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陈艳梅 《四川教育学院学报》2000,(12)
众所周知 ,公比 q≠ 1的等比数列的有些性质对于公比 q=1的等比数列不适合 ,前 n项和公式就是例证。同样 ,公比 q≠ - 1的等比数列的有些性质对于公比 q=- 1的等比数列也不适用 ,因此在解决等比数列问题时 ,不可忽视 q=1及 q=- 1的等比数列。先看下面的命题 :若 {an}是等比数列 ,Sn 是其前 n项和 ,则Sk,S2 k- Sk,S3 k- S2 k,… ,Sn k- S(n- 1) k,…是等比数列。很多书刊都视它为真命题 ,其实这个命题是一个假命题 ,现举反例如下 :若 {an}是公比为 - 1的等比数列 ,且 k为偶数时 ,Sk= S2 k- Sk=S3 k- S2 k=… =Snk- S(n- 1) k=… =0 ,∴… 相似文献
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在解与等比数列前 n项和有关习题时 ,教师经常向学生强调要注意对公比 q=1和q≠ 1两种情况讨论 ,但一般很少注意 q=- 1的情况 .而这时往往最容易出错 ,这种错误更隐蔽 ,不易察觉 .下面举例加以说明 ,从而引起大家的注意 ,使得解题更加严谨 .例 已知数列 {an}是等比数列 ,前 n项和为 Sn,前 2 n项和为 S2 n,前 3n项和为 S3n.求证 :Sn,S2 n- Sn,S3n- S2 n成等比数列 .此题为本刊文 [1 ]例 5.文 [1 ]将等比数列前 n项和公式 Sn=a1 ( 1 - qn)1 - q ( q≠ 1 )中a1 1 - q设为 - A,得 Sn=Aqn- A( A≠ 0 ,q≠ 1 ) ,利用这一结构形式进行证明 ,… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2008,(1)
全日制人教版数学第一册(上)第129页习题4:已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项的和,求证S7,S14-S7,S21-S14成等比数列.设k∈N*,Sk≠0,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列吗?学生数理化中高一版设数列{an}的公比为q,容易证明S7,S14-S7,S21-S14成等比数列.当k∈N*,Sk≠0,Sk,S2k-Sk,S3k 相似文献
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陈金跃 《数理天地(高中版)》2002,(2)
题已知数列{an}的前n项和Sn=4n+a,则{an}为等比数列的充要条件是___. (第12届“希望杯”高二培训) 命题委员会仅由必要性即得a=-1,这是不严密的.本文给出等比数列的一个一般性结论及其证明. 结论已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(AB≠0,g≠0且q≠1),则{an}为等比数列的充要条件是A+B=0. 相似文献
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一、填空题(每题3分,满分36分)1.已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=52,则a5=.2.已知{an}为等比数列,公比为q,且a5=8,q=2,则an=.3.已知{an}是等比数列,公比为q,前n项和为Sn,q=2,a1=7,Sn=217,则n=.4.在等差数列{an}中,若a3=6,且a3、a7、a10成等比数列,则公差d=.5.设已知{an}是单调递增的等比数列,若a1=-2,则公比q的取值范围为.6.根据下列4个图形及相应点个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.7.已知数列{an}为等差数列,a1 a3 … a2k 1=96,a2 a4 … a2k=80,则整数k=.8.已知数列{an}满足以下关系a1=3,an 1=a2n 1,则数列{an}的通项公式为an=.9.等… 相似文献
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一、合理选择目标,简化解题过程
例1 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若．Sn=2,S3n=14,则S4n等于
A．16 B．26 C.30 D．80
常规解法 设等比数列{an}的公比为q,由已知有S3n≠3Sn,∴q≠1． 相似文献
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正大家知道,"错位相减"是推导等比数列前n项和公式的核心技术,并由此出发得到了求形如{an·bn}(其中{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列)型的数列前n项的和Sn的方法——错位相减法.长期以来,人们对求形如{an·bn}型的数列前n项的和不仅常用"错位相减法"求解,而且"错位相减法"也是历年高考命题的热点.然而,在平时的练习和历年高考中,我们发现用 相似文献
