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1.
严碧友 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):12-14
在三角形的三角函数问题中 ,经常会遇到三个内角、三条边长成等差或等比数列的情形 .下面对这些问题分类进行归纳总结 ,供大家参考 .一、三内角成等差数列求解这类问题 ,关键是抓住Ａ +Ｃ =2Ｂ =12 0°这一条件 ,并注意三角公式的灵活运用 .例 1 △ＡＢＣ中 ,若Ａ ,Ｂ ,Ｃ成等差数列 ,求ｃｏｓ2 Ａ +ｃｏｓ2 Ｃ的最小值 .分析 :因Ａ ,Ｂ ,Ｃ成等差数列 ,故Ａ +Ｃ =2Ｂ =12 0° .∴ ｃｏｓ2 Ａ +ｃｏｓ2 Ｃ =1+ｃｏｓ2Ａ2 + 1+ｃｏｓ2Ｃ2 =1+ 12 (ｃｏｓ2Ａ +ｃｏｓ2Ｃ)=1+ｃｏｓ(Ａ +Ｃ)ｃｏｓ(Ａ -Ｃ) =1- 12 ｃｏｓ(Ａ -Ｃ) .因 - 12 0… 相似文献
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本文介绍对三角命题进行等价转化的一些常用策略 ,供读者参考 .一、和与积的相互转化例 1 求ｓｉｎ7° ｃｏｓ1 5°ｓｉｎ8°ｃｏｓ7°-ｓｉｎ1 5°ｓｉｎ8°的值 .解 :原式 =ｓｉｎ7° 12 (ｓｉｎ2 3° -ｓｉｎ7°)ｃｏｓ7° 12 (ｃｏｓ2 3° -ｃｏｓ7°)=ｓｉｎ2 3° ｓｉｎ7°ｃｏｓ2 3° ｃｏｓ7°=ｓｉｎ1 5°ｃｏｓ8°ｃｏｓ1 5°ｃｏｓ8°=ｔｇ1 5°=2 -3.例 2 已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足 :Ａ Ｃ =2Ｂ ,1ｃｏｓＡ 1ｃｏｓＣ =-2ｃｏｓＢ,求ｃｏｓＡ-Ｃ2 的值 .解 :由题设条件 ,得Ｂ =60° ,Ａ Ｃ =1 2 0°. ∴ 1… 相似文献
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命题 设△ＡＢＣ的面积为△ ,三边长分别为ａ、ｂ、ｃ.则△ＡＢＣ的内接正三角形的最小面积为 △236(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ.设∠ＢＲＰ =θ,则易求得∠ＰＱＣ =∠Ａ+ 60° -θ .再设△ＰＱＲ的边长为ｘ ,则分别在△ＢＲＰ和△ＰＱＣ中 ,由正弦定理可得ＢＰ =ｓｉｎθｓｉｎＢｘ ,ＰＣ =ｓｉｎ(∠Ａ + 60°-θ)ｓｉｎＣ ｘ.又因ＢＰ +ＰＣ =ＢＣ =ａ ,故ｘ = ａｓｉｎθｓｉｎＢ+ｓｉｎ(∠Ａ +6 0° -θ)ｓｉｎＣ=ａｓｉｎ(∠Ａ +6 0°)ｓｉｎＣ ·ｃｏｓθ+… 相似文献
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1 计算 :ｓｉｎ 3 0°-22 ｃｏｓ 4 5°+13 ｔｇ2 60°=. ( 2 0 0 0年内蒙古中考题 )2 计算 :ｃｏｓ 3 0°ｔｇ 3 0°+ｓｉｎ 60°ｔｇ 4 5°ｃｔｇ 3 0°=. ( 2 0 0 0年河南省中考题 )3 ｓｉｎ2 72°+ｓｉｎ2 1 8°=. ( 2 0 0 0年天津市中考题 )4 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若∠Ｃ =90°,ａ =3 ,ｂ =4 ,则ｓｉｎＡ =( ) .(Ａ) 35 (Ｂ) 45 (Ｃ) 34 (Ｄ) 43( 2 0 0 0年辽宁省大连市中考题 )5 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,各边长都扩大 2倍 ,则锐角Ａ的正弦值和余弦值 ( ) .(Ａ)都不变 (Ｂ)都扩大 2倍 (Ｃ)都缩… 相似文献
