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1.
辩证唯物主义认为事物是普遍联系和变化发展的 ,不能用孤立和静止的观点看世界 ,而应该具体问题具体分析 ,察颜观色、随机应变 .同样在函数单调性的证明上也应坚持此原则 ,下面略举几例加以说明 .1 奇偶函数单调性的证明例 1 试判定函数ｆ(ｘ) =ｌｎ(1+ｘ2 +ｘ)的单调性并给出证明 .分析 对于奇函数或偶函数 ,只需证明此函数在ｘ>0 (或ｘ <0 )时的单调性 ,再借助于奇偶函数的对称性即可给出其对称区间的证明 .证明 1+ｘ2 +ｘ>0 ,函数的定义域为Ｒ .设 0 ≤ｘ1 <ｘ2 ,则有1+ｘ21 - 1+ｘ22 =(1+ｘ21 ) - (1+ｘ22 )1+ｘ21 +1+ｘ22= ｘ21 -… 相似文献
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本刊 2 0 0 2年第 9期刊登了《利用函数ｙ =ｘ 1ｘ 解题举例》一文 .笔者在此再谈谈该函数的性质及其应用 .一、ｙ=ｘ 1ｘ 的性质1 定义域为 (-∞ ,0 ) ∪ (0 , ∞ )2 奇偶性∵ｆ(-ｘ) =-ｆ(ｘ) ∴ｆ(ｘ)为奇函数 .3 .单调性、最值 :ｘ >0时 ,ｆ(ｘ)在ｘ=1时取得最小值 2 ,在区间 (0 ,1 ]上为单调递减函数 ,在 [1 , ∞ )上递增 .ｘ<0时 ,ｆ(ｘ)在ｘ =-1时取得最大值-2 ,在区间 [-1 ,0 )上单调递减 ,在区间(-∞ ,-1 ]上单调递增 .二、应用例 1 (1 996年高考题 )甲、乙两地相距ｓ千米 ,汽车从甲地匀速行驶到乙地 ,速度不得超过ｃ千米 /小… 相似文献
3.
根据函数奇偶性定义易证 :设 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的任一函数 ,则Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) + ｆ(-ｘ)是偶函数 .Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) - ｆ(-ｘ)是奇函数 .这个结论给出了判断函奇偶性的一种新方法 ,即对于定义域中的任一ｘ ,若函数Ｆ(ｘ)能表示成Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) + ｆ(-ｘ) ,则Ｆ(ｘ)是偶函数 ;若函数Ｆ(ｘ)能表示成Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) - ｆ(-ｘ) ,则Ｆ(ｘ)是奇函数 .利用这种方法判断函数的奇偶性 ,关键在于能否将已知函数Ｆ(ｘ)分裂成ｆ(ｘ) ±ｆ(-ｘ)的形式 .这种分裂虽然技巧性较强 ,但对判定一类复合函数却常常较为简便 ,因此这种方法具有一定的实用性 .例 … 相似文献
4.
本文在阐述函数奇偶性的基础上,详尽地论述了学习时应注意的六点内容1.函数定义域M关于原点对称是函数为奇为偶的必要条件;2.关于奇偶函数图象问题奇函数的图象关于坐标原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反之,一个函数图象具备了对称性则一定具有奇偶性。3.既奇又偶的函数是存在的,这就是直线y=0即x轴。4.关于奇(偶)函数的反函数(1)奇函数若有反函数一定是奇函数;(2)偶函数根本不存在反函数。5.关于复合函数的奇偶性,其定义域是关于坐标原点对称的区间。6.在利用函数的奇偶性解求值,等式证明题过程中,要巧妙构造一个具有奇偶性的函数,从而使问题得以解决。 相似文献
5.
陈小鹏 《中学生数理化(高中版)》2006,(11)
在函数问题中,涉及奇偶性与单调性的问题比较多,本文列举几例,意在抛砖引玉,供大家学习与提高．解题策略:运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段．奇函数在对称区间上的单调性相同,且-f(x)=f(-x)．偶函数在对称区间上的单调性相反,且f(x)=f(-x)=f(|x|).例1求解方程(7x+3)5+x5+8x+3=0． 相似文献
6.
函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）的图像关于直线ｙ＝ｘ对称，这是学生都非常熟悉的一个性质，但对它们之间的其它性质却知之不详，或者知而不会用．本文试图通过实例来阐明它们的用法．函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）性质间的关系如下：１．定义域和值域的互换性．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域和值域分别为ｙ＝ｆ－１（ｘ）的值域和定义域．２．同单调性．ｙ＝ｆ（ｘ）在某个区间上是增（或减）函数，则ｙ＝ｆ－１（ｘ）在相应区间也是增（或减）函数．３＊．同为奇函数或同为非奇非偶函数．注意偶函数的定义域若不是｛０｝，则它不存… 相似文献
7.
