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<正>利用单位圆解题是大家所熟知的,本文介绍半单位圆的一个性质,及其在三角形中的应用.我们把直径为1个单位的圆叫作半单位圆.半单位圆有如下一条重要性质:定理在ABC中,以sinA、sinB、sinC 相似文献
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在三角函数教学中我们引进了单位圆,这对于直观表示任意角的三角函数,描绘三角函数图象,研究三角函数的有关性质及推导三角公式等提供了极大的方便.其实,单位圆在解题中,尤其在利用单位圆构造条件可化数为形的解题中,有着独特的功能.现举例如下:例1已知sin4αcos2β csions24αβ=1,求证:cos4βsin2α csions42αβ=1.证明设点A为scoins2αβ,csoins2βα,点B为(cosβ,sinβ),则A,B均在单位圆上.过B点圆的切线L的方程为xcosβ ysinβ=1,显然A点在L上,则A,B两点重合(切点唯一).∴scions2αβ=cosβ,csoins2βα=sinβ,即sin2α=cos2β,co… 相似文献
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将公式sin~2α cos~2α=1与圆的方程x~2 y~2=1进行比较,易见若点 A(x,y)是角α终边与单位圆x~2 y~2=1的交点,则有x=cosα,y=sinα.考虑点 相似文献
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圆中有一类线段的倒数关系的证明,由于运用的知识点综合性强,往往难以形成解题的思路。本文通过搜集资料把这类问题的证明归纳为如下方法。1 利用勾股定理 例1AB是半圆的直径,⊙Q与半圆O内切于点P,与AB切于点D,设AD=a,DB=b,⊙Q的半径为r。求证:1/a 1/b=1/r。 证明如图1,连接QD,则△ODQ为直角三角形。 所以OQ2=OD2 DQ2,而OQ=1/2(a b)-r,OD=1/2(a-b), 相似文献
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苟春鹏 《河北理科教学研究》2007,(2):57-58
文[1]给出了如下结论:如果a,b是正数,那么2/(1/a 1/b)≤ab～(1/2)b≤(a b)/2≤(a~2 b~2)～(1/2)的一种图形证明,读后颇受启发.本文笔者给出上述均值不等式链的另一种图形证法.构图与证明过程如下:图1如图1,圆P与半圆O的直径AB相切于点C,圆P与半圆O内切于Q.设AC=a,BC=b,圆P半径P 相似文献
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随着新课程的实施和素质教育的不断深入,一些与几何有关的动态变化题已成为近年来中考数学的热点之一．其中又以圆的动态变化最为丰富多彩．本文谈谈中考题中的“圆的移动问题．”圆的移动是指圆心按某个条件运动,而圆的大小在运动过程中保持不变．一、在直线上的移动例1 (2005年南京市中考)如图1,形如量角器的半圆O的直径DE=12 cm,形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC =12 cm．半圆O以2 cm／s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在直线BC上． 相似文献
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下面是一个求二元二次不定方程解的问题。求x~2+y~2=1的有理解. x~2+y~2=1在笛卡儿坐标系下显然表示单位圆,且该圆过点P(0,1),因而求解不定方程问题可化为求过P的直线与单位圆交点Q中的有理点(两个坐标皆为有理数的 相似文献
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罗泉 《数学大世界(高中辅导)》2006,(4)
一、利用单位圆,比较三角式的大小． [例1] 已知0<θ<π/2,试比较1-sinθ/1-cosθ和tanθ的大小．解:在图1所示的单位圆中的第一象限中任取点P, 令∠POx=θ,再取点A(1,1), 则KOP=tanθ, 相似文献
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岳昌庆 《河北理科教学研究》2014,(5)
正众所周知,(asinθ-b)/(ccosθ-d)型值域问题可以转化为从单位圆x2+y2=1外一点Q(xQ,yQ)向该单位圆上任一点所作直线的斜率的取值范围,但一般这类题目的答案都是无理解,学生做完后难免心里打鼓.为什么会出现这一情况?原来题目命制者只需控制住Q(xQ,yQ)在单位圆x2+y2=1外即可出现不平凡解 相似文献
