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数学竞赛中常常会遇到含有多层根号的根式 .一般的说 ,这类根式都能通过化简最终化为单一根号的根式或不带根号的式子 .一、多层二次根式的化简化简含有多层二次根号的根式 ,一般有两种思路 :(一 )对根号下的式子进行配方 ,变为完全开方式如果是 a± 2 b的形式 ,设法找到两个有理数 x、y,使 x + y =a,xy =b,则a± 2 b =( x + y)± 2 xy =( x ) 2± 2 xy + ( y ) 2 =( x± y ) 2 =| x± y | ( x >y >0 )如果是 a± b的形式 ,可如下变形a± b =2 a± 2 b2= 2 a± 2 b2再用上述方法化简 .比如 ,化简 ( 1) 3+ 2 2 ;( 2 ) 2 - 3.解 :( 1)原式 =( … 相似文献
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分母有理化是二次根式化简的常用方法 .但这种方法有时候却显得繁难 ,或者无能为力 ;而我们常可从根式的结构特征入手 ,巧妙变形 ,则可以收到“曲径通幽”之效 .现提供二次根式“瘦身”十二法 ,供同学们参考 .一、定义法例 1 化简 :a -1a.解 由算术根的定义知 : -1a >0 ,即a<0 .原式 =-( -a) -1a=-a2 · -1a=--a.二、公式法例 2 化简 :5+ 2 6 + 5-2 6 .解 ∵ 5+ 2 6 =( 3+ 2 ) 2 , 5-2 6 =( 3-2 ) 2 .∴原式 =( 3+ 2 ) 2 + ( 3-2 ) 2=3+ 2 + 3-2=2 3.三、拆项法例 3 化简 :6 + 4 3+ 32( 6 + 3) ( 3+ 2 ) .解 原式 =( 6 + 3) +… 相似文献
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薛建科 《山西教育(综合版)》2003,(8)
二次根式的化简 ,是现行教材中的重点及难点之一 ,也是中考中常见的题型。要求学生能根据各类题目本身的特点 ,采取灵活的解题技巧。一、约分例 1.化简 33- 2 6(2 - 2 ) 2 。解 :原式 =33- 2 6(6 - 42 )=3(3- 2 2 )2 (3- 2 2 )=32 。二、逆用法则例 2 .化简 5 + 33+ 42(5 + 2 ) (3+ 2 )。解 :原式 =5 + 33+ 32 + 2(5 + 2 ) (3+ 2 )=13+ 2+ 35 + 2=5 + 3- 2 2。三、先平方 ,再开方例 3.求 2 + 61+ 3的值。解 :令 a=2 + 61+ 3,则 a2 =8+ 434+ 2 3=2 ,∵ a>0 ,∴原式 =2。四、配方例 4 .化简 2 63+ 2 - 5。解 :原式 =(2 ) 2 + 2 6 + (3) 2 - (5… 相似文献
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二次根式 a中的 a具有非负性 ,灵活运用这一属性能够巧妙地解决二次根式的计算求值等问题 .现列举实例 ,进行介绍 .一、化简例 1 化简 - a3 - a2 - 1a =.解 :由 - a3≥ 0 ,且 a≠ 0知 :a <0 ,∴原式 =- a - a + a - a =0 .二、计算例 2 计算 a 16 a + 3a3 - 12 a2 4a.解 :由 a3 ≥ 0且 a≠ 0知 :a >0 ,∴原式 =4 a a + 3a a - a a=6 a a .例 3 计算 2 0 0 1- a + a - 2 0 0 1+2 0 0 1a + a2 0 0 1.解 :由 2 0 0 1- a≥ 0 ,且 a - 2 0 0 1≥ 0 ,知 :a =2 0 0 1,当 a =2 0 0 1时 ,原式 =2 0 0 1+ 1=2 0 0 2 .三、求值例 4 已知实数 a满足 … 相似文献
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马霞霞 《山西教育(综合版)》2004,(20):27-27
