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1.
椭圆以某定点为中点的弦并非一定存在,那么,中点弦存在的充要条件是什么?有何应用,本文作下列探讨: 一中点弦方程的一种求法。设椭圆b~2x~2 a~2y~2-a~2b~2=0,(a>0,b>0)…(1) 及定点P_0(x_0,y_0),若以P_0为中点的弦存在,且两端点分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) 则:b~2x_1~2 a~2y_1~2-a~2b~2=0 b~2x_2~2 a~2y_2~2-a~2b~2=0 两式相减整理得: (y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(x_1 x_2)/(y_1 y_2)·b~2/a~2 =-b~2/a~2·x_0/y_0 (x_1≠x_2) 即k=-(b~2x_0)/(a~2y_0),代入点斜式得中点弦方程:a~2y_0y b~2x_0x=a~2y_0~2 b~2x_0~2……(2) 如果x_1=x_2,那么y_0=0,中点弦方程为x=x_0仍包含在(2)中。 相似文献
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程国正 《中学数学教学参考》1994,(8)
抛物线y~2=2px的焦点弦为AB,则y_Ay_B=-p~2,这是抛物线焦点弦的一条常用性质.对一般的弦而言,也有类似的性质,这里,我们给出一组充要条件,揭示弦的性质. 若AB为抛物线y~2=2px的弦,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2).则有: ∠AOB为直角x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 Ap~2=0; ∠AOB为锐角x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0; ∠AOB为钝角x_1x_2 y_y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0. 证明:cos∠AOB=|AO|~2 |BO|~2-|AB|~2/2|AO|·|BO|=2(x_1x_2 y_1y_2)/2|AO|·|BO|,故∠AOB为直角cos∠AOB=0x_1x_2 y_1y_2=0; ∠AOB为锐角cos∠AOB>0 x_1x_2 y_1y_2>0; ∠AOB为钝角cos∠AOB<0 x_1x_2 y_1y_2<0. 又A、B在抛物线上,故y_1~2=2px_1,y_2~2=2px_2,从而(y_1y_2)~2=4p~2x_1x_2,故x_1x_2 y_1y_2=1/4p~2·y_1y_2(y_1y_2 4p~2). 从而 x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 4p~2=0(显然y_1y_2≠0), x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0, x_1x_2 y_1y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0,得证. 应用这组充要条件,可方便地解决与抛物线弦相关的一类问题. 相似文献
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文[1]、[2]、[3]分别给出了直线方程:x_0x y_0y=r~2,(x_0x)/a~2 (y_0y)/b~2=1,(x_0x)/a~2-(y_0y)/b~2=1的3种几何意义,笔者认为直线方程:y_0y=p(x_0 x)(p>0)也有类似的几何意义,而且它揭示了圆及二次曲线内在的一般规律.定理1:若点 P(x_0,y_0)在抛物线 y~2= 相似文献
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先看一个例题,如图1,⊙O的方程为x~2+y~2=1,A(2,1)为圆外一点,AP,AQ是⊙O的两条切线,P,Q是切点,求切点弦PQ的方程。解:据设,过点P的圆的切线方程为x_1a+y_1y=1(1)∵A(2,1)在切线上,∴2x_1+y_1=1,∴y_1=1-2x_1,同理y_2=1-2x_2。由两点式得切点弦PQ的方程为(x-x_1)/(x_1-x_2)=(y-(1-2x_1))/((1-2x_1)-(1-2x_2))经整理得2x+y=l(2) 方程(2)正好与方程(1)中把P(x_1,y_1)的坐标换成A的坐标。这是巧合吗?不!有如下结论:自圆外一点A(m,n)向圆引两切线,所得切点弦方程与切点为(x_1,y_1)的圆的切线方程中把(x_1,y_1)换成(m,n)的 相似文献
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设方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x_1,x_2,那么 x_1+x_2=-(b/a),x_1·x_2=(c/a).这就是一元二次方程根与系数的关系.由根与系数的关系,我们知道:以两个数 x_1,x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1+x_2)x+x_1·x_2=0.根与系数的关系使我们能够由方程来讨论根的性质;反之,则可以由根的性质来确定方程的系数.因而,根与系数的关系的应用相当广泛.我 相似文献
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曾峰 《中学数学教学参考》1995,(5)
高中《解析几何》课本(必修)第62页给出过“已知圆x~2 y~2=r~2上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x y_0y=r~2”。有趣的是在某些条件下,这种形式的方程不表示圆的切线。 设M(x_0,y_0)是圆x~2 y~2=r~2外的一点。从M引圆的两条切线MA、MB,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为切点。那么,MA的方程是x_1x y_1y=r~2。 相似文献
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设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(4)