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数学思想方法是研究和解决数学问题和有关实际问题的基本思想 ,求解数学问题时 ,若能熟练地运用数学思想方法 ,则有利于化繁为简 ,化难为易 ,提高解题速度 .本文举例介绍在求解三角函数问题时 ,如何注意数学思想的运用 .一、方程思想例 1 ( 1 996年高考题 )已知 ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列 ,且 1ｃｏｓＡ+1ｃｏｓＣ=-2ｃｏｓＢ,求ｃｏｓＡ-Ｃ2 的值 .分析 由于该题只要求ｃｏｓＡ-Ｃ2 的值 ,不一定要求出 Ａ -Ｃ2 ,故可以考虑把已知条件变换为含ｃｏｓＡ -Ｃ2 的方程 ,通过解方程求得ｃｏｓＡ-Ｃ2 的值 .解 ∵Ａ+Ｂ +Ｃ=1 8… 相似文献
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在数学解题中,有些题目用常规思路去做很繁琐,但巧妙构造三角形,便可得到简洁解法。 例１．己知△ＡＢＣ的三个内角 Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ= ２Ｂ,求的值。 （１９９６年全国高考题） 解：∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°,由Ａ＋Ｃ＝２Ｂ,得Ｂ＝６０° 而cos=１０５°=,cos１５°= 易知＋ 构造△ＡＢＣ,如图１,使Ａ＝１０５°,Ｂ＝６０°,Ｃ＝ １５ °从而cos= １５°,从而 cos＝ 例２、求值sin~２１０°＋ｃｏｓ~２４０°＋ｓiｎ１０°ｃｏｓ４０。 （１９９５年全国高考题） 构造△ＡＢＣ,如图２,使Ｂ＝１０°,Ｃ＝５０°,Ａ＝１２… 相似文献
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《中学生理科月刊》2001,(12)
一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,若∠Ｃ =90° ,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1 ,则ｔｇＡ =.2 化简ｃｏｓ 30° -ｓｉｎ 30°ｔｇ 4 5° +ｔｇ 6 0° 的结果是 .3 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =8,ｓｉｎＡ =35 ,则ＢＣ =,ＡＢ =.4 在⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ与弦ＣＤ相交于点Ｅ ,当ＡＢ、ＣＤ满足条件时 ,必有ＣＥ =ＥＤ .5 如图 1 ,在⊙Ｏ中 ,若∠ＡＣＢ =1 4 0° ,则∠ＯＡＢ =.6 如图 2 ,在⊙Ｏ中 ,若劣弧ＤＥ的度数是 6 0° ,则∠Ｂ +∠Ｃ =.7 如图 3,Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＯ交⊙Ｏ于Ａ ,ＰＣ切⊙Ｏ于Ｃ .若ＯＰ =1 0 ,ＰＣ =8,则ＯＡ =.8 如图 4 ,ＰＴ切… 相似文献
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公式ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1反映了同一个锐角α的正弦和余弦之间的关系 .应用这一关系 ,许多较复杂的问题可获得简捷的解答 .例 1 ｓｉｎ53°ｃｏｓ37° ｃｏｓ53°ｓｉｎ37° =.( 1 998年山西省中考题 )解 ∵ 53° 37°=90° ,∴ ｃｏｓ37°=ｓｉｎ53° ,ｓｉｎ37°=ｃｏｓ53°.∴ 原式 =ｓｉｎ2 53° ｃｏｓ2 53°=1 .例 2 已知ｓｉｎα ｃｏｓα=ｍ ,ｓｉｎα·ｃｏｓα =ｎ ,则ｍ、ｎ的关系是 ( ) .(Ａ)ｍ =ｎ (Ｂ)ｍ =2ｎ 1(Ｃ)ｍ2 =2ｎ 1 (Ｄ)ｍ2 =1 -2ｎ( 1 999年天津市中考题 )解 将ｓｉｎα ｃｏｓα =ｍ… 相似文献