学习“二次根式”,要把握好本章的学习重点,处理好“二次根式”的概念、性质、运算的关系,要科学地安排训练的内容,提高运算的效率,以更好地培养运算能力。一、熟悉知识结构二、把握“二次根式”性质和数学思想方法(一)性质①(樤a)2=a(a≥0)②樤ab=樤a·樤b(a≥0,b≥0)③a樤b=樤a樤b(a≥0,b>0)④a樤２＝｜a｜=a(a≥0)-a(a<0{)(二)数学思想方法1.二次根式的运算训练中,渗透转化的思想。2.通过对a樤２＝｜a｜的化简,进一步渗透分类讨论的思想。三、弄清训练目的,搞活训练方法1.算术根的双重非负性:樤a(a≥0)≥0。例:化简x2-2x+樤１（x≤1)分析… 相似文献
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王永刚 《山西教育(综合版)》2003,(2):15-16
1.分母有理化例 1.化简 16 - 2。解 :原式 =6 + 2(6 - 2 ) (6 + 2 )= 6 + 24 。〔说明〕:利用分母有理化化简二次根式的关键是准确地找出分母的最简化有理因式 ,再利用分式的基本性质运算。2 .运用公式法例 2 .计算 :(2 + 3-6 ) (2 - 3- 6 )。解 :原式 =〔(2 - 6 )+ 3〕·〔(2 - 6 ) -3〕 =(2 - 6 ) 2 -( 3) 2 =8- 4 3- 3=5 -4 3。〔说明〕:二次根式的乘除运算 ,要根据题目的特点 ,充分利用乘法公式 ,使计算过程简化。3.拆项法例 3.计算1+ 2 3+ 5(1+ 3) (3+ 5 )。解原式 =(1+ 3) + (3+ 5 )(1+ 3) (3+ 5 )=13+ 5+ 11+ 3=5 - 32 + 3- 12 =5 - … 相似文献
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基础篇课时一 根式的概念诊断练习一、填空题1.当 x时 ,| x| - 1有意义 .2 .若 x - y + 3+ ( x + y - 1) 2 =0 ,则x2 + y2 = .3.n是正整数 ,当 n =时 ,2 n- 2 是最简二次根式 .4 . 1- x + x - 1=.二、选择题1.下列各式中 ,最简二次根式是 ( )( A) ab2 . ( B) ba.( C) a2 b2 . ( D) 5x2 y.2 . x - x + 1的有理化因式是 ( )( A ) x + 1. ( B) 2 x.( C) x - x - 1. ( D) x + x + 1.3.如果最简根式 2 a - b + 6与 3 a- b 4 a + 3b是同类二次根式 ,那么 ( )( A ) a =2 ,b =1. ( B) a =1,b =1.( C) a… 相似文献
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黄细把 《山西教育(综合版)》2002,(20):41-41
换元是初中代数学习中非常重要的一种解题方法 ,它指的是在解题过程中有意识地把一个代数式看成一个整体 ,用字母表示。灵活地应用这种方法 ,可使解题简易、迅捷。一、分解因式例 1.分解因式 (x2 - x) 2 - 8x2 + 8x+ 12。解 :设 x2 - x=z,那么原式 =(x2 - x) 2 - 8(x2 - x) + 12=z2 - 8z+ 12 =(z- 2 ) (z- 6 )=(x2 - x- 2 ) (x2 - x- 6 )=(x- 2 ) (x+ 1) (x- 3) (x+ 2 )。二、化简二次根式例 2 .化简 x z - z xx z + z x-z x + x zz x - x z。解 :设 x =a,z =b,那么 x=a2 ,z=b2 。原式 =a2 b- ab2a2 b+ ab2 - ab2 + a2 bab2 - a2 b=a- ba+ b… 相似文献
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祁福元 《中学课程辅导(初二版)》2003,(4):15-15
