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空间角与距离既是立体几何的重点,也是学习的一个难点,本文结合2007年高考试题,展示空间角与距离的常用方法,希望对同学们的高考复习有所启示.异面直线所成的角【例1】(2007年高考全国卷Ⅰ第7题)如右图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.51B.52C.53D.54分析1以D1为角的顶点,连结CD1,利用平行四边形A1BCD1平移直线A1B.解法1:由题意设AB=a,则AA1=2a,如右图,连结CD1、AC,则由A1D1CB为平行四边形得CD1与A1B平行且相等,∠AD1C(或其补角)为两异面直线所成的角.在△AD1C中,AC=2a,AD1=5a,D1C=5a,∴由余弦定理得cos∠AD1C=2(5a)2-(2a)22×5a×5a=180aa22=54.∴选D.分析2以B为角的顶点连结BC1,利用平行四边形ABC1D1平移直线AD1.解法2:如右图,连结BC1、A1C1,则由AB∥C1D1且AB=C1D1知ABC1D1为平行四边形,∴BC1∥AD1,∴∠A1BC1(或其补角)是异面直线A1B与AD1所成的角,在△A1BC1中,易求得cos∠A... 相似文献
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《数学教学通讯》2007,(Z2)
一、选择题1·在下列关于直线l1,l2与平面α、β的命题中,真命题的是()(A)若l1β且α⊥β,则l1⊥α.(B)若l1⊥β且α∥β,则l1⊥α.(C)若l1⊥β且α⊥β,则l1∥α.(D)若α∩β=l2,且l1∥l2,则l1∥α.(第2题)2·如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点D、E分别是棱AB,BB1的中点,则直线DE与BC1所成的角是()(A)45°.(B)60°.(C)90°.(D)120°.3·二面角α-l-β的平面角为120°,A、B∈l,ACα,BDβ,AC⊥l,BD⊥l,若AB=AC=BD=1,则CD等于()(A)2.(B)3.(C)2.(D)5.4·空间四边形ABCD,AC=AD,∠BAC=∠BAD=3π,… 相似文献
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一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知α、β是平面,m、n是直线,下列命题中不正确的是A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m∥α,α∩β=n,则m∥nC.若m⊥α,m⊥β,则α∥βD.若m⊥α,m*β,则α⊥β2.将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角,点C到达点C1,这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是A.%22B.21C.%43D.343.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是%2、%3、%6,这个长方体对角线的长为A.2%3B.3%2C.6D%6.4.已知l、m、n是直线,α、β是平面,下列命题中是真命题的是A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.设α—l—β是直二面角,若m⊥l,则m⊥βC… 相似文献
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题目如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,°PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.图1(Ⅰ)求证:PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角.(Ⅱ)别解1(直接法)由题意知,MN∥BC,所以可作平行四边形CBN O,如图1.因为BN⊥平面DANM,所以CO⊥平面DANM.连DO,则∠CDO就是CD与平面ADMN所成的角.设AB=2.在R t△CDO中,CO=BN=2,CD=5,所以sin∠CDO=COCD=105.所以CD与平面ADMN所成的角的大小为∠CDO=arcsin105.说明要确定线CD在面ANMD上的射影,首先要找有关点在面上的射影,注意到… 相似文献
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如图1,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD(或AC⊥CD),这样的三棱锥又称为直角锥,设AB=a,BC=b,CD=c,记异面直线AD与BC所成的角为a,AD与BC间的距离为d,则(Ⅰ) (Ⅱ) 证明是容易的,这里略去。 相似文献
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求异面直线间的距离是中学数学教学的一个难点。笔者在教学实践中,用公式h=(absinθ)/(a~2+b~2-2abcosθ)~(1/2)求异面直线间的距离,思路清晰,方法简捷,便于学生掌握。如图1,设异面直线 m、n,A、B∈m,A、n确定平面α,B、n 确定平面 B,α∩β=n.过 B 作 BC∥n,在α内,作 AD⊥n 于 D,在β内作 DC⊥n 于 D,BC∩DC=C,连 AC, 相似文献
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李昭平 《数学大世界(高中辅导)》2005,(3):2-3,8
一、选择题(每小题5分,合计60分)(1)教室内有一把直尺,无论将它怎么放置,在地面上总有直线与直尺所在直线( )(A)垂直 (B)异面(C)相交 (D)平行(2)三个平面不可能将空间分成 ( )(A)4部分 (B)5部分(C)7部分 (D)8部分(3)如果把两条异面直线看成“一对”,那么在正方体的十二条棱中,共有异面直线( )(A)48对 (B)32对(C)24对 (D)16对(4)已知直线m、n和平面α,则 m∥n的一个必要而非充分的条件是 ( )(A)m∥α, n∥α (B)m⊥α, n⊥α(C)m∥α, n α(D)m、n与α成等角(5)已知正四面体ABCD的棱长是1,点E、F分别是AD、D… 相似文献
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《中学数学月刊》2004,(3):44-49
直线、平面 简单几何体1 .空间两直线 l,m在平面α,β上射影分别为 a1,b1和a2 ,b2 ,若 a1∥ b1,a2 与 b2 交于一点 ,则 l和 m的位置关系为 ( ) .(A)一定异面 (B)一定平行(C)异面或相交 (D)平行或异面图 12 .在直二面角α- MN -β中 ,等腰直角三角形ABC的斜边 BC α,一直角边 AC β,BC与β所成角的正弦值为 64 ,则 AB与β所成的角是 ( ) .(A) π6 (B) π3 (C) π4 (D) π23.二面角α- l-β是直二面角 ,A∈α,B∈β,设直线AB与α,β所成的角分别为∠ 1和∠ 2 ,则 ( ) .(A)∠ 1 ∠ 2 =90° (B)∠ 1 … 相似文献
