方程X_0X/a~2+Y_0Y/b~2=1几何意义的再思考     

程明煦 《中学教研》1988,(6)

学过《平面解析几何》的同学都知道:过椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1上一点P(x_0,y_0)的切线的方程是(x_0x)/a~2+(y_0y)/b~2=1①因(x_0~2)/a~2+(y_0~2)/b~2=1,又可写成(x_0x)/a~2+(y_0y)/b~2=(x_0~2)/a~2=(y_0~2)/b~2②, 一些细心的同学会问:当P(x_0,y_0)点不在椭圆上时,方程①或②的几何意义是什么呢?过椭圆外定点的椭圆的切线能否用方程①或②来表示呢?而少数粗心的同学在解题时没考虑点P的位置,直接套用方程①或②导致错误的情况时有发生。因此,有必要引导学生利用熟知的原理和方法,进行一番较深入的探讨。下面我们给出:  相似文献   

利用圆的均匀压缩求椭圆面积     

吴坚强 《中学数学教学》1981,(4)

将平面上一点P(x_1,y_1),移到新的位置P'(x_1,y_1'),使y_1'=ky_1。这种变换叫做点P向X轴均匀压缩。常数k≠0叫做压缩系数。本文下面取0b>0),可得出椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1。证明如下。设P(x,y)是圆上任意一点,经压缩变换后的对应点是P'(x',y'),则有x'=x,y'=ky=b/a y,由此得y=a/b y',代入x~2+y~2=a~2,得x'~2+a~2/b~2 y'~2=a~2,于是有x'~2/a~2+y'~2/b~2=1,  相似文献   

切线方程X_0X/a~2 Y_0Y/b~2=1的形式推广     

周焕鸿 《中学教研》1991,(1)

平面上的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程为x~2/a~2±y~2/b~2=1、y~2=2px。在其曲线上的点(x_0,y_0)处的切线方程可表示为x_0x/a~2±y_0y/b~2=1、y_0y=p(x x_0)的形式。这种形式与原曲线方程有明显的对应关系,便于记忆,并可以推广到平面上高次曲线。为了便于讨论,我们把平面直角坐标系中3次曲线方程的一般形式表示为  相似文献   

椭圆的中点弦     

青学兵  赵晋  谢在林 《数学教学通讯》1993,(4)

椭圆以某定点为中点的弦并非一定存在,那么,中点弦存在的充要条件是什么?有何应用,本文作下列探讨: 一中点弦方程的一种求法。设椭圆b~2x~2 a~2y~2-a~2b~2=0,(a>0,b>0)…(1) 及定点P_0(x_0,y_0),若以P_0为中点的弦存在,且两端点分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) 则:b~2x_1~2 a~2y_1~2-a~2b~2=0 b~2x_2~2 a~2y_2~2-a~2b~2=0 两式相减整理得: (y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(x_1 x_2)/(y_1 y_2)·b~2/a~2 =-b~2/a~2·x_0/y_0 (x_1≠x_2) 即k=-(b~2x_0)/(a~2y_0),代入点斜式得中点弦方程:a~2y_0y b~2x_0x=a~2y_0~2 b~2x_0~2……(2) 如果x_1=x_2,那么y_0=0,中点弦方程为x=x_0仍包含在(2)中。  相似文献   

园锥曲线参数方程应用的几个例子     

曾家骏  贾国驹 《数学教学通讯》1980,(3)

我们熟知,直线的点斜式方程 y-y_1=k(x-x_1)与参数方程x=x_1 tCosα y=y_1 tSinα(其中 tgα=k)对应,而园锥曲线x~2/a~2 y~2/b~2=1,x~2/a~2-y~2/b~2=1和 y~2=2px分别与参数方程 x=aCost y=bsint,x=aSect,y=btgt,和x=2pt~2 y=2pt 对应。在直线的参数方程x=x_1 tCosα y=y_1 tSinα中,参数 t 有简单明确的几何意义——t 是对应的动点 P(x,y)到定点 M(x_1,y_1)的有  相似文献   

命题一则     

可人 《湖州师范学院学报》1980,(Z1)

在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程是x~2/a~2+y~2/b~2=1 (1)一般方程则为φ(x,y)(?)Ax~2+BXy+Cy~2+DX+Ey+F=0 , (2)其中判别式B~2-4ACO.命题 若P(x_1,y_1)是椭圆(1)的外点,则x_1~2/a~2+y_1~2/b~2>1;若P(x_1,y_1)是椭圆(1)的内点,则x_1~2/a~2+y_1~2/b~2<1,一般地,若P(m,n)是椭圆(2)的外点则φ(m,n)>0若P(m,n)是椭圆(2)的内点则φ(m,n)相似文献   

