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数学思想常蕴含在基础知识和基本技能中,在运用勾股定理时,若能把握其中的数学思想方法,则可使解题思路开阔,方法简便快捷,下面介绍勾股定理中蕴含的常用数学思想方法.
一、方程思想
例1 如图1,有一直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线折叠,使它落在斜边AB上,且点C落到E点,则CD等于() 相似文献
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勾股定理是初中几何的一个重要定理,它主要是用于求直角三角形的边长;而其逆定理则是用于判定一个三角形中的某一个角是直角.由此看来,勾股定理与其逆定理在应用上有着很大的不同,然而却有不少的几何问题必须非要应用两者“联手”来解决不可,现略举几例说明.一、先用勾股定理再用其逆定理解题1.求证三角形中的某一个角是直角例1如图1,已知△ABC中,AD是BC边上中线,AB=AD=1,AC=5,求证∠BAD是直角.证明:作AE垂直BC于E.因为AB=AD=1,所以BE=ED.设ED=x,则BD=DC=2x,EC=3x,在Rt△AED中,由勾股定理得AE2=AD2-ED2=1-x2,同理在Rt△… 相似文献
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数学思想是数学知识的灵魂,是解题的金钥匙.在利用勾股定理解题时,要注意结合利用一定的数学思想.现举例介绍如下:
一、方程思想
例1(宁波市中考题)如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=9,BD=4,则AC=____.
分析:显见,△ABC、△ACD、△BCD都是直角三角形.从Rt△ACD入手,要求AC的长,关键在于求CD的长.先用CD的代数式分别表示AC和BC,再根据AC、BC和AB之间的平方关系,能构造一个关于CD的方程. 相似文献
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王占军 《华夏少年(简快作文 )》2007,(5)
新课程理念下创新教学设计要有利于开发学生的智力,培养学生的能力,有利于发展学生思维的广阔性、灵活性和创造性,有利于促进学生思维能力的发展和素质的提高,而要达到这一目的,在教学设计中应用与拓展这一环节上设计一题多解,课堂上让学生探索、研究、交流、不失是一种好方法:如我在九年级的复习备考中就设计了这样一个题目:如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6,BC=8,将直角边AB折叠,使它们落在斜边AC上,折痕为AD,求BD的长。解法(一),(方程法):解:由勾股定理,得AC=10又由折法知RtΔAED≌RtΔABD∴AE=AB=6,ED=BD。∴CE=AC… 相似文献
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朱元生 《中学课程辅导(初二版)》2006,(3):22-22
直角三角形是一种特殊的三角形,它具有许多重要性质,特别是勾股定理及其逆定理在初中数学中有着广泛的应用,因此根据问题的图形特征,添加适当的辅助线,巧妙构造直角三角形,往往能够迅速找到解题途径.现略举几例解析如下:例1如图1,△ABC是边长为2的正三角形,E是AB边的中点,延长BC至D,使CD=BC,连接ED,求ED的长.解:连接AD,因为AC=CD,所以△ACD是等腰三角形,所以∠ADB=∠DAC,因为∠ACB=∠ADB ∠DAC,而∠ACB=60°,所以∠ADB=30°,又∠B=60°,所以∠BAD=90°,则△BAD是直角三角形,所以AD2=BD2-AB2=42-22=12,在Rt△EAD中… 相似文献
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三角形的面积 :S=底×高 ÷ 2 .应用面积关系图 1求解 ,有时可使解题简章明了 .1 利用面积的不变性解题例 1 如图 1,在Rt△ABC中 ,∠C =90° ,AC =4 ,BC =3,CD ⊥AB于D ,求CD .解析 在Rt△ABC中 ,由勾股定理得 ,AB =5,而S△ABC =12 BC·AC =12 AB·CD ,即BC·AC =AB·CD ,故CD =BC·ACAB =2 .4 .结论 1 直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边的商 .例 2 (《几何》第二册第 2 4 8页B组第 2题 )如图 2 ,矩形ABCD中 ,AB =a ,BC =b ,M是BC的中点 ,DE ⊥AM ,E是垂足 ,求证DE =2ab4a2 +b2 .解析 根… 相似文献
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20 0 3年数学科高考文科卷中 ,有下面一道采用类比思考而作答的创新试题 :题 在平面几何里 ,有勾股定理 :“设△ABC的两边AB、AC互相垂直 ,则AB2 +AC2 =BC2 。”拓展到空间、类比平面几何的勾股定理 ,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是 :“设三棱锥A -BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直 ,则。”解 因为三棱锥A -BCD中三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直 ,所以三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直。作AH⊥平面BCD于H ,连DH交BC于E ,则易知AE⊥BC ,且DE⊥BC ,于是cos∠AED =HEA… 相似文献
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数学思想是数学的“灵魂”,总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识,提高独立分析问题和解决问题的能力,现把与勾股定理有关的数学思想总结如下：一、方程思想例1如图1．有一张直角三角形纸片ABC,两直角边AC=5 cm,BC=10cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为( )。 相似文献
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吴健 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):21-21