在学习同类二次根式时,若忽视其定义、性质的内涵及具体限制条件,则会出现解题错误.现举例谈谈应注意的三点. 一、注意先化简再求解(判断) 例1 若(a-b) 46与3a+6是同类二次根式,则a、6的值是( ) A.a=0,b=2. B.a=1,b=1 C.a=0,b=2或a=1,b=1. D.a=2,b=0. 相似文献
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分式是初中代数的重点内容之一,有关分式运算的问题概念性强,方法灵活.有些问题因概念模糊,或考虑不周,或以偏概全,或思维定势,常常误入“陷阱”,导致解题失误.现就几类常见错误,简析如下.一、违背运算顺序致错例1化简分式1-23ba÷23ba·23ba.错解:原式=1-23ba÷1=2b2-b3a.简析:乘除是同级运算,应从左到右按顺序进行.正解:原式=1-23ba·32ba·23ba=1-23ab=3a3-a2b.二、忽视分数线的括号作用致错例1计算a3--6a÷(1-3a--26a).错解:原式=a3--6a÷a-6a--36-2a=a3--6a÷-aa--69=a3--6a·-(aa-+69)=aa-+93.简析:这是由于忽视了分数线的括号作用,分… 相似文献
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周奕生 《初中生学习(中考新概念)》2005,(4)
在二次根式运算过程中,同学们由于对二次根式的概念、性质和运算法则理解不透,常常出现这样或那样的错误.现将几种常见的错误归纳如下.一、混淆公式张冠李戴例1计算:(-5)2姨.错解:原式=-5.例2化简:姨3-2姨2.错解:原式=(1-姨2)2姨=1-姨2.剖析:两题的错解都是因为混淆了公式a2姨=a和(姨a)2=a,正确的应运用a2姨=a,得出的正确答案分别是5和姨2-1,而错解却都是运用(姨a)2=a.如此混淆公式、张冠李戴,不错才怪呢!二、思维定势忽视隐含例3化简:a1-a3姨+a-a1姨.错解:原式=1a-a2姨a+a-aa2姨=aa姨-a+aa姨-a=2姨-a.剖析:受平时字母的取值大多是正数的习… 相似文献
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殷京平 《中学课程辅导(初三版)》2003,(1):4-6,45
一、本章导析本章重点是整式、分式、根式的化简、计算与求值 .难点是公式、法则、算理的正确运用及各种技巧 (包括因式分解 )的使用 ,注意点一是同类项概念中的两个条件缺一不可 ,二是应弄清同类根式与最简根式的异同 ,三是应熟记分式有、无意义及值为零的条件 ,四是应注意二次根式的两个非负性二、例题解析例 1 已知 x=32 +1,求 x2 +x+1x3 - 1- 2 x- 2x2 - 2 x+1的值 .分析 :此题中所求式较为繁杂 ,故应先化简 .解 :原式 =x2 +x+1( x- 1) ( x2 +x +1) - 2 ( x- 1)( x- 1) 2= 1x- 1- 2x- 1=11- x=1- 32 =- 26 .说明 :先化简后代入求值是一… 相似文献
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若角α和角β的终边关于x轴对称,则α和β的关系是()(A)α+β=2kπ(k∈Z)(B)α-β=2kπ(k∈Z)(C)α+β=kπ(k∈Z)(D)α-β=kπ(k∈Z)2.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c=()(A)-12a+23b(B)12a-23b(C)32a-21b(D)-32a+21b3.在&ABC中,若∠A=60°,边AB的长为2,&ABC的面积为23,则BC边的长为()(A)7(B)7(C)3(D)34.已知边长为1的正三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,则a·b+b·c+c·a的值为()(A)-32(B)0(C)32(D)35.化简sin(s2inαα+β)-… 相似文献
