=c C=k,求证:aB bC cA相似文献
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初中部分1.1如图，已知CO⊥AE，BO⊥DO，O为垂足，则分别与∠BOC互余和互补的角的个数是（）（A）l，0；（B）2，0；（C）1，l；（D）2，1．l.2已知：z＝ct，(x2＋y2＋z2）（a2＋b2＋c2)＝（ax＋by＋cz）2．求：a/x和b/y的值（用t表示）．2．2如图，已知正方形ABCD的边长为a，DF＝b，EB＝c，EF＝DF＋EB，设正方形面积为S，求证：S＝ab＋bc＋ca．3.1已知a、b、c分别是△ABC的三条边长，方程4x2－4a2x＋b4＋c4－b2c2＝0有相等的实数根，且sin2A（bcosB－ccosC）＝acosA（sin2B－Sin2C），试判断△ABC的形状．3.2如图，已知… 相似文献
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一些代数不等式,用代数方法证明是较困难的。但若根据题设条件,构造出特殊的几何图形,运用几何方法。往往会使问题得到直观巧妙的证明。下面介绍构造几种特殊图形证明代数不等式,以供读者参考。例1.正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k。求证aB+bC+cA相似文献
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方程思想不但在代数中有广泛的应用，在几何中也十分有用．例１用一个火柴盒（matchbox）直立在桌面上，轻轻一推将其推倒，从这一过程中分析其中的数量关系，居然由此发现著名的勾股定理．这是怎么回事？假设火柴盒的侧面ABCD直立在桌面上，设AB＝a，BC＝b，BD＝c．推动点B，使其绕点D旋转，达到A落在CD的延长线上的点A'，B落在点B'，点C落在AD上的点C'，如图１所示．据此图，可以证明勾股定理：a２＋b２＝c２．分析：勾股定理是直角三角形三条边长a、b、c构成的等式，实质上是以a、b为边长的两个正方形面积之和等于以斜边c为边的… 相似文献
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学习等比性质应注意下面三个问题：一、等比性质的证明方法九义课本《几何》第二册P202关于等比性质的证明方法叫做参数法，即通过引进参数k，以它为桥梁建立已知与未知或条件与结论之间的联系，从而达到解题或证题的目的．这种方法具有极为重要的典型性，求解与等比（或连比）有关的问题都可采用这种方法．请看下例．＝24，求a、b、c的值，解设，则将上述三式代人3a＋2b－c＝24，得故a＝6，b＝10，c＝14．例2已知a：b：a＝3：4：6，且2a－b＋3c＝20，求4a＋3b－2c的值．解因a：b：c＝3：4：6，故可设a＝3k，b＝4k，C＝6k．将上述三式代入2… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2006,(5)
构造法是连接已知和结论之间的桥梁,用它解决问题时,可使复杂问题简单化、具体化、形象化,从而轻松解题.例1设正数a、b、c、A、B、C,并且满足a A=b B=c C=k,求证:aB bC cA相似文献
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题目：a、b、。设分别是直角三角形ABC的两条直角边和斜边的长,则an＋bn＜cn（n＞2nEN）。（1980年匈牙利数学奥林匹克试题）证法1：用数学归纳法证①当n＝3时,由c＞a及c＞b得：a’＋b’＝a’·a＋b‘·b＜a‘·c＋b‘·C“C（C‘＋b‘）＝c’即当n＝3时,原不等式成立。②假设n＝k时,原不等在钻改立,即a‘＋b‘＜c‘则n＝k＋1时,有／”‘＋b‘”‘。a‘·a＋b‘·b＜a‘·C＊b‘·c＝C（C‘＋b‘）＜C·C‘＝c。、1即当n＝k＋l时,原河湾劳o成立。综合①②知,对于n＞2,nEN,原不等式都成立,故a”＋b”＜C”n［＄2;37HseMt… 相似文献
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三角形面积的海伦公式其中k是边长为a、b、c的△ABC的面积，s＝（a＋b＋c）／2（如图1）通常证法是代数证法和三角证法．本文给出它的一个简捷几何证法．如图2，三角形ABC的内切圆圆心是I，半径是r，一个旁切圆圆心是r，半径是r’．由△IAB、△IBC和△IAC面积的和得k＝rs（1）AG和AH是过圆I’外A点的圆的两条切线，AG＝AH.同理，BG＝BJ，CH＝CJ．因为AG＋AH＝（AD＋DB＋BG）＋（AF＋FC＋CH）＝（AD＋DB＋BJ）＋（AF＋FC＋CJ）＝（AD＋DB）十（BJ＋CJ）十（AF＋FC）＝c＋a＋b＝2S所以AG＝AH＝s．又因为AD＝… 相似文献
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利用图形研究数学问题1.利用图形研究代数问题有些代数证明题用代数方法证明,很难找到合适的证法.如果我们能找到相关的几何图形,用图形的性质来研究证法,就会得到比较简单的证法.例1已知正数a,b,c,A,B,C满足a A=b B=c C=k.求证:aB bC cA相似文献