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20 0 1年高考理科第17题 :如图 1,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ =90°,ＳＡ ⊥面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 .(Ⅰ)求四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ的体积 ;(Ⅱ)求面ＳＣＤ与面ＳＢＡ所成二面角的正切值 .它的第二个问题并没有给出二面角的棱但却要求二面角的正切值 ,像这种没有给出棱的二面角我们称为“无棱二面角” .求解“无棱二面角”的问题有两种思路 :一种是不作出二面角的棱 ,直接用面积射影定理ｃｏｓθ =Ｓ射Ｓ原或三面角余弦公式ｃｏｓθ =ｃｏｓα -ｃｏｓβ·ｃｏｓγｓｉｎβｓｉｎγ 求解 ;一种是作出… 相似文献
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一、用功的定义式Ｗ =Ｆｓｃｏｓθ来计算 .这种方法要求式中Ｆ为恒力 ,因此只适用于匀强电场中 .例 1 如图 1所示 ,有一匀强电场 ,场强Ｅ=2 × 1 0 4 Ｖ/ｍ ,方向水平向右 ,现将一带 5 ×1 0 - 5Ｃ的负点电荷从Ａ点移到Ｂ点 ,ＡＢ与场强方向成 60°角 ,且ＡＢ =4× 1 0 - 2 ｍ ,求此过程中电场力做的功 .(不计重力 )解析 :电荷在电场中受的力大小为Ｆ=ｑＥ ,方向水平向左 ,且为恒力 ,由功的定义式得 :Ｗ =Ｆｓｃｏｓθ =ｑＥｓｃｏｓ60° =5 × 1 0 - 5× 2 × 1 0 4 × 4× 1 0 - 2 × 0 .5 =2 .0 × 1 0 - 2 (Ｊ)二、用Ｗ =-△ε计… 相似文献
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一、选择题 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1.下列二次根式中 ,与 2 4是同类二次根式的是 ( ) .(Ａ) 18 (Ｂ) 30 (Ｃ) 4 8 (Ｄ) 5 42 .若∠Ａ是锐角 ,且ｓｉｎＡ =ｃｏｓＡ ,则∠Ａ的度数是 ( ) .(Ａ) 30° (Ｂ) 4 5° (Ｃ) 6 0° (Ｄ) 90°3.函数ｙ =ｘ + 1- 1ｘ - 2 中 ,自变量ｘ的取值范围是 ( ) .(Ａ)ｘ≥ - 1(Ｂ)ｘ >- 1且ｘ≠ 2(Ｃ)ｘ≠ 2 (Ｄ)ｘ≥ - 1且ｘ≠ 24 .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90° ,∠Ａ =30° ,ｂ =2 3.则此三角形外接圆半径为 ( ) .(Ａ) 3(Ｂ) 2 (Ｃ) 2 3(Ｄ) 45 .半径分别为 1ｃｍ和 5ｃｍ的两个圆… 相似文献
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1 圆锥曲线焦点弦的长度取值范围定理 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )的离心率ｅ=ｃａ ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,ｐ =ｂ2ｃ .设椭圆焦点弦ＡＢ的长度为ｄ ,则ｄ∈ 2ｅｐ ,2ｅｐ1-ｅ2 ,即ｄ∈2ｂ2ａ ,2ａ .证明 以椭圆的左焦点为极点 ,建立极坐标系 ,椭圆的极坐标方程为 ρ =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ.不妨设ＡＢ为过左焦点的弦 ,Ａ( ρ1,θ) ,Ｂ( ρ2 ,π θ) ,θ∈〔0 ,π) ,则 |ＡＢ|=ρ1 ρ2 =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π θ)=2ｅｐ1-ｅ2 ｃｏｓ2 θ.当ｃｏｓθ=0 ,即θ =π2 时 ,|ＡＢ|ｍｉｎ=2ｅｐ =2ｂ2ａ ;当ｃｏ… 相似文献
