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1.
杜国林 《课堂内外(小学版)》2006,(2):47-47
问题:已知前面25个自然数的和是325:1+2+3+……+25=325。求接写的25个自然数的和,即26+27+28+……+50=?这是一道求连续自然数的和的巧算题。解题的关键是熟悉等差数列的求和公式,或把数列中每项(每个数)拆分写成两个数的和,应用已知题设巧算。公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2原式共有25个数(项),第一个数(首项)是26,最末一个数(末项)是50,可直接应用公式算和。也可以这样思考,先把每项以25作第一个加数拆分成和:26=25+1,27=25+2,28=25+3,……,50=25+25。然后再分组算和。解题方法:直接应用公式或先拆分再分组求和。解题:方法1原式=(… 相似文献
2.
根据运算定律和运算性质能推导出很多运算公式,运用这些运算公式可以进行速算。现介绍几种应用公式进行速算的方法,望能对提高同学们的运算能力有帮助。(1)两个首同末合十的两位数相乘。两个两位数,若它们十位上的数都是a,个位上的数分别是b和c,且b+c=10,那么就叫做“首同末合十”。(10a+b)(10a+c)=(10a)2+10ab+10ac+bc=102a2+10a(b+c)+bc=100a2+100a+bc=[a(a+1)]×100+bc.根据这个公式,两个首同末合十的两位数相乘,可以先把首位数乘以比它大1的数,然后再在所得的结果后面添上两个末位数的积。例1计算74×76.解:74×76=(7×8)×100+4×6=562… 相似文献
3.
杜国林 《课堂内外(小学版)》2005,(6):39
问题:计算99+198+297+396+495+594+693+792+891+990=?(《小学生数学报》数学竞赛题)这是一道等差数列求和计算题。特点是:已知十个加数,它们中前后相邻二数的差都相等(都是99),构成等差数列。要求它们的和是多少,关键要熟悉等差数列的判断与求和公式。判断:因为198-99=99、297-198=99、……、990-891=99。所以,上面十个数构成了一等差数列。公式:①等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2。②等差数列的和=(首项+末项)×数的对数。解题方法:先判断由加数组成的这列数是不是等差数列。如果是,便用求和公式计算;如果不是,便另找规律计算。解题:方… 相似文献
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谷灵 《课堂内外(小学版)》2004,(11):29
计算 1 966+ 1 976+ 1 986+ 1 :996+ 2 006 这 五个数 的 总和 是 多少华杯赛试题?( ) 这是一道等差数列求和的计算题 特点是已知 5 个加数 它们。 ,中前后相邻二数的差相等 都是 (10 构成等差数 列 要 求总 和 是), ,多少 解题关键是熟悉等差数列 。的求和公式与应用平均数或基数的求和公式 。公式 : 等差数列 的和= 首 项+ 末① (项 数的个数 2)× ÷。 奇数个等 差数 的平 均数=②中位数 即处于中心位置的那个 (数)。 它 们 的和 = 中 位 数 数 的 个 ×数 。 和=基数 可选最小数 数 ③ ( )… 相似文献
5.
在中学阶段可用数学归纳法证明下列公式:1+2+3+…十?毛=儿(儿+1) 2(1)12一卜22+32+…+几, =音儿(。+‘)‘2、+‘,·‘2, ‘·+2吕+3a+…+?!:一专,!·(,!+,):(3) 然而这些公式是如何求得的呢?(1)是等差数列的和,(2)、(3)是高阶等差数列的和.关于高阶等差数列的求和问题,在中学教材中未作专门介绍.本文将给出求各种高阶等差数列前二项和的一种简易方法. 一、从一个组合公式谈起 利用组合数的性质,不难证明一个组合公式: 嘿十嘿、1+鳃*2十…十C器卜,二鳃段(4)公式(4)可缩写成: 必+,,峨+:,C聋*。,…,C史+:_,(6)由归纳假设知,(6)为k阶等差数列,… 相似文献
6.