由奇函数、偶函数的图象定理知 :若ｆ( -ｘ) =-ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于原点对称 ;若 ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ) ,则函数 ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ轴对称 .下面我们研究此结论的推广情况 .1 若 ｆ(ａ -ｘ) =-ｆ(ａ+ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ ,0 )对称 ;2 若 ｆ( -ｘ) =2ａ -ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 ( 0 ,ａ)对称 ;3 若ｆ(ａ-ｘ) =ｆ(ａ +ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ａ对称证明 1 由 ｆ(ａ-ｘ) =-ｆ(ａ +ｘ)得 ,函数ｆ(ａ+ｘ)是奇函数 ,从而函数 ｆ(ａ+ｘ)的图象关于原点对称 ,由此得函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ … 相似文献
8.
杨通曙 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
分母有理化我们都比较熟悉,而分子有理化,也是一种常用的数学方法,应用范围颇广.下面举例说明.一、求函数的单调性例1 求函数ｙ=ｘ+1-ｘ-1的单调性.解:由于该函数的定义域是[1,+∞),并且有ｙ=ｘ+1-ｘ-1=2ｘ+1+ｘ-1,故它在定义域[1,+∞)上是减函数.二、判定函数的奇偶性例2 试判定ｆ(ｘ)=ｌｇ(ｘ2+1-ｘ)的奇偶性.解:易知该函数的定义域为Ｒ.∵ ｆ(-ｘ)=ｌｇ(ｘ2+1+ｘ)=ｌｇ(ｘ2+1+ｘ)(ｘ2+1-ｘ)ｘ2+1-ｘ=ｌｇ1ｘ2+1-ｘ=-ｌｇ(ｘ2+1-ｘ)=-ｆ(ｘ),∴ ｆ(ｘ)=ｌｇ(ｘ2+1-ｘ)是奇函数.三、解证不等式例3 解不等式ｘ+4-7-2ｘ>3(1-ｘ).解:∵ … 相似文献
9.
丁志勇 《中学数学教学参考》2004,(10)
一、选择题1 .函数 f(x) =x2x -1 (x∈R且x≠ 1 )的单调递增区间是 ( ) .A .( -∞ ,0 ]和 [2 , ∞ ) B .( -∞ ,0 ]C .( -∞ ,1 -2 ]和 [2 , ∞ )D .[2 , ∞ )2 .函数 f(x)与 g(x)有相同的奇偶性 ,对定义域中的任何x ,都有 f(x) f( -x) =0 ,g(x)·g( -x)=1 ,且当x≠ 0时 ,g(x)≠ 1 ,则F(x) =2f(x)g(x) -1 f(x) ( ) .A .是奇函数不是偶函数B .是偶函数不是奇函数C .既是奇函数也是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数3 .函数y =x 4 -3x -5 的值域是 ( ) .A .( -∞ ,0 )∪ ( 0 , ∞ ) B .( 0 , ∞ )C .( 0 ,13 ]D … 相似文献
10.
20 0 1年全国高考理工农医类的压轴题是一个典型的函数问题 ,对这一试题的解答没有特别之处 ,但笔者认为 ,发散探究这一试题却妙趣横生 .试题 :设ｆ(ｘ)是在定义Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ =1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(1 )求ｆ 12 及ｆ 14;(2 )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(3)记ａｎ =ｆ2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .下面对该题进行发散探究 .一、题设与结论的分析1 .题设分析本题题设包括 :(1 )函数的奇偶性 ;(2 )函数的对称性 ;(3)某区间上的函数模型及确定该函… 相似文献
11.