<正>1.圆锥曲线涉及中点弦求曲线方程和直线方程的问题,经常用点差法设而不求解题例1已知椭圆E:x2/a2/a2+y2+y2/b2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a2=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b2=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b2。 相似文献
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关于实系数一元二次方程ax~2 bx c=0,我们有如下三个重要的结论(记Δ=b~2-4ac,x_1和x_2表示方程的两根): (1)当Δ≥0,x_1·x_2>0,x_1 x_2>0时,方程的两根都是正数; (2)当Δ≥0,x_1·x_2>0,x_1 x_2<0时,方程的两根都是负数; 相似文献
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求已知点P(x_0,Y_0)关于直线y=kx m的对称点P＇(x,y),通常是解方程组 {1/2(y y_0)=k·1/2(x x_0) m (y-y_0)/(x-x_0)=-(1/k) 但当k=±1时,可直接用对称轴方程y=±x m即x=±y±m代换以求P＇点的位置。定理1 若P＇(x,y)是点P(x_0,y_0)关于直线y=x m的对称点,则 {x=y_0-m, y=x_0 m。证明比较简单,兹从略。特别地,当m=0时,点p(x_0,y_0)和点p＇(y_0,x_0)关于直线y=x对称。推论1 曲线f(x,y)=0关于直线y=x m对称的曲线方程是f(y-m,x m) 相似文献
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朱明侠 《中学数学研究(江西师大)》2007,(8):20-21
文[2]作为文[1]的续文,在直线方程(x_0x)/(a~2) (y_0y)/b~2=1的三种几何意义探讨启发下,给出了直线方程(x_0x)/(a~2)-(y_0y)/(b~2)=1的几何意义.本文再给出直线方程y_0y=p(x x_0)的几何意义,以告对此类问题的探讨圆满解决. 相似文献
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1基本内容1)如果ax~2 bx c=0(a≠0)的2根是x_1、x_2,那么x_1 x_2=-b/a·x_1·x_2=c/a.一元二次方程根与系数的关系叫做韦达定理.2)以2个数x_1、x_2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x~2-(x_1 x_2)x x_1x_2=0.这种根与系的关系叫做韦达定理的逆定理. 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(23)
定义若圆上任一点到点 A 的距离与到点 B 的距离的比恒为常数λ(λ>0,λ≠1),则称该圆分有向线段()所成的比是λ;该圆称为有向线段()的定比分圆.定理设 A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)是定点,一个圆分有向线段()所成的比是λ,则该圆的圆心坐标是 x_0=(x_1-λ~2x_2)/(1-λ~2),y_0=(y_1-λ~2y_2)/(1-λ~2),半径是 r=λ|1-λ~2|·|AB|.证明:设 P(x,y)是圆上的动点,由 |PA|/|PB|=λ得(x-x_1)~2 (y-y_1)~2=λ~2[(x-x_2)~2 (y-y_2)~2],经整理,得x~2 y~2-2x·(x_1-λ~2x_2)/(1-λ~2)-2x·(y_1-λ~2y_2)/(1-λ~2)=(λ~2x_2~2 λ~2y_2~2-x_1~2-y_1~2)/(1-λ~2),配方并化简整理,得 相似文献
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本文介绍利用直线两点式参数方程来证明比例式的一种规范化有效方法,供参考。一、直线两点式参数方程如图, 设P_1(x_1,y_1)、P(x_2,y_2)、P(x,y)都是直线l上的点,且P_1P/PP_2=λ则(x=x_1+λx_2/1+λ)/(y=y_+λy_2/1+λ)(λ为参数,λ≠-1) 即为过P_1、P_2两点的直线的参数方程。∵由(x_1-x_2)/(x-x_2)=1+λ 及 相似文献
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从抛物线y~2=2px外一点p(x_0,y_0)、向抛物线引两条切线,切点为A,B,则线段AB称为p点的切点弦、切点弦AB的方程是yy_0=p(x+x_0),证明如下: 设切点A、B坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则PA、PB方程分别为: 相似文献
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平面上的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程为x~2/a~2±y~2/b~2=1、y~2=2px。在其曲线上的点(x_0,y_0)处的切线方程可表示为x_0x/a~2±y_0y/b~2=1、y_0y=p(x x_0)的形式。这种形式与原曲线方程有明显的对应关系,便于记忆,并可以推广到平面上高次曲线。为了便于讨论,我们把平面直角坐标系中3次曲线方程的一般形式表示为 相似文献
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陈显宏 《数学大世界(高中辅导)》2003,(10):2-3
人教版试验教材数学第二册(上)§7.7,例2:已知圆的方程是x~2+y~2=r~2,求经过圆上一点M(x_0,y_0)的圆的切线方程。本例题求解方法很多(结果为x_0x+y_0y=r~2),在此不再赘述,下面从三个方面进行引申和探究,供赏析。引申一:若圆的方程是(x-a)~2+(y-b)~2=r~2,那么经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线方程还是x_0x+y_0y=r~2吗?下面我们来探求过点M(x_0,y_0)的圆的切线方程。方法一:用例2的方法(利用点斜式方程求解),可求得过点M(x_0,y_0)的圆的切线方程为 相似文献