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等差数列和等比数列有一个有趣的现象:若S_n是等差数列{a_n}或等比数列{a_n}的前n项的和,则S_0=0.这个结论看上去是毫无道理的,因为Sn的下标必须是正整数.但是,这个结论却是说的通的.因为等差数列的前n项的和为Sn=2dn2+a1-2dn,从函数的观点看,总有S0=0.等比数列的前n项的和Sn=na1(此时公比q=1)或Sn=a1qq n--1a1(此时公比q≠1,且为非零常数).从函数的观点看,也总有S0=0.所以S0=0是说的通的.我们可以说:S0=0是一个数列为等差数列或等比数列的必要条件.看似无理的结论形式,从函数的观点看,是毫无问题的了.仅仅说的通还不行,这个结论能否帮助我们思考及解决问题.我们看下面的问题:问题1下列说法中正确的是.(1)等比数列{an}的前n项的和Sn=mqn+p-rk,则m+p-rk=0.(2)数列{an}的前n项的和Sn=3×2n-1,则通项an=3×2n-1.分析(1)通常情况下,有两种思考方法:法1:求出a1=S1=mq+p-rk,a2=S2-S1=mq2-mq,a3=mq3-mq2,由a22=a1a3得,m+p-rk=0.法2:先求通项公式,即当n=1时,a... 相似文献
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如果数列{a_n}满足 a_n=c_1a_(n-1)+c_2a_(n-2)+…+C_ka_(n-k).(n≥k+1)(＊),其中c_k≠0,就称{a_n}是一个k阶线性循环数列。在高中数学课本中的等比数列与等差数列就是线性循环数列,因为公比为q的等比数列的定义式是a_n=qa_(n-1)(n=2,3,…).所以等比数列是一阶线性循环数列.因为等差数列的定义式是 相似文献
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<正>设数列{a_nb_n}中{an}是等差数列(公差d≠0),{b_n}是等比数列(且公比q≠1),我们不妨称这类数列为积数列.记其前n项和为 相似文献
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数列求和是中学数学教学的重要内容。在现行的中学教材中,只安排了等差、等比数列的求和内容。但高考题中出现的数列大多数都是由等差、等比数列构造而成的非简单的等差、等比数列。本文拟对几种常见类型的数列求和公式作探讨。 命题1 设数列{a_n}是公差为d（d≠0）等差数列,数列{b_n }是公比为 q（q≠1）的等比数列,则数列{a_nb_n}的前n项和 S_n=(a_1b_1-a_nb_nq)/(1-q) (b_1q(1-q~(n-1))d)/(1-q)~2 证记 S_n=a_1b_2 a_2b_2 a_3b_3 … a_nb_n 将①式两边同乘以q得: 相似文献
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设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，当q≠1时，除了课本中介绍的两个前n项和Sn公式，即Sn=a1(1-q^n)/1-q和Sn=a1-anq/1-q，及在数列中都有an=sn-sn-1，n≥2，S1，n=1，还可得到关于Sn的下列几个常见性质。 相似文献
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高中《数学》(试验修订本·必修 )第一册(上 )第 13 2页例 4为“已知 Sn 是等比数列{an}的前 n项和 ,S3 ,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .”文 [1]将其推广为 :已知 Sn 是等比数列 {an}的前 n项和 ,公比 q≠ 1,则 ak,ak+ 2 p,ak+ p成等差数列的充要条件是 Sk+ 1 ,Sk+ 1 + 2 p,Sk+ 1 + p成等差数列 (k,p∈ N* ) .文 [2 ]又将其推广为 :已知 Sn 是等比数列 {an}的前 n项和 ,公比 q≠ 1,则 ak,al,am 成等差数列的充要条件是 Sk+ p,Sl+ p,Sm + p成等差数列 (k,l,m∈ N* ,p∈ Z,且 k+ p,l+ p,m+ p≥ 1) .受其启发 ,本文将其作… 相似文献
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对于高考试题中出现的求形如{an·bn}（其中{an}是公差为d（d≠0）的等差数列,{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列）的前n项和Sn问题,命题组给出的标准答案历来都是采用＂错位相减法＂.然而,我们发现学生不仅感觉到厌烦,而且计算量大、错误率高.那么是否有其他的方法可以替代＂错位相减法＂来求这类数列的和, 相似文献
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性质 1若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {}也为等比数列,公比为 .(其中 q是实常数,下同 ) 性质 2若 {an}为等比数列,公比为 q,则 {kan}也为等比数列,公比为 q.(其中 k≠ 0,是实常数 ) 例 1在等比数列 {an}中,已知 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=,,求 a3. 解：设 {an}公比为 q,由性质 1可知 {}是公比为的等比数列,已知的两式又都恰是五项 . 所以得 =,① a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5=.② 由①②可得 a1q2=± , 即 a3=a1q2=± . 性质 3若 {an}成等比数列,且 m＋ n=k＋ l,则 am· an=ak· al.(m,n,k,l∈ N) 性质 4若 {an}成等比数… 相似文献
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题1 数列{an}中，a1=1，当n≥2时，-1/√n-1〈an〈0，Sn为数列前n项的和，且Sn=1/2[an-1/n（n-1）an],（1）求S1，S2，S3，S4的值；（2）求数列{Sn}的通项公式；（3）求limn→∞．an. 相似文献