关于直线与圆锥曲线的位置的判定     

王甫祥  张家国 《中学数学教学》1987,(4)

一条直线和一条圆锥曲线的位置可以有相交、相切或相离三种情况。下面给出在给定一条直线方程和一条圆锥曲线的方程的条件下,判定它们的位置关系的定理。定理一已知直线l:Ax+By+C=0和椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1,若a~2A~2+b~2B~2>C~2则l和E相交;若a~2A~2+b~2B~2=C~2则l和E相切:若 a~2A~2+b~2B~2相似文献   

错在哪里     

《中学数学教学》1991,(6)

1.湖北咸丰李永贵来稿题:过点B(0,-b)作椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的弦;求这些弦的最大值。解设M(x_0,y_0)为椭圆上任一点,由两点间的距离公式可得 |BM|~2=(x_0~2-0)~2 (y_0 b)~2=x_0~2 y_0~2 2by_0 b~2, ①因点M(x_0,y_0)在椭圆上,∴x_0~2=(a~2b~2-a~2y_0~2)/b~2,代入  相似文献   

直线方程yoy=p（x0＋x）的几何意义     

权宽一 《数学教学通讯》2001,(12):44-44

文[1]、[2]、[3]分别给出了直线方程:x_0x y_0y=r~2,(x_0x)/a~2 (y_0y)/b~2=1,(x_0x)/a~2-(y_0y)/b~2=1的3种几何意义,笔者认为直线方程:y_0y=p(x_0 x)(p>0)也有类似的几何意义,而且它揭示了圆及二次曲线内在的一般规律.定理1:若点 P(x_0,y_0)在抛物线 y~2=  相似文献   

错在哪里     

《中学数学教学》1987,(4)

一、北京师大燕化附中史树德来稿题:已知 A={(x,y)|x~2+2y~2-2ax+a~2-2=0},B={(x,y)|y~2-x=0}。在A∩B≠φ的条件下,求实数a的许可值集。解:点集A即椭圆 1/2(x-a)~2+y~2=1 ①点集B是抛物线 y~2=x_0 ②由题意A∩B≠φ,将②代入①并整理得:x~2+2(1-a)x+a~2-2=0 ③方程③必有实根, ∴ 4(1-a)~2-4·(a~2-2)≥0,解得 a ∈(-∝,3/2]。解答错了!错在哪里?  相似文献   

一个二次曲线平行弦中点的轨迹定理及应用     

张赞源 《中学教研》1990,(4)

一阶导数与二次曲线弦中点间存在着一种内在联系,这种联系为解决二次曲线中点弦一类问题开辟了一条较为简捷的路径.本文就以定理形式揭示这种联系并列举应用. 定理:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的以斜率为k的一组平行弦中点轨迹方程是x~2/a~2 yy_x~'/b~2=0(※)(|x|≤a,|y|≤b)其中y_x~'就是平行弦的斜率k,它等于直线(※)与椭圆交点处切线的斜率. 证明:设点P(x_0,y_0)是以k为斜率的弦P_1P_2的中点,点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)  相似文献   

椭圆、双曲线的共轭直径及应用     

程惠才 《中学数学教学参考》1994,(7)

定义:连结椭圆上任意两点的线段叫弦.过椭圆中心的弦叫直径.类似地可定义双曲线的直径.如图1,平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫互为共轭直径.类似地可定义双曲线的共轭直径. 定理1 已知AB、CD为椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的一对共轭直径,其斜率分别为k_(AB)、K_(CD),那么K_(AB)·K_(CD)=-b~2/a~2. 略证:如图1,设平行弦EF簇的斜率为k(即K_(CD)),则平行弦EF簇的方程为 y=kx t(t为参数).① 又椭圆方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1. ② ①代入②整理得 (a~2k~2 b~2)x~2 2a~2tkx a~2(t~2-b~2)=0. ③ 由韦达定理,得x_1 x_2=-(2a~2tk/a~2k~2 b~2). 设M(x′,y′)是EF的中点,则 x′=1/2(x_1 x_2)=-(a~2tk/a~2k~2 b~2) ④ 点M在EF上,则y′=kx′ t. ⑤ 由④、⑤消去参数t得 y′=-b~2/a~2k x′. ∵k_(AB)=k_(OM)=-(b~2/a~2k). ∴k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2k)·k=-(b~2/a~2). 推论1 AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的任意一条弦,P为AB的中点,O为椭圆的中心,则 K_(AB)·K_(OP)=-(b~2/a~2).  相似文献   

