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1.
在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明 设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 . 因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即 Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例 已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对… 相似文献
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已知点Ｐ(ｘ1,ｙ1)不在直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ｂ≠ 0 )上 ,若Ｐ在ｌ的上方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)>0 ;若Ｐ在ｌ的下方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .1 证明 设Ｐ0 (ｘ1,ｙ0 )为ｌ上的一点 ,则Ａｘ1 Ｂｙ0 Ｃ=0 ,所以Ｂｙ0 =- (Ａｘ1 Ｃ) ,有Ｂ2 ｙ0 =-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) . 若Ｐ在ｌ的上方 ,则ｙ1>ｙ0 ,∴Ｂ2 ｙ1>Ｂ2 ｙ0 ,即 Ｂ2 ｙ1>-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) ,得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) >0 ; 若Ｐ在ｌ的下方 ,则 ｙ1<ｙ0 ,同上可得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .2 应用例 1 已知直线ｌ :ａｘ ｙ 2 =0 ,点 Ｐ( - 2 ,1) ,Ｑ( 3,2 ) ,且Ｐ、Ｑ位于直… 相似文献
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20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1 已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) . 图 1证明 如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .… 相似文献
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二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1 推证几个重要结论命题 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明 由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上… 相似文献
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有关圆锥曲线弦的二端点与原点连线的斜率问题 ,涉及解析几何中许多重要的知识点 ,在各种考试的试题中经常出现 .若用常规方法解决 ,运算量大、过程冗繁 .本文通过实例介绍这类问题的一种简捷解法 .例 1 (1993年上海市高考试题 )抛物线 ｙ=- 12 ｘ2 与过点Ｍ(0 ,- 1)的直线ｌ相交于Ａ、Ｂ两点 ,Ｏ为坐标原点 .若直线ＯＡ与ＯＢ的斜率之和为1,求直线ｌ的方程 .解 设直线ｌ的方程为 ｙ =ｋｘ- 1,即 1=ｋｘ-ｙ .代入抛物线方程 2 ｙ· 1+ｘ2 =0得 2ｙ(ｋｘ- ｙ) +ｘ2 =0 .整理后两边同时除以ｘ2 ,有 2 (ｙｘ) 2 - 2ｋ· (ｙｘ) - … 相似文献
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杨六省 《中学数学教学参考》2002,(4)
设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为任一点 ,直线ｌ的方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ａ2 Ｂ2 ≠ 0 ) ,我们来求Ｐ到ｌ的距离ｄ .设Ｑ(ｘ1,ｙ1)为Ｐ在ｌ上的射影 ,当ＡＢ≠ 0 ,且Ｐ不在ｌ上时 ,有ｄ =|ＰＱ|=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (ｙ1-ｙ0 ) 2=(ｘ1-ｘ0 ) 2 [1 (ｙ1-ｙ0ｘ1-ｘ0) 2 ]=(ｘ1-ｘ0 ) 2 (1 Ｂ2 相似文献
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近年高考中频频出现平面解析几何中的对称问题 ,由于此类问题在现行高中《平面解析几何》中讲得较少 ,令许多考生不知从何处着手 .现将近年来高考中的平面解析几何对称试题分类解答如下 ,以利于同学们提高解题速度 ,达到举一反三的作用 .一、点关于直线对称解此类题型先利用中点坐标公式 ,设Ｐ(ｘ ,ｙ)关于直线ｌ :Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0的对称点为Ｑ(ｍ ,ｎ) ,则ＰＱ的中点在ｌ上 ,坐标为 (ｘ ｍ2 ,ｙ ｎ2 ) ,则Ａ×ｘ ｍ2 Ｂ× ｙ ｎ2 Ｃ =0 ,再根据直线ＰＱ ⊥ｌ ,得ｙ-ｎｘ -ｍ ×(-ＡＢ) =-1,进行求解 .例 1 (’91全国 )点Ｐ(2 ,5 )关… 相似文献