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姚金红 《少年天地(小学)》2003,(5)
一、变成完全平方式的形式例１已知关于x的一元二次方程（k２－k－２）x２－（５k－１）x＋６＝０（k≠２，k≠－１）．求证：这个方程一定有两个实数根．证明：∵k≠２，k≠－１，∴k２－k－２≠０．∵Δ＝〔－（５k－１）〕２－４·６（k２－k－２）＝k２＋１４k＋４９＝（k＋７）２≥０．∴该方程一定有两个实数根．二、变成完全平方式加一个非负数的形式例２已知：a、b、c是实数，且a＝b＋c＋１．试证：两个方程x２＋x＋b＝０和x２＋ax＋c＝０至少有一个方程有两个不相等的实数根．证明：两个方程的判别式分别为Δ１＝１－４b，Δ２＝a… 相似文献
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勾股定理的逆定理是证明两条线段垂直的重要理论依据之一,现举例说明它在解题中的应用．例1三角形的三边a、b、c适合a’＋b‘＋c’＋338＝10a＋24b＋26c,则此三角形为（）（A）锐角三角形;（B）等腰三角形;（C）直角三角形;（D）钝角三角形．解由已知得,（a－5）‘＋（b－12）‘＋（c．13尸一0,…。－5,b－12,c－13．aZ干bZ－cZ此三角形为直角三角形．故选C．例2如图1,已知正方形ABCD,E是AB的中点,F是AD上一点,且AF一十AD．”“’“’“““““‘“‘”“‘一4“——”求证：EF上EC．证明设正方形边长为4a,则AE… 相似文献
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某些不等式，如果囿于从代数角度来考察证明，会显得有些棘手．然而只要细心观察、类比联想，就可以发现这些问题通过构造正方形，借助正方形的几何性质来证明，不仅能够使命题的解答过程简洁直观，而且有助于培养学生的创造性思维能力，下面用实例来说明．10，求证：x－2y≤200．（1987年列宁格勒数学竞赛题）证设a＝x，b＝y，结合条件有a、b∈R＋，且a＝b＋10，如图，构造边长为a＝b＋10的正方形，从而由图可直观地看出a2－2b2≤200，因此x－Zy≤200．例2设x、y∈R，且0≤x≤1，0≤y≤1，求证：x/(1 y) （1988年列宁格勒数学竞赛题）．… 相似文献
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代建民 《中学数学教学参考》2004,(6)
一、选择题1 .设实数a、b、c、d满足a b =c d =1 ,ac bd>1 ,则a、b、c、d四个数( ) .A .必全为正实数 B .至少有一个负数C .有且只有一个负数D .以上都不对2 .已知△ABC三内角的弧度数为A、B、C ,对应边长为a、b、c,记α=aA bB cCa b c ,则( ) .A .0 <α≤π3 B .π3 ≤α<π2C .π6≤α≤π3 D .π3 ≤α≤2π33 .三个正实数a、b、c满足a2 -a -2b -2c =0 ,a 2b -2c 3 =0 ,下列说法正确的是( ) .A .以a、b、c为边长的三角形必为钝角三角形B .以a、b、c为边长的三角形必为直角三角形C .以a、b、c为边长的三… 相似文献
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用数形转换有时可将代数问题“映射”成几何命题,有时又可将几何命题转化为代数或三角命题,从而使复杂难解的问题较容易地求解．下面举两个将不等式“映射”成几何问题去求解的实例．牵涉三个变量的不等式,有时可映射成适当的立体图形去获得简易的证题途径．例1已知a,b,cR ,且a2＋b2＋c2＝1求证：分析原本等式在已知条件下等价干此构造长、宽、高分别为a,b,c,且对角线长度满足a2＋b2＋c2=1条件的长方体．利用三角形两边之和大于第三边的结论,命题可获证．证明如图1,构造长方体AC,其三度分别是AB=a,BC=b,AA1=c,且对角线长… 相似文献
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本刊文［1］提出了一个猜想：设a、b、c是正实数,m、n是正整数,且m≤n,则am（b＋c）n＋bm（c＋a）n＋cm（a＋b）n≤2n（a＋b＋c）m＋n3m＋n-1．
文中对以下几种特殊情况给出了证明：（1）m＝n＝1,（2）m＝k,n＝2k（k是正整数）,（3）m＝k＋1,n＝2k（k是正整数）,（4）m＝k,n＝2k＋1（k是正整数）,（5）m＝1,n＝4;m＝2,n＝3．
最后提出,对于所有的正整数m、n（m≤n）,猜想不等式是否完全成立？若成立,有无统一的证明？笔者经研究,进一步拓展了结论并证明了部分问题． 相似文献
文中对以下几种特殊情况给出了证明：（1）m＝n＝1,（2）m＝k,n＝2k（k是正整数）,（3）m＝k＋1,n＝2k（k是正整数）,（4）m＝k,n＝2k＋1（k是正整数）,（5）m＝1,n＝4;m＝2,n＝3．
最后提出,对于所有的正整数m、n（m≤n）,猜想不等式是否完全成立？若成立,有无统一的证明？笔者经研究,进一步拓展了结论并证明了部分问题． 相似文献