直线和椭圆相切的充要条件     

章鵊 《中学数学教学》1982,(2)

我们熟知,直线f(x,y)=0和椭圆F(x,y)=0如果相切,在解方程组{f(x,y)=0 F(x,y)=0过程中得出的一元二次方程的判别式等于零。这就是直线f(x,y)=0和椭圆F(x,y)=0相切的充要条件。我们发现,如果直线方程形式为Ax By=1,椭圆方程形式为x~2/a~2 y~2/b~2=1,那么,直线和椭圆相切的充要条件就是a~2A~2 b~2B~2=1。用这个式子解题往往很方便。下面给出这个式子的证明和应用举例。  相似文献   

有心圆锥曲线切线的一个性质     

刘南山袁平 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):33-34

正笔者在利用几何画板研究有心圆锥曲线的切线时发现一个简洁有趣的性质,现介绍如下:命题1自圆C_1:x~2+y~2=a~2+b~2上任一点P向椭圆C_2:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a,b0)引两条切线,则这两条切线互相垂直.证明:设P点的坐标为(x_0,y_0),自这一点向椭圆C_2引的两切线分别为l_1和l_2.(1)当切线的斜率存在且不为0时,设过P的切线方程为y-y_0=k(x-x_0),由y-y_0=k(x-x_0),x~2/a~2+y~2/b~2=1得(b~2+k~2a~2)x~2+  相似文献   

圆锥曲线的中点弦方程和中点弦长公式     

关忠 《中学数学研究(江西师大)》2008,(8)

设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)两点在椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a>b>0)上,M(x_0,y_0)是AB的中点,则有(?)由③-④得  相似文献   

一脉相承 星火燎原——对两道姊妹题的探究     

林志森 《中学数学研究(江西师大)》2015,(3):32-34

一、从联赛到自主招生,一脉相承题1(2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,若直线PQ在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明:(a~2)/(n~2)+(b~2)/(m~2)=(a~2)/(b~2).题2(2014年华约试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,直线PQ与坐标轴的交点分别为E,F,求AEOF面积的最小值.  相似文献   

直线与椭圆的相关问题     

齐建国 《数学学习与研究(教研版)》2014,(1):74

1.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.判定方法 1利用椭圆上的点到直线的最短距离判定判定方法 2判别式法例1 m为何值时直线y=x+m与椭圆x~2+4y~2=4相交、相切、相离?解将y=x+m代入x~2+4y~2=4中,得5x~2+8mx+4m~2-4=0.  相似文献   

复数运算求轨迹方程例谈     

陈福来 《中等数学》1988,(3)

例1.正△ABC的顶点B坐标为(m,0)(m>a为常数),A点沿椭圆b~2x~2+a~2y=a~2b~2运动,设A、B、C按逆时针排列,求C点轨迹方程。设A,B,C三点分别对应复数x_0+y_0i,m,x+yi,贝BA:(x_0-m)+y_0i,BC:(x-m)+yi。由于BC按逆时针方向旋转π/3即得BA,  相似文献   

每期一题     

于志洪 《中学数学教学》1983,(2)

题:过点A(O,(10)~(1/2))向圆x~2+y~2=5引两条切线,求它们的方程。(统编数学高中第二册121页笫6题。解法一利用过圆上一点的切线方程如图,设过点A(0,(10)~(1/2))的直线一与圆x~2+y~2=5相切于F_1(x_1,y_1),根据过圆上一点求切线方程的公式(请参看统编数学高中第二册121页第5题),得圆的切线方程为x_1x+y_1y=5 ①  相似文献   

直线与圆锥曲线相切的充要条件及其应用     

李万昌 《数学教学通讯》1986,(6)

关于直线与圆锥曲线相切的充要条件有下述定理: 一、直线l:Ax By=1 (A·B≠0)与椭圆C:x~2/a~2 y~2/b~2=1相切的充要条件是 a~2A~2 b~2B~2=1。证明:(1)必要性: 由方程组消去y得关于x的一元二次方程 (a~2A~2 b~2B~2)x~2-2a~2Ax a~2(1-b~2B~2)=0。再由它的判别式等于0,得 a~2A~2 b~2B~2=1。 (2)充分性(略) 推论:直线l:Ax By=1与圆x~2 y~2=R~2相切的充要条件是: (A~2 B~2)·R~2=1 利用推论和平移,不难证明直线Ax By C=0  相似文献