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一、选择题1 θ∈ ( 0 ,π2 ) ,直线ｘ +ｙｔａｎθ +1=0的倾斜角是 ( )(Ａ)θ (Ｂ) π2 -θ(Ｃ) π2 +θ (Ｄ)π -θ2 设点Ｐ(ａ ,3)在直线ｆ(ｘ ,ｙ) =0上的射影是θ( 1,ａ) ,则ｆ(ｘ ,ｙ)可以是 ( )(Ａ) 2ｘ - ｙ +3 (Ｂ)ｘ +2 ｙ - 3(Ｃ) 2ｘ - ｙ +7 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 73 直线ｌ:ａｘ +ｙ +2 =0与线段Ｐ1Ｐ2 总有交点 ,若Ｐ1( - 2 ,1) ,Ｐ2 ( 3,2 )则实数ａ的取值范围是 ( )(Ａ)ａ≥ 32 (Ｂ)ａ≤ - 43(Ｃ)ａ≤ - 43或ａ≥ 32(Ｄ) - 32 ≤ａ≤ 434 两条直线Ａ1ｘ +Ｂ1ｙ +Ｃ1=0 ,Ａ2 ｘ +Ｂ2 ｙ+Ｃ2 =0… 相似文献
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定理 如果△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,点Ｄ、Ｅ、Ｆ依次分△ＡＢＣ三边所成的比分别为λ1、λ2 、λ3 ,那么Ｓ△ＤＥＦ =1 λ1λ2 λ3 (1 λ1) (1 λ2 ) (1 λ3 ) Ｓ . 证明 先看点Ｄ、Ｅ、Ｆ均在三边上 ,由已知得 ＡＤ∶ＤＢ =λ1,ＢＥ∶ＥＣ =λ2 ,ＣＦ∶ＦＡ =λ3 ,于是有ＡＤ =λ11 λ1ＡＢ ,ＢＤ =11 λ1ＡＢ ,ＢＥ =λ21 λ2ＢＣ , ＥＣ =11 λ2ＢＣ ,ＣＦ =λ3 1 λ3 ＣＡ , ＦＡ =11 λ3 ＣＡ .∴Ｓ△ＡＤＦ =12 ＡＤ·ＡＦｓｉｎＡ=12 · λ11 λ1ＡＢ· 11 λ3ＣＡ·ｓｉｎＡ= λ1(1 λ1) (1 λ3 ) · 12 ＡＢ·ＡＣ·ｓｉｎ… 相似文献
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定理 1 如图所示 ,记椭圆Ｃ的切线ｌ与以椭圆长轴为直径的圆Ｏ从左至右依次交于Ａ、Ｂ两点 ,则直线Ｆ1Ａ ⊥ｌ且直线Ｆ2 Ｂ ⊥ｌ(其中Ｆ1、Ｆ2 表示椭圆的左、右焦点 ) .证明 当切点是椭圆的顶点时结论显然成立 ;当切点不是椭圆的顶点时 ,设Ｃ的方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｂ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 ) ,则圆Ｏ的方程为ｘ2 + ｙ2 =ａ2 .设直线ｌ与椭圆Ｃ的切点为Ｍ(ａｃｏｓθ ,ｂｓｉｎθ) ,则得切线ｌ的方程为ｂｃｏｓθ·ｘ +ａｓｉｎθ·ｙ=ａｂ . ①由①解出 ｙ并代入ｘ2 + ｙ2 =ａ2 ,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 θ +ｂ2 ｃｏｓ2 θ)·ｘ2 - 2ａｂ2… 相似文献
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刘康宁 《中学数学教学参考》2001,(11)
在高中数学竞赛大纲中 ,二元一次不等式表示的区域是平面解析几何的一个重要组成部分 .这类问题主要包括区域的确定、区域面积的计算、区域型最值的求法、区域内整点(横、纵坐标均为整数的点 ,下同 )的计数等 .一、基础知识在直角坐标平面内 ,直线ｌ可以用二元一次方程Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0来表示 ,点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在直线ｌ上的充要条件是Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ;若点Ｐ不在直线ｌ上 ,则Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ >0或Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ <0 ,二者必居其一 .直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0将平面划分为两个半平面Ａｘ Ｂｙ Ｃ >0和Ａｘ Ｂｙ Ｃ <0 ,位于同一… 相似文献
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一道高考题的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
20 0 1年全国高考数学试题 (广东、河南卷 )第 2 1题“已知椭圆 ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线ｌ上 ,且ＢＣ∥ｘ轴。求证直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点。”参考答案是这样证明的 :设ｅ是椭圆的离心率 ,如图 ,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足。因Ｆ是椭圆右焦点 ,ｌ是右准线 ,ＢＣ∥ｘ轴 ,即ＢＣ⊥ｌ,根据椭圆几何性质 ,得 :|ＡＦ||ＡＤ|=|ＢＦ||ＢＣ|=ｅ。∵ＡＤ∥ＦＥ∥ＢＣ ,∴|ＥＮ||ＡＤ|=|ＣＮ||ＣＡ|=|ＢＦ||ＡＢ|,|ＦＮ||ＢＣ|=|ＡＦ||ＡＢ|,… 相似文献
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有向线段Ｐ1Ｐ和ＰＰ2 数量的比叫做点Ｐ分Ｐ1Ｐ2所成的比 ,通常用λ表示这个比值 ,λ =Ｐ1ＰＰＰ2 ,点Ｐ叫做Ｐ1Ｐ2 的定比分点 .若点Ｐ为Ｐ1Ｐ2 的内分点 ,则λ>0 ;若点Ｐ为Ｐ1Ｐ2 的外分点 ,则λ <0且λ≠ - 1;若Ｐ与Ｐ1重合 ,则λ =0 .我们可根据λ取值的正负来讨论Ｐ的位置 ,也可根据Ｐ的位置来讨论λ.下面举例说明 .例 1 已知Ｐ(3,- 1)、Ｍ(6 ,2 )、Ｎ(- 3,3) ,直线ｌ过Ｐ点且与线段ＭＮ相交 ,求直线ｌ的倾斜角的取值范围 .解 设ｌ交ＭＮ于Ｑ(ｘｑ,ｙｑ) ,又设ｌ的方程为ｙ+1=ｋ(ｘ- 3) ,λ =ＮＱＱＭ ,由定比分点公式得ｘｑ =- 3+6… 相似文献