赵月 《课堂内外(小学版)》2004,(12):34
问题:求下列所有分母不超过40的真分数的和:12+(13+23)+(14+24+34)+…+(140+240+…+3840+3940)(新加坡小学数学奥林匹克试题)这是一道真分数求和的巧算题。解题的关键是熟悉等式的性质与等差数列的求和公式,把同分母的真分数顺向与逆向配对相加,先算出和的2倍是多少。性质:两个等式两边相加,仍然是等式。即:如果a=b、c=d,那么,a+c=b+d。公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2。解题方法:顺逆配对相加法。用字母S表示算式的和。把同分母的真分数按逆向(从大到小)排序,与原来顺向排序算式配对相加。先算出和S的2倍2S是多少,再算出S。解题:… 相似文献
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杜国林 《课堂内外(小学版)》2006,(2):46-46
问题:按规律排列的一串数:2,5,9,14,20,27……求这串数的第2006个数是多少?这是一道求数列(一串数)中某项(某个数)的巧算题。其特点是已知它的前6项a1、a2、a3、a4、a5、a6,要求第2006项a2006等于多少。解题的关键是先找出第n项an与序数n的数量关系,并熟悉等差数列求和公式。公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2可以这样思考,先把前6项从第二题起拆开写成和:a1=2,a2=5=2+3,a3=9=2+3+4,a4=14=2+3+4+5,a5=20=2+3+4+5+6,a6=27=2+3+4+5+6+7。于是找到规律。规律:数列第n项an等于n个连续自然数的和。其中第一个数(首项)是2,最末一个数(末项)… 相似文献
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数学科《考试说明》要求考生:1理解数列概念,了解数列通项公式、递推数列的意义,能根据递推公式写出数列的前几项;2理解等差数列、等比数列的概念,掌握其通项公式、前n项和公式及其应用.下面介绍数列基础试题考点及其求解策略.考点1 等差数列性质应用例1 (2003年新课程卷高考题)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m-n|=( )(A)1. (B)34. (C)12. (D)38.解析:运用等差数列性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”与题设条件可求出四个根.设a1、a2、a3、a4成等差数列,则a1+a4=a2+a3=2.故a1=14,a2=34,a3=54,… 相似文献
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一、运用等差数列性质a_m+a_n=a_p+a_q在等差数列{a_n}中,利用通项公式不难证明性质:若m+n=p+q,则a_m+a_n=a_p+a_q(m、n、p、q∈N~*).特别是:当m+n=2p时,有a_m+a_n=2a_p(m、n、p∈N~*).这一性质在解题中,如果运用恰当,可以起到简化运算过程,提高解题效率的作用.下面结合实例,谈谈该性质在解题中的具体运用. 相似文献
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幂的运算性质①am·an =am +n(m、n都是正整数 ) ;②(am) n=am n(m、n都是正整数 ) ;③ (ab) n=anbn(n为正整数 ) ;④am÷an=am -n(a≠ 0 ,m ,n都是正整数 ,且m >n)是整式乘除的基础 ,学好这部分内容 ,要注重“三用” ,避免“三错” .一、注重三个运用1 综合运用整式的混合运算一般要综合运用幂的运算性质及其他数学知识来解决 ,要细心观察算式 ,明确运算顺序 ,即先算幂的乘方和积的乘方 ,再算同底数幂的乘除法 ,然后加减运算 .例 1 计算 :(x4) 2 -x· (x2 ) 2 ·x3 + (x2 ) 4-( -x) ·( -x) 3 · ( -x2 ) 2 .解 原式 =x8-x·x4·x3 +x8-… 相似文献
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例四年级有三个班,已知甲、乙两班共有100人,甲、丙两班共有108人,乙、丙两班共有104人。求三个班各有多少人?分析:本题数量关系是有三个未知数,已知其中两个两个的知,求的是这三个数。解1:三和减两和解法(100+108+104)÷2-100=56(人)……丙班(100+108+104)÷2-108=48(人)……乙班(100+108+104)÷2-104=52(人)……甲班解2:重叠相减法(100+108-104)÷2=52(人)……甲班(100+104-108)÷2=48(人)……乙班(108+104-100)÷2=56(人)……丙班解3:和差解法,根据和差问题的公式(和+差)÷2=大数;(和-差)÷2=小数得出:眼100+(108-104)演÷2=52(人)……甲… 相似文献
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杜国林 《课堂内外(小学版)》2004,(10)
问题:计算1994 1993-1992-1991 1990 1989-1988-1987 …… 10 9-8-7 6 5-4-3 2 1=9(小学数学奥赛总决赛题) 这是一道运用运算符号重复规律分组的巧算题。解题关键是熟悉加减法的性质,并根据运算符号重复规律分组进行计算。性质:在没有括号的加减或连减算式中,改变运算顺序后,结果不变。另外,在加数前添加括号后,括号里面的运算不变,结果相同。 相似文献
