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1.
一个应用广泛的不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
设x、y、z是任意实数,A+B+C=π,则x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.(*)证 注意到A+B+C=π,将不等式(*)移项、配方、整理,该不等式等价于(x-ycosC-zcosB)2+(ysinC-zsinB)2≥0.上面不等式显然成立,故不等式(*)成立.不等式(*)揭示了任意三个实数x、y、z与满足条件A+B+C=π的三个角A、B、C的余弦值之间的一个重要关系.在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明.例1 在△ABC… 相似文献
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题如图(1),给出定点A(a,O)(a>O)和直线L:x=-1,B是直线L上的动点,∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.解法1设B(-1,yB),则AB的方程为yyB=x-a-1-a.又kOA=0,kOB=-yB,tg∠BOC=tg∠COA,∴-yB-koc1+kOBkoc=koc.(1)设C坐标为(xc,yc),0<xc<a,则koc=ycxc,代入(1)有yB+ycxcyB·ycxc-1=ycxc.消去yB化简得(1+a)y2c+(1-a)x… 相似文献
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高敏 《中学数学教学参考》1999,(11)
定理 设n∈N,n>2,0<nx<π2,则sinnxsinx>n+3n.(1)证明:n=3时,应用sin3x=3sinx-4sin3x,0<x<π6,从而0<sin2x<14,即知(1)成立.设n=k时,(1)成立,sin(k+1)xsinx>k+1+3k+1sin2(k+1)x>(k+1+3k+1)sin2xsin2(k+1)-sin2x>(k+3k+1)sin2x1-cos(2k+2)x-1+cos2x2>(k+3k+1)sin2xsin(k+2)x·sinkx>(k+3k+1)si… 相似文献
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一道三角竞赛题的推广孙猛(山东省临沂市二中276001)1990年烟台市赛题中有这样一道试题:已知sinx+cosx=1,求证sinnx+cosnx=1.此题的一般形式如下:定理1已知sinx+cosx=a,a∈〔-2,2〕,则有sinnx+cosn... 相似文献
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《中学数学教学参考》1999,(9)
第一试一、选择题1.在△ABC中,若ctgAtgA2+ctgBtgB2+ctgCtgC2≥1,则△ABC的形状是( ).A.任意三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形2.已知x,y∈R,且3x+5y≥3-y+5-x,则x与y满足( ).A.x+y>0 B.x+y≥0C.x+y<0 D.x+y≤03.已知P是正方形ABCD所在空间任一点,则PA2-PD2与PB2-PC2的大小关系是( ).A.PA2-PD2>PB2-PC2B.PA2-PD2<PB2-PC2C.PA2-P… 相似文献
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在解决三角形中有关三角函数的求值问题时,要注意角的范围与三角函数值的联系与影响,通过对内在条件的挖掘,使隐含的条件显露出来。现就一常见类型问题的求解讨论如下:在△ABC中,已知sinA=p,cosB=q,求cosC。显然0<p≤1,-1<q<1。 (一)当p=1时,知B+C=π2,∴cosC=sinB=1-q2; (二)当q=0时,知A+C=π2,∴cosC=sinA=p; (三)当-1<q<0时,知0<A<π2,π2<B<π,∴cosA=1-p2,sinB=1-q2,∴cosC=-q1-… 相似文献
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《中学数学教学参考》1998,(12)
倒数方程的一种解法命题1x=cosθ±isinθ是方程x+1x=2cosθ的解.代入计算即知,且由棣莫佛定理知命题2若x+1x=2cosθ,则xn+1xn=2cosnθ(n∈Z).由此即知形如a0(xm+1xm)+a1(xm-1+1xm-1)+…+a... 相似文献
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1 问题提出《数学通报》1995年第8期问题969题:已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求证:3-3<1-3a2+1-3b2+1-3c2≤6.已见多文对这类问题上界不等式的解法进行探讨〔1〕~〔4〕,但对其下界却少有研究.我们自然要问:其下界的求解方法可否优化?为便于说明,不妨摘抄原文如下:图1对于函数y=1-3x2,它的图像是椭圆3x2+y2=1(x>0,y≥0)在第一象限的部分,是凸的.过A(0,1)、B33,0的直线方程为y=1-3x.对于0<x≤33,有1-3x2>1-3x.∴u=… 相似文献
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LI Gen guo 《上海大学学报(英文版)》1999,3(4):263-269