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下面是 2 0 0 2年的一道高考题 :设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ( 1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 .( 1 )求直线ＡＢ的方程 ;( 2 )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 4点是否共圆 ?第 ( 1 )小题 .应用作差法和中点坐标公式易求得直线ＡＢ的斜率ｋ=1 ,方程为ｘ -ｙ+1 =0 .第 ( 2 )小题 ,解法很多 ,为简化解题过程 ,可绕过求交点 ,直接建立圆的方程 ,证明 4点在这个圆上 .∵ＣＤ ⊥ＡＢ ,且过点Ｎ( 1 ,2 ) ,∴ＣＤ的方程为ｘ +ｙ-3 =0把直线ＡＢ、ＣＤ看成二次曲线 (ｘ-ｙ+1 ) (ｘ +ｙ-3 ) =0 ,这样… 相似文献
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我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 : ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2… 相似文献
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现行高中《平面解析几何》课本中关于“点到直线的距离公式”的推导是教学中的一个难点,如何突破这一教学难点?文〔1〕介绍了优于课本推导的一种简洁推导法,读后受益匪浅.受此启发,笔者又找到了优于课本推导的一种推导新法,并且还顺便得到了点Ｐ(ｘ0,ｙ0)关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0的对称点的坐标公式,现简介如下,供大家参考.设Ｍ(ｘ,ｙ)为直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0上的任意一点,由点到直线的距离的定义易知,点Ｐ(ｘ0,ｙ0)到直线ｌ的距离ｄ=|ＰＭ|ｍｉｎ,从而求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ就转化为求目标函数:｜ＰＭ｜=(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2(1)在约束… 相似文献
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1 题目与解法研究2 0 0 1年高考题 19(文 2 0 )题 :设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,证明直线ＡＣ经过原过Ｏ . 图 1证 1 如图 1,记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为Ｅ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 ,于是有ＡＤ ∥ＥＦ∥ＢＣ .连结ＡＣ与ＥＦ相交于点Ｎ ,则｜ＥＮ｜｜ＡＤ｜ =｜ＣＮ｜｜ＡＣ｜ =｜ＢＦ｜｜ＡＢ｜,｜ＮＦ｜｜ＢＣ｜ =｜ＡＦ｜｜ＡＢ｜.根据抛物线的几何性质有｜ＡＦ｜=｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=｜ＢＣ｜ ,所以｜ＥＮ｜=｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜… 相似文献
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1999年第 5期《数学教学研究》刊登了袁良佐老师“双曲线中点弦性质的应用”和王景斌老师“抛物线弦的中点问题”两篇文章 ,读后颇有启发 .本文给出椭圆中点弦的一个性质 ,并举例说明它的应用 .性质 设Ａ、Ｂ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上两点 ,Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是弦ＡＢ的中点 ,则有ｋＡＢ·ｋＯＰ=- ｂ2ａ2 .证明 设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2= 1上两点 ,则有ｘ21 ａ2 ｙ21 ｂ2 =1, ｘ22ａ2 ｙ22ｂ2 =1,两式相减 ,得 ｘ21 -ｘ22ａ2 ｙ21 - ｙ22ｂ2 =0 ,即 (ｘ1 ｘ2 ) (ｘ1 -ｘ2 )ａ2 … 相似文献
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在新编高中数学教材中增加了向量一章后 ,向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示 ,使向量与平面解析几何有了必然的联系 ,特别是两向量垂直与平行的充要条件 ,给求曲线的轨迹方程带来了极大的方便 ,使解题过程由复杂而变为简单 ,下面举几例来说明向量在求曲线方程时的简单应用 :例 1 过定点Ｍ ( 2 ,1)引动直线ｌ,ｌ与ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ、Ｂ两点 ,求线段ＡＢ中点Ｐ的轨迹方程 .分析 以往解析几何中 ,设过点 ( 2 ,1)的直线的斜率为ｋ ,由点斜式得直线ｌ的方程为 :ｙ- 1=ｋ(ｘ - 2 ) ,然后分别令ｘ=0 ,ｙ=0 ,求出Ａ、Ｂ两点的坐标 ,再设… 相似文献
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今年高考 2 0题 ,旨在考察直线和圆锥曲线的关系 ,运算能力和逻辑推理能力 .方法灵活 ,难度不大 .既有效地考察了学生的基础知识 ,又突出了对学生能力的考察 ,是一道十分优秀的试题 ,笔者发现还有多种解法 ,现将主要解法加以整理 ,供读者参阅 .题目 :设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ(1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 ,(Ⅰ )求直线ＡＢ的方程 .(Ⅱ )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线相交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点是否共圆 ?为什么 ?(Ⅰ )解法一 :利用直线点斜式方程依题意 ,可设直线ＡＢ的方程为 ｙ=ｋ(ｘ-1 ) 2 ,代入… 相似文献