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在现行教材《平面解析几何》中,有这样一个结论:过圆x~2 y~2=r~2上一点(a,b)的切线是ax by=r~2.显然,当r=1时,圆是单位圆,其切线方程是:ax by=1.根据这一结论,我们不仅可以直接写出圆X~2 y~2=1上任意已知点的切线方程,而且还可以结合切点性质,作为一种转化模式,较为简便地解决一些代数和三角问题.1 证明代数恒等式例 已知a2~(1-b~2)/2 b2~(1-a~2)/2=1,求证a-b~2=1.这题可以用平方化简和三角代换等多种方法证明,但用上面的结论构思也不失为一种好方法.证明 单位圆方程为x~2 y~2=1.过圆上点(a, 相似文献
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<正>与圆有关的问题能很好的反映平面几何的主体知识,是高考中平几部分的主考点。1.直径直径所对的圆周角为直角,直角圆周角所对的弦为直径。例1如图1,已知BC为半圆O的直径,AB=AF,AC与BF交于点G,AD⊥BC于D,交BF于E,求证:BE=EG.思路:由BC为半圆O的直径,得∠BAC=90°.由直角三角形斜边上中线的性质,只要证EA=EB或EA=EG即可.如要证EA=EB,只需证∠1=∠4,由=,得∠5=∠4,又∠5=∠1,则 相似文献
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题 已知：如图1,BC为半圆O的直径,AD⊥BC,垂足为D,过点B作弦交AD于点E,交半圆O于点F．弦AC与BF交于点H,且AE=BE． 相似文献
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●妙法多多●用圆求最值☆周继祥 圆与很多最值有关,比如,直径是圆中最大的弦,面积一定的平面图形中,圆的周长最短.因此,对某些问题,我们可用圆(或半圆、扇形等)求最值,下面举例说明. 例1 已知两线段l、m满足l2+m2=k2(k>0且为定值),求l+m的最大值. 分析:因为l2+m2=k2,k>0且为定值,故可作Rt△ABC,∠C=90°,AB=k,AC=l,BC=m.这样,问题就转化为在以AB为斜边的直角三角形中,求两直角边之和的最大值. 解:如图1,以O为圆心作半圆AB,使AB=k,在AB上任取一点C.则在Rt△ABC中,AC2+BC2=k2,延长AC至P,使CP=C… 相似文献
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本文应用极坐标系中过P_1(ρ_1,θ_1),P_2(ρ_2,θ_2)两点的直线方程:sin(θ_2-θ_1)/ρ=sin(θ_2-θ)/ρ_1 sin(θ-θ_1)/ρ_2(ρ_1≠0,ρ_2≠0)来证明几何中关于线段相等的竞赛题。这一直线极坐标两点式可应用坐标互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ代人直角坐标系两点方程:(x-x_1)/(y-y_1)=(x_2-x_1)/(y_2-y_1)中,通过三角恒等变形得到。例 1 以等边△ABC的边BC作直径向形外作半圆。在这半圆上取点K和L分半圆 相似文献
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新教材高一下册第四章“三角函数”中有图 1如下一道问题 :如图 1,有一块以点 O为圆心的半圆形空地 ,要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD辟为绿地 ,使其一边 AB落在半圆的直径上 ,另外两点 C,D落在半圆的圆周上 .已知半圆的半径为 r,如何选择关于点 O对称的点 A,B的位置 ,可以使矩形ABCD的面积最大 ?分析 令∠ AOD=θ,则 AD=rsinθ,ΟΑ= rcosθ,所以矩形 ABCD的面积 S=rsinθ· 2 rcosθ=r2 sin2 θ≤r2 ,其中等号成立的条件是 sin 2θ=1,即θ=π4 ,不难看出 ,A,B两点与 O点的距离都是 22 r时 ,矩形 ABCD的面积最大 ,最大… 相似文献
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安振平 《中学数学教学参考》2008,(13)
在高中数学课本三角函数一章里,曾有这样一道题目:问题1 如图1,求半圆O的内接矩形面积的最大值(圆的半径为1).解析:连结OA.从三角函数的角度思考.设∠AOB=θ 相似文献
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对于许多涉及证明不等式和求最值的问题,若能从其几何意义入手,采用解析法来解决问题,则往往比较简捷。本文略举几例,供读者参考。 1.利用单位圆 对于某些以“x~2 y~2=1”为条件的不等式证明,常从“单位圆”来考虑解题的途径。 例1.已知x~2 y~2=1,试证: 相似文献
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圆的切线的判定方法有三种:(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(2)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.(d=r)在上面3个命题中,第一个描述性的命题,主要在选择、填空题中作为判断选项出现,不宜作为 相似文献