1 Introduction Considerthemodelx ¨+x(1-x)(x-a)=0,(1)whereaisaconstant.Asa=-1,Eq.(1)reducestotheDuffingequationforthesystemofsoftspringwithoutdampingx ¨+x-x3=0.(2) TheDuffingsystemhasbroadengineeringbackground.Therearepapers[1~4]relatedtothedynamic… 相似文献
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A卷 一、填空题(每小题3分.共42分) 1.()-2的相反数是。 2.用科学计数法表示 0.000073=。 3.分解因式4-X2-y2+2xy=。 4.当x=,的值为0。 5.方程64X2=X的解是。 6.在Rt ABC中,C=90°,a=3,b=4,则sin A=_,cosA=_,tg B=。 7.如果O是ABC的外心,BOC=80,则A=_度。 8.正比例函数y=kx(0)经过A(-1,-2),则函数解析式为y=。 9.计算(- aZ)3·(- a)2=。 10.样本 2、3、6、a的平均数为 3.5,则… 相似文献
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刘文武 《黔南民族师范学院学报》2000,(3)
宋庆先生在《一个新发现的代数不等式》(见数学通讯1999年第6期)一文中得到如下定理及推论: 定理 若x,y,z是正数,则 xn(x- y)+ yn(y-z)+ zn(z-x) ≥(1)其中n≥0;当n≤0时;不等式(1)反向,等号当且仅当x=y=z或n=0时成立 推论若x,y,z是正数,则 xn(y+z-2x)+yn(z+x-2y)+zn(x+y-2z)≤(2)其中n≥0;当n≤0时,不等式(2)反面,等号当且仅当x=y=z或n=0时成立。 本文目的是将不等式(1)与(2)进行推广,得到相应的两个不等… 相似文献
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一种组合数计算的推广形式 总被引:1,自引:1,他引:0
若2是函数f(x)的周期,则有∑n2[]i=0f(x+i)n-ii=12[f(x)+f(x+1)]Fn+13[f(x)-f(x+I)]sinn+1π3,其中数列{Fn}为Fibonacci数列。 相似文献
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有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,简捷地求得问题的解.一、构造“直线模型”例1已知cosα -cosβ= - 23,sinα -sinβ,求cos(α +β)与cosα + cosβsinα + sinβ 的值.解 :因为点A(cosα ,sinα)、B(cosβ,sinβ)在单位圆x2+y2=1上.所以直线AB的斜率KAB= sinα-sinβcosα - cosβ= - 34.设直线AB的方程为 y= - 34x+b ,代入x2+y2=1得 :25x2-24… 相似文献
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复数的三角形式沟通了代数与三角间的联系,从而为用三角知识解决代数问题带来了方便,同样某些三角问题若利用复数知识来解,则别有一番风味.下面试举例说明.1 用复数表示三角函数设z=cosθ+isinθ,则有-z=cosθ-isinθ, z·-z=1.于是可得公式Ⅰ cosθ=z+-z2=z2+12z,sinθ=z--z2i=z2-12iz,tgθ=z2-1i(z2+1).又由zn=cosnθ+isinnθ,zn=cosnθ-isinnθ.因此有公式Ⅱ cosnθ=zn+zn2=z2n+12zn,si… 相似文献
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一、含有绝对值的一次函数的图象例1画出下列各函数的图象.(1)y=12|x|+1;(2)y=|2x+1|+|x-1|.解:(1)原函数可化为y=12x+1,(x≥0),-12x+1.(x<0).因此,原函数图象是由射线y=12x+1(x≥0)和y=-12x+1(x<0)组成的一条折线,转折点是(0,1),如图(1).整个图象关于y轴对称.(2)当x≤-12时,y=-(2x+1)-(x-1)=-3x;当-12<x≤1时,y=2x+1-(x-1)=x+2;当x>1时,y=2x+1+x-1=3x.即… 相似文献
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1引子许多书上都列有这样一道练习题 :设 f(x)=ax2 bx c,那么对 x∈R,恒有 f(x 3) -3f(x 2) 3f(x 1) - f(x)=0(1)解答该题似乎无甚奇妙之处 .然而只要我们仔细观察(1)的结构特征 ,就会发现该习题改写成下面问题 :设 f(x)=ax2 bx c ,n为自然数 ,g(x,n)=Cnnf(x+n)+Cnn-1f(x+n-1)(-1)+ … +Cn1f(x+1)(-1)n-1+Cn0f(x)(-1)n (2)试求 g(x,3)的值 .自然提出 :(A)当 f(x)=ax2 bx c时 ,… 相似文献
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张福庆 《山西教育(综合版)》2000,(2)
一、用于化简求值例1当x=2时,求代数式x+3x2-1·x2-2x+1x2+2x-3的值。解:原式=x+3(x+1)(x-1)·(x-1)2(x+3)(x-1)=1x+1。当x=2时,原式=12+1=13。二、用于方程组例2方程组x+y=5x2-y2=15的实数解共有( )(A)0组; (B)1组;(C)2组; (D)4组。解:∵x2-y2=15,(x+y)(x-y)=15,又x+y=5,∴x-y=3,从而原方程组可转化为x+y=5x-y=3解之得x=4y=1∴应选(B)。三、用于确定待定… 相似文献