与角平分线有关的几何问题在各类考试(竞赛和中考)中屡见不鲜,解决这类问题时,若能通过巧添辅助线构造全等三角形常可使问题化难为易.例1如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠ABC的度数是(江苏省初中数学竞赛题)()A.45°B.60°C.75°D.90°解:延长AB到E,使AE=AC,连接DE,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS).∴∠E=∠C=30°.又AE=AB BE,AC=AB BD,∴BE=BD.从而∠3=∠E.∴∠ABC=2∠E=60°.故选:B.反思:若在AC上截取AF=AB,同学们考虑怎样证明?例2如图,已知在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的… 相似文献
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结论如图1,C是线段AB上的一点,D是CB的中点,则AB AC=2AD.证明AB AC=(AC CB) AC =2AC 2CD=2AD.这个结论简单易懂,恰当地应用对解题帮助很大,请 相似文献
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一、填空题 1、如果7:9=(3-x):2x,则x=___. 2、己知点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC和BC上,且DE∥BC,EF∥AB,AD:BD=2:3,BC=20cm,则BF=__. 3、如图,△ABC中,DE∥AC,则AB:BD=__. 4、Rt△ABC 中,CD是斜边上的高, AC/BC=2/3,则AD/DB=__. 相似文献
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安义人 《中学课程辅导(初二版)》2006,(3):23-23
直角三角形的直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2,这就是我们熟知的勾股定理,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.灵活巧用它,可使几何问题的解决变得简捷.例1如图1,已知AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰直角三角形,CD=8,BE=3,则AC的长为()A.8B.5C.3D.&!34(2004年湖北省初中数学竞赛试题)解:依题意,AB=DB,BC=BE.∵BE=3,CD=8,∴BC=3,DB=5,AB=5,∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2∴AC=!AB2+BC2&=&!34.例2如图2,AC=10,BC=17,CD⊥AB于点D,CD=8,求△ABC的面积.(2002年北京市初二数学竞赛试题)解:在△ABC中,∵CD… 相似文献
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基础篇课时一 直线、射线、线段诊断练习一、填空题1.看图1填空:点C不在直线上;点在直线AC上;直线相交于点B.图1图22.如图2,直线AB、CD相交于点E,F是AB上另一点,图中直线有条;线段有条;以这些点为端点的射线有条.3.如图3,C、D是线段AE上两点,B为AC中点,则AC=( )BC=( )-( )=( )-( )-( ).图34.已知线段AB,延长AB到C,使AC=3BC,反向延长AB到D,使AD=32AB,则CD是AB的倍,BC是DB的.二、选择题(只有一个答案正确):1.下列说法中正确的是( )(A)直线A、B相交于点C.(B)直线ab与cd交于点E.(C)直线a,b有公共点… 相似文献
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圆是一种基本图形,也是一种重要的辅助线.在一些有关三角形和多边形的问题中,若能作出三角形或多边形的外接圆,并恰当利用圆的性质,可使解题过程简化. 一、题目中有过同一点的三条线段相等的条件时,一般可作辅助圆例1如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=a,BC=b,求BD的长.分析:题目中有过A点的三条线段AB、AC、AD相等的条件,可考虑过B、C、D三点作辅助圆.解:以A为圆心,a为半径作圆,延长BA交⊙A于E,连结DE.∵AB=AC=AD=a,∴B、C、D均在⊙A上.∵AB∥CD,∴DE=BC.∴DE=BC=b.又∵BE是⊙A的直径,∴由勾股定理,得… 相似文献
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由课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著,人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册·教师教学用书》第248页拓展性问题5为:题如图1,在直角梯形ABCD中,AB=BC=4,E为BC边上一点,且∠EAD=45°,ED=3,求△AED的面积.《教师教学用书》的解为:如图2,过A作AF∥BC交CD的延长线于F点,因为AB=BC,所以四边形ABCF是正方形,将△AFD绕点A顺时针旋转90°至△ABG,所以G、B、C三点共线,AD=AG.因为∠EAD=45°,所以∠GAE=∠EAD=45°,从而△AED≌△AEG(SAS),所以EG=ED=3(注:原写为EF=ED=3,估… 相似文献
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第五届“希望杯”全国数学邀请赛初二决赛第三题1小题是:如图,五边形ABCDE中,AB一AE,BC DE一CD,艺BAE一艺BCD=1200,/ABC 乙AED-180。,连接AD,求证:AD平分匕CDE. 以下证明可见该题条件匕BAE一乙BCD一1200是多余的: 证明:延长CB到F,使 BF一刀E,连结AC、AF, 乙ABF一1 800一艺ABC一匕AED AB~AE.…△ABF里△AED(sAs) 艺F~艺ADE,AF一AD, 又.:CF一CB BF~CB DE一CD, AC一AC.:.△ACF望△ACD(555) 艺F一艺ADC.匕ADE一艺ADC. 即AD平分艺CDE. 刊在《中学数学研究》94年第10期上的解答中,为了利用匕BAE… 相似文献
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勾股定理是初中数学中重要的定理之一,应用十分广泛.学习勾股定理时,一定要正确理解定理的内容,记清定理成立的条件,区别定理与逆定理,只有这样,才能在解题时恰当地运用.1.已知图形中有直角时,可考虑选用勾股定理例1如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=AB CFDEO图1AB PDC图2AB CQP图36,BC=8,将纸片折叠,使得A、C两点重合.求折痕EF的长.解析:连结AC交EF于点O,连结CF.因为A、C两点关于折痕EF对称,所以折痕EF是线段AC的垂直平分线,从而CF=AF.在矩形ABCD中,因为AB=6,BC=8,所以AC=$AB2 BC2=10.所以OA=OC=5.在Rt△CDF中,由勾… 相似文献