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在初中数学中,有些形式复杂的数字运算,如果按运算顺序,或者直接运用多项式乘法法则进行计算,十分复杂,假如灵活选用平方差公式,就很容易解决。比如:例1计算20043-2003×2004×2005.分析:此题如果直接按运算顺序进行计算,很复杂,通过观察,2003可以写成(2004-1),2005可以写成(2004+1),这样就可以用平方差公式进行计算。解:20043-2003×2004×2005=20043-(2004-1)×2004×(2004+1)=20043-(2004-1)(2004+1)×2004=20043-(20042-1)×2004=20043-20043+2004=2004.例2求3×5×17×……×(2~(2n-1)+1)的值。分析:通过观察可以在式子中乘以(2-1),这… 相似文献
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王永刚 《山西教育(综合版)》2003,(2):15-16
1.分母有理化例 1.化简 16 - 2。解 :原式 =6 + 2(6 - 2 ) (6 + 2 )= 6 + 24 。〔说明〕:利用分母有理化化简二次根式的关键是准确地找出分母的最简化有理因式 ,再利用分式的基本性质运算。2 .运用公式法例 2 .计算 :(2 + 3-6 ) (2 - 3- 6 )。解 :原式 =〔(2 - 6 )+ 3〕·〔(2 - 6 ) -3〕 =(2 - 6 ) 2 -( 3) 2 =8- 4 3- 3=5 -4 3。〔说明〕:二次根式的乘除运算 ,要根据题目的特点 ,充分利用乘法公式 ,使计算过程简化。3.拆项法例 3.计算1+ 2 3+ 5(1+ 3) (3+ 5 )。解原式 =(1+ 3) + (3+ 5 )(1+ 3) (3+ 5 )=13+ 5+ 11+ 3=5 - 32 + 3- 12 =5 - … 相似文献
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杜国林 《课堂内外(小学版)》2005,(9)
问题:39个连续奇数的和是1989,其中最大的一个奇数是多少?(北京小学数学奥赛复赛试题)这是一道求等差数列中最大数的计算题。特点是已知39个连续奇数的和与隐含前后相邻二数的差都等于2(叫做公差),构成等差数列。要求其中最大的奇数是多少。关键是弄清这39个连续奇数的第1个数(首项)不一定是1,熟悉这类等差数列的特征和求某数(某项)的通项公式。特征:①连续奇数中的最大一个数=最末一个数(叫做末项)。②平均数=这列数的和÷数的个数。③等差数列的平均数=这列数的中位数(即处于中心位置的那个数)。公式:要求项=已知项+(要求项序数-已知项序… 相似文献
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幂的运算性质的代数式表示为 :1、ａｍ·ａｎ=ａｍ +ｎ;2、ａｍ÷ａｎ=ａｍ -ｎ;3、(ａｂ) ｍ=ａｍｂｍ;4、(ａｍ) ｎ=ａｍｎ.它们是整式乘除法的基础 ,解答一些与幂的运算有关的问题时 ,我们应注意这些性质的逆向应用。一、计算问题例 1 计算 (- 2 ) 1997+(- 2 ) 1998的结果是 ( ) (1998年长春市初一数学竞赛试题 )Ａ、- 2 1997; Ｂ、2 1997; Ｃ、- 2 ; Ｄ、2 .解 :原式 =- 1·2 1997+2·2 1997 =2 1997(- 1+2 ) =2 1997例 2 计算 (- 0 .12 5 ) 1997× 81998= .(1997年聪明的初二数学竞赛试题 )解 :原式 =(… 相似文献
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严碧友 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):12-14
在三角形的三角函数问题中 ,经常会遇到三个内角、三条边长成等差或等比数列的情形 .下面对这些问题分类进行归纳总结 ,供大家参考 .一、三内角成等差数列求解这类问题 ,关键是抓住Ａ +Ｃ =2Ｂ =12 0°这一条件 ,并注意三角公式的灵活运用 .例 1 △ＡＢＣ中 ,若Ａ ,Ｂ ,Ｃ成等差数列 ,求ｃｏｓ2 Ａ +ｃｏｓ2 Ｃ的最小值 .分析 :因Ａ ,Ｂ ,Ｃ成等差数列 ,故Ａ +Ｃ =2Ｂ =12 0° .∴ ｃｏｓ2 Ａ +ｃｏｓ2 Ｃ =1+ｃｏｓ2Ａ2 + 1+ｃｏｓ2Ｃ2 =1+ 12 (ｃｏｓ2Ａ +ｃｏｓ2Ｃ)=1+ｃｏｓ(Ａ +Ｃ)ｃｏｓ(Ａ -Ｃ) =1- 12 ｃｏｓ(Ａ -Ｃ) .因 - 12 0… 相似文献
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陈金跃 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):11-12
在学习等差数列的过程中 ,我们辨证地来理解等差中项 ,以增强运用等差中项的意识 .一、若a ,A ,b成等差数列 ,则 2A =a+b【例 1】 已知a -1,a ,a2 +1成等差数列 ,求数列 {an}的通项公式an.解 :∵a-1,a ,a2 +1成等差数列 ,∴ 2a =(a-1) +(a2 +1) ,解得a =0或 1.当a =0时 ,a1 =-1,d =1,an =-1+(n -1) · 1=n -2 ;当a =1时 ,a1 =0 ,d =1,an =0 +(n-1) · 1=n-1.【例 2】 设 {an}是递增等差数列 ,前三项的和为 12 ,前三项的积为 48,求该数列的首项a1 .解 :∵等差数列 {an}前三项的和为 12 ,∴a1 +a2 +a3=3a2 =12 ,解得a2 =4.又前三项的积为 4… 相似文献
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华庆富 《语数外学习(初中版七年级)》2011,(9):20-22
有理数的混合运算包含这几个类型:1.加减混合运算;2.乘除混合运算;3.四则混合运算;4.含有乘方的四则混合运算.本文将引领你走进有理数混合运算的天地.一、有理数的加减混合运算例1计算:-(+2.5)-(-414)+3.75-(+912).解析:原式=-2.5+4.25+3.75-9.5=-(2.5+9.5)+(4.25+3.75) 相似文献