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一、选择题1 .ｓｉｎ2 π12 -ｃｏｓ2 π12 的值为 ( ) (Ａ) -12 (Ｂ) 12 (Ｃ) -32 (Ｄ) 322 .已知ｃｏｓαｃｏｓ β+ｓｉｎαｓｉｎ β =0 ,那么ｓｉｎαｃｏｓβ-ｃｏｓαｓｉｎ β的值为 ( ) (Ａ) -1 (Ｂ) 0 (Ｃ) 1 (Ｄ)± 13 .已知ｆ(ｔａｎｘ) =ｃｏｓ 2ｘ ,则 ｆ -22 等于( ) (Ａ) -2 23 (Ｂ) 0 (Ｃ) 13 (Ｄ) -14.化简1 +ｓｉｎθ-ｃｏｓθ1 +ｓｉｎθ+ｃｏｓθ等于 ( ) (Ａ)ｔａｎθ (Ｂ)ｃｏｔθ (Ｃ)ｔａｎ θ2 (Ｄ)ｃｏｔ θ25 .如果 1 -ｔａｎＡ1 +ｔａｎＡ… 相似文献
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定理 1 过圆锥曲线焦点的直线ｌ对于过焦点的对称轴的倾斜角为α ,且与圆锥曲线交于Ａ、Ｂ两点 ,若焦点Ｆ分弦ＡＢ所成的比为λ ,则λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.(ｅ为离心率 ) 图 1证明 过焦点Ｆ作准线的垂线 ,垂足为Ｋ ,以焦点Ｆ为极点 ,ＦＫ的反向延长线为极轴 ,如图 1,建立极坐标系 ,则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ｅｐ1 ｅｃｏｓθ(允许 ρ <0 ) ,∴ρＡ =ｅｐ1-ｅｃｏｓα,ρＢ =ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π+α) =ｅｐ1+ｅｃｏｓα.∵ ＡＦＦＢ =λ ,ＡＦＦＢ =ρＡρＢ =1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα,∴λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.说… 相似文献
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平面向量是第一次进入中学数学教材 ,初学这部分内容时 ,学生常常会出现这样或那样的错误 .现列举几种常见错误 ,供大家辨析 .一、忽视两向量夹角的意义致错例 1 如图 1 , ＡＢＣ的三边长均为 1 ,且ＢＣ =ａ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ=ｃ,求ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ的值 .错解 ∵ ＡＢＣ的三边长均为 1 ,∴∠Ａ =∠Ｂ =∠Ｃ =60°,｜ａ｜ =｜ｂ｜ =｜ｃ｜ =1 ,∴ａ·ｂ=｜ａ｜·｜ｂ｜ｃｏｓＣ=ｃｏｓ 60°=12 .同理ｂ·ｃ =ｃ·ａ=12 ,于是ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ=32 .评析 这里误认为ａ与ｂ的夹角为∠ＡＣＢ ,其实 ,两向量的夹角应为平面上同一起点… 相似文献
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裘良 《中学数学教学参考》2001,(10)
广义射影定理定理 在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是高 ,ＡＢ =ｃ,ＡＣ =ｂ.(1 )若Ｄ在边ＢＣ上 ,则ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤ =ＡＣ2-ＢＣ·ＣＤ =ＡＢ2 -ＢＤ·ＢＣ =ｂｃｃｏｓＡ ;(2 )若Ｄ在ＢＣ或ＣＢ的延长线上 ,则ＡＤ2 ＣＤ·ＢＤ =ＡＣ2 ±ＢＣ·ＣＤ =ＡＢ2 ＢＤ·ＢＣ =ｂｃｃｏｓＡ .证明 :(1 )当Ｄ与Ｂ或Ｃ重合时 ,等式显然成立 .当Ｄ在ＢＣ上时 ,如图 ,记∠ＣＡＤ =α ,∠ＢＡＤ =β ,则ｃｏｓＡ =ｃｏｓ (α β)=ｃｏｓαｃｏｓβ-ｓｉｎαｓｉｎ β=ＡＤｂ ·ＡＤｃ -ＣＤｂ ·ＢＤｃ=ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤｂｃ .∴ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤ =ｂｃｃ… 相似文献