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例题在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角.解(平移法)设A1C1与B1D1交于O点,取B1B的中点为E,连接OE,如图1所示.因为OE∥BD1,所以∠C1OE或其补 相似文献
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刘国平 《数学爱好者(高二版)》2007,(2)
习题:如图1,正三棱柱的底面边长是4cm,过BC的一个平面与底面成30°的二面角,交侧棱AA′于D,求AD的长和截面△BCD的面积.分析关键是截面与棱AA′的交点D的确定及二面角D-BC-A为30°的应用.解取BC的中点E,分别连结DE和AE,有DE⊥BC,AE⊥BC,在Rt△DEA中,∠DEA=30°.因为AE=$23×4=2$3(cm),所以AD=AEtan30°=2(cm),所以DE=2AD=4(cm).所以SΔBCD=21BC·DE=8(cm2).探究1改变本题条件,可得变式1.变式1正三棱柱的底面边长是4cm,侧棱长为6cm,过BC的一个平面与底面成θ角(θ为锐角),求此平面被三棱柱所截的截面面积.解析确定截… 相似文献
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张桂林 《数理化学习(高中版)》2006,(Z1)
在立体几何的复习中,倘能在正确掌握基础知识和基本技能的同时,讲究一些解题技巧,常可获事半功倍之效·一、平移我们知道两条平行直线和一条直线或一个平面成等角,这就为平移提供了用武之地·平移可以使分散的条件集中,可以使立体几何问题迅速向平面几何问题转化·例1如图1,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,P为AA1的中点,O为底面ABCD的中心,求PO与截面C1BD所成的角·解:连结A1C、AC,因为P、O分别为AA1、AC的中点,所以PO∥A1C·因为AA1⊥底面ABCD,所以A1C在底面ABCD的射影为AC·又因BD⊥AC,所以BD⊥A1C·同理BC1⊥A1C·… 相似文献
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题目如图1所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AB=1,BB1=!3 1,E为BB1上使B1E=1的点.平面AEC1交DD1于F,交A1D1的延长线于G.求:(1)异面直线AD与C1G所成角的大小;(2)求二面角A—C1G—A1的一个三角函数值;(3)求直线A1G与平面AC1G所成的角的一个三角函数值.思路分析一根据空间角的定义 相似文献
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李松林 《数理天地(高中版)》2002,(6)
1.概念不清例1 若空间四边形ABCD中,E、G、F分别为AD、DB、BC的中点,∠EGF是异面直线AB与CD所成的角吗?为什么?错解因为E、G、F分别为图1AD、DB、BC的中点,所以EG∥AB,GF∥DC,故∠EGF是AB与CD所成的角.剖析对异面直线所成角的概念只注意了平行条件而忽略了角的允许值范围,根据定义直线EG和FG所夹的锐角(或直角)才是AB与CD所成的角,而题中没有给出∠EGF的范围,故不能确定该角是否为AB与CD所成的角. 相似文献
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一、中点例１如图１，已知正方体ABCD－A１B１C１D１中，E、F分别是BB１、CD的中点，求证：面AED⊥面A１D１F．分析因为E、F分别是BB１、CD的中点，所以运用AB、CC１的中点G、M，扩展平面A１D１F与平面AED，容易发现两垂直平面间的关系．易证AE⊥A１D１，AE⊥A１G，从而AE⊥面A１D１F，故面AED⊥面A１D１F．例２如图２，已知三棱柱ABC－A１B１C１中，M、N分别是BC和A１B１的中点．求证：MN∥平面AA１C１C．分析取AB的中点G，连结NG、GM，易证平面MNG∥平面AA１C１C，从而MN∥平面AA１C１C．二、射影… 相似文献
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例1 （2013年江苏卷）如图1,在直三棱柱A1B1C1-ABC 中,AB ⊥AC,AB=AC=2,AA1 =4,点D是BC的中点.
（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值. 相似文献
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一求异面直线的夹角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,AE⊥PD于E,PD与底面成30°角.求异面直线AE与CD所成的角.分析:如图1建立空间坐标系.依题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).在Rt△ADE中,∵∠PDA=30°,∴ED=3姨a,作EF⊥AD于F,则EF=3姨2a.在Rt△AEF中,AF=12a,∴E(0,12a,3姨2a).∴cos〈AE,CD〉=AE·CDAECD=2姨4.则异面直线AE与CD所成角的大小为arccos2姨4.点评:本题关键在于求E点坐标,进而求AE的坐标表式以便应用空间向量的夹角… 相似文献
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<正>1试题回顾2014年高考数学安徽卷理科第20题如下:图1如图1,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC,过A1、C、D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.(Ⅰ)证明:Q为BB1的中点;(Ⅱ)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;(Ⅲ)若A1A=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成二面角大小.2试题评析试题以学生熟悉的棱柱为载体,主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识.同时考查了学生的空间想象能力和推 相似文献
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空间角与距离既是立体几何的重点,也是学习的一个难点,本文结合2007年高考试题,展示空间角与距离的常用方法,希望对同学们的高考复习有所启示.异面直线所成的角【例1】(2007年高考全国卷Ⅰ第7题)如右图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A 相似文献
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一、选择题(每小题5分,共50分)1.下列命题中,正确的是A.若直线a,与直线l所成的角相等,则a∥b b B.若直线a,与平面α成相等角,则a∥b b C.若平面α,β与平面γ所成的角均为直二面角,则α∥βD.若直线a,在平面α外,且a⊥α,⊥b,则b∥αb a2.已知空间四边形ABCD,M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则A.1相似文献