梁正福 《成都教育学院学报》1999,(2)
奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇且偶的函数都是存在的。如何正确判断函数的奇偶性呢?本文介绍几种方法。 一、定义法: 根据定义判断函数的奇偶性,首先看函数的定义域是否是关于数轴原点的对称域,然后验证f(x)±f(-x)=0,或是否成立,进而判定函数f(x)的奇偶性。 相似文献
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一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是ｙ =ｆ-1(-ｘ) ,则 ( ) .(Ａ)ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ)ｙ=ｆ(ｘ)是偶函数(Ｃ)ｙ=ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数图 12 .二次函数ｆ(ｘ)=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图像如图 1所示 .记Ｎ =|ａ +ｂ +ｃ |+|2ａ -ｂ|,Ｍ =|ａ -ｂ +ｃ |+|2ａ +ｂ|.则 ( ) .(Ａ)Ｍ >Ｎ (Ｂ)Ｍ =Ｎ(Ｃ)Ｍ <Ｎ (Ｄ)Ｍ、Ｎ的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内 ,任意画一条直线 ,则与它异面的正方体的棱的条数是 ( )… 相似文献
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函数的单调性是函数的一个重要性质 ,在高考中几乎年年考查 ,而且 1 995年和 2 0 0 0年高考对函数单调性的考查 ,改变了命题形式 ,通过引入字母参数 ,采用逆问题的形式创设了新的情景 ,突出了能力考查。下面归纳整理了几种解决函数单调性的逆问题的常用方法。1 定义法据定义 ,函数 ｆ(ｘ)在区间Ｂ上是单调函数是指差式 ｆ(ｘ1) -ｆ(ｘ2 )在区间Ｂ上恒正或恒负。因此 ,已知含参数ａ的函数 ｆ(ｘ)在区间Ｂ上是单调函数 ,求ａ的取值范围 ,等价于寻求使差式 ｆ(ｘ1) -ｆ(ｘ2 )恒正或恒负的充要条件。例 1 ( 2 0 0 0年全国高考理 (理 )第 1 9… 相似文献
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函数的单调性、奇偶性和周期性是函数的重要核心内容 ,也是高考重点测试内容之一 .纵观近几年来高考题中有关函数的三性的考题 ,既有客观题 ,也有主观题 ;既有基础与中等题 ,也有综合性的难题 ;不仅考查知识 ,也考察能力 ,特别有一些试题 ,新颖独特 ,解法灵活 ,对中学数学教学产生了好的导向作用 .一、单调性一般地 ,若ｕ=ｇ(ｘ)为区间Ｍ上的单调函数 ,其值域为Ｎ ,ｙ =ｆ(ｘ)为Ｎ上的单调函数 .则复合函数ｙ =ｆ(ｇ(ｘ) )在Ｍ上是单调函数 ,复合函数ｙ=ｆ(ｇ(ｘ) )的单调性与函数ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的单调性的关系如下表所示 (其中增函数简记为… 相似文献
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题目 判断函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 的奇偶性 .不少学生是这样解答的 :ｙ =1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ=2ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 2ｓｉｎ2 ｘ22ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 2ｃｏｓ2 ｘ2=2ｓｉｎ ｘ2 (ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 )2ｃｏｓ ｘ2 (ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 )=ｔｇ ｘ2 .∵ｆ(-ｘ) =ｔｇ(- ｘ2 ) =-ｔｇ ｘ2 =- ｆ(ｘ) ,所以函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 是奇函数 .初看 ,解答正确 ,其实结论是错误的 ,原函数既非奇函数也非偶函数 .之所以会产生这种情况 ,究其原因 ,一方面… 相似文献
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秦永 《中学数学教学参考》1999,(10)
函数是高中数学教学的主线内容,应用函数的性质和函数观点解题,体现了一种解题策略：即将静态的数学问题放到一个动态的过程中去考察,将局部的放置于整体的环境中来解决．一、基本性质１．函数图象的对称性（１）奇函数与偶函数．奇函数的图象关于坐标原点对称,对任意ｘ∈Ｄｘ,都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）成立;偶函数的图象关于ｙ轴对称,对任意ｘ∈Ｄｘ,都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）成立．容易得知：奇函数、偶函数的定义域Ｄｘ必然关于坐标原点对称．（２）原函数与其反函数．原函数与其反函数的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．若某一函数与… 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1.已知ｘ、ｙ是两个不等的正数 ,则Ａ =ｘ2 +ｙ22- ｘ +ｙ2 ,Ｂ =ｘ +ｙ2 -ｘｙ ,Ｃ =ｘｙ - 21ｘ + 1ｙ的大小顺序是 ( ) .(Ａ)Ａ >Ｂ >Ｃ (Ｂ)Ａ >Ｃ >Ｂ(Ｃ)Ｂ >Ａ >Ｃ (Ｄ)Ｂ >Ｃ >Ａ2 .函数ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ =ｇ(ｘ)有相同的定义域 ,对定义域中任何ｘ ,有ｆ(ｘ) +ｆ(-ｘ) =0 ,ｇ(ｘ)ｇ(-ｘ)= 1,且当ｘ≠ 0时 ,ｇ(ｘ)≠ 1.则Ｆ(ｘ) =2ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) - 1+ｆ(ｘ)是 ( ) .(Ａ)奇函数 (Ｂ)偶函数(Ｃ)既是奇函数又是偶函数(Ｄ)非奇非偶函数3 .已知ａ、ｂ为非零常数 .若Ｍ =ａ… 相似文献
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函数是中学数学的重点内容,研究函数的单调性则是函数问题的一个主要课题。把分散在教材各个部分的面广量大的讨论函数单调性的命题和结论巧妙地归纳起来,从中提炼出更具有代表性的基本结论,这是帮助学生加深对函数单调性的理解,增强解题能力的重要途径。本文以“奇、偶函数的单调性”的讨论为例,谈谈我在归纳、提炼过程中的做法。我们约定,如果函数y=f(x) 在所讨论的两个区间M_1和M_2上都是递增(减)的,则称函数在这两个区间上有同向单调性;反之,则称函数在这两个区间上有异向单调性。由此,可得到如下两个很有实用价值的基本结论。结论1.若函数y=f(x)为奇函数,则它在定义域内关于原点对称的两个区间M_1和 相似文献
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构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一 利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1 已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明 令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 … 相似文献