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《中学数学教学》2 0 0 1年第 4期“擂题 ( 4 5 )的评注”的文后刊出了王扬先生提出的关于擂题 ( 4 5 )对偶命题的一个猜想 :在△ＡＢＣ中 ,设ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 3,则ｓｉｎｎＡ ｓｉｎｎＢ ｓｉｎｎＣ≤ｃｏｓｎ Ａ2 ｃｏｓｎ Ｂ2 ｃｏｓｎ Ｃ2①事实上 ,以Ａ =Ｂ =ε,Ｃ =π -2ε代入①式 ,得2 ｎｓｉｎｎ ε2 ( 1 2 ｎｃｏｓｎε)≤ 2 ,分别令ε→ 0、ε→π/ 2 ,得 0 <ｎ≤ 2。因此 ,猜想不成立。本文提出并证明如下命题 :命题 设λ∈Ｒ ,0 <λ≤ 2 ,则ｓｉｎλＡ ｓｉｎλＢ ｓｉｎλＣ≤ｃｏｓλ Ａ2 ｃｏｓλ Ｂ2 ｃｏｓλ Ｃ2… 相似文献
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在某种意义下成对出现的两个式子 ,称为对偶式 .比如正与负、和与差、积与商、奇函数与偶函数、互为有理化因式、正弦与余弦等 .在解题中对于某个对象 ,有意识地构造与其对偶的式子 ,往往能为解题开辟新途径 ,获得巧妙的方法 .现举例说明 .一、求三角函数的值例 1 求ｃｏｓ2 1 0° ｃｏｓ2 50° -ｓｉｎ4 0°ｓｉｎ80°的值 .解 :令Ｍ =ｃｏｓ2 1 0° ｃｏｓ2 50°-ｓｉｎ4 0°·ｓｉｎ80°在Ｍ中有余弦与正弦 ,构造对偶式 :Ｎ =ｓｉｎ2 1 0° ｓｉｎ2 50°-ｃｏｓ4 0°·ｃｏｓ80°两式相加得 Ｍ Ｎ =2 -ｃｏｓ4 0° ①两式相减得Ｍ… 相似文献
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第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.ａ、ｂ是异面直线 ,直线ｃ与ａ所成的角等于ｃ与ｂ所成的角 .则这样的直线ｃ有 ( ) .(Ａ) 1条 (Ｂ) 2条 (Ｃ) 3条 (Ｄ)无数条2 .若△ＡＢＣ的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ａ2 -ａ - 2ｂ - 2ｃ =0且ａ +2ｂ - 2ｃ +3=0 ,则它的最大内角的度数是 ( ) .(Ａ) 15 0° (Ｂ) 12 0° (Ｃ) 90° (Ｄ) 6 0°3.对任意给定的自然数ｎ ,ｎ6+3ａ为正整数的立方 ,ａ为正整数 .则这样的ａ( ) .(Ａ)有无数个 (Ｂ)只有有限个(Ｃ)只有 1个 (Ｄ)不存在4 .在复平面上 ,曲线ｚ4+ｚ =1与圆 … 相似文献
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文英 《中学生数理化(高中版)》2003,(1)
Ｓｅｃｔｉｏｎ1 :ＢｒｅａｋｄｏｗｎｏｆＦｏｒｃｅｓＹｏｕｃａｎｂｒｅａｋｄｏｗｎｆｏｒｃｅｓｉｎｔｏｓｅｖｅｒａｌｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｅａｓｌｉｌｙ.Ｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ,ｔｈｅｆｏｒｃｅＦ1 ａｔ30ｄｅｇｒｅｅｃａｎｂｅｂｒｏ ｋｅｎｉｎｔｏｔｗｏｆｏｒｃｅｓ:ＦｘａｎｄＦｙ,ａｎｄＦｘ=ｃｏｓ30°×Ｆ1 ,Ｆｙ=ｓｉｎ30°×Ｆ1 .Ｓｅｃｔｉｏｎ2 .ＴｗｏＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＦｏｒｃｅｓｉｎｔｏＯｎｅＹｏｕｃａｎｃｏｍｂｉｎｅｔｗｏｆｏｒｃｅｓｉｎｔｏｏｎｅ.ＳｕｐｐｏｓｅＴｏｍｐｕｓｈｅｄａｂｏｘｗｉｔ… 相似文献