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在二次根式的运算中 ,如能依据算式的特征 ,灵活运用以下技巧 ,能起到事半功倍的作用 ,现举例如下 :一、活用乘法公式某些根式计算题初看不具备公式特征 ,但稍加变形 ,使可以运用公式计算。例 1 计算 (2 +3+5 ) (32 +2 3- 30 )解 :原式 =(2 +3+5 )· 6 (3+2 - 5 ) =6 [(2 +3) +5 ]+[(2 +3- 5 ] =6 [(2 +3) 2 - (5 ) 2 ] =6 ·2 6 =12 .二、巧拆项例 2 化简 1+2 2 +3(1- 2 ) (2 +3) +3+4+5(3+2 ) (2 +5 ) .分析 :将分子适当组合 ,然后约分 ,再将分母有理化 ,则可迅速简化。解原式 =(1+2 ) (2 +3)(1+2 ) (2 +3+3+2 ) (2 +… 相似文献
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同学们在学习二次根式时,常会犯一些错误,现举例说明,供同学们参考. 1.化简x3+2x2y+xy2√. 错解:原式=x(x+y)2√=x+yx√. 分析:答案中根号外的x+y是一个整体,必须加括号. 正解:原式=x(x+y)2√=(x+y)x√. 2.把式子x-1x√中根号外的因式适当变形后移到根号内,并使原式的值不变. 错解:原式=x2√·-1x√=-x√. 分析:由公式a=a2√(a≥0)知,根号外的负因式要移进根号内且保持原式的值不变时,需在根号外添加一负号.如-4=-(-4)2√. 正解:由题意可知-1x>0,∴x<0. ∴原式=--x-1x√=-(-x2-1x √=--x√. 3.计算2√÷3√… 相似文献
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2003年四川省的中考数学试卷里,有一道不起眼的填空小题:已知xy=3,那么xyx姨+yxy姨的值是:.这道题知识含量并不多,只不过是对二次根式的化简求值而已.但是,很多考生都只填了23姨,丢掉了-23姨,失败的教训发人深省.其实,在并不引人注目的外表背后,透射出值得重视的的练习价值.解1先从有理化分母入手.原式=xxyx2姨+yxyy2姨=3姨(xx+yy).当x>0且y>0时,原式=23姨.当x<0且y<0时,原式=-23姨.故应填±23姨.解2先把有理部分移入根号.x>0且y>0时,原式=xy姨+xy姨=23姨.x<0且y<0时,原式=-xy姨-xy姨=-23姨.应填±23姨.解3先代入y=3x.原式=x3x2姨+3xx23姨=x… 相似文献
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《中小学教学研究》2005,(1):61-63
一、选择题(每小题2分,共20分) 将下面每小题正确答案的代号,填在相应题号的括号里。 1.已知。<0,则二次根式V弄化简为最简二次根式为() A.一aV万B.aV下 C.*a丫石.D.一aV不 2.下列方程无实根的是() A .x+1泥B.扩+x十1=2 c.xz+1二一2 D.扩+x+1二一2 3.一次函数y二ax+b的图象不通过第二象限,则。与b满足 ( A..>0为)0 B..刃,b蛋0 Ca<0山)0 D.a<0,b簇O 7.二次项系数为1,且以 程是() 卜认了1一V了 2’2 为两根的一元二次方 4.函数y= 5x Zx气3x+2 A.xZ+x+1刃 B二z+x一1=0 c.犷一x十1=0 D.xZ一1=0 8.正三角形内切圆半径为r,外接圆半径为R… 相似文献
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同学们在学习分式的时候,经常会遇到有关多元的求值问题,解答时,可以利用消元的方法,化难为易.一、取值消元法例1已知abc=1,那么aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=.解:不失一般性,取a=1,b=1,c=1,则原式=13+13+13=1. 二、主元消元法例2已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则5x2+2y2-z22x2-3y2-10z2等于(A)-12 (B)-192 (C)-15(D)-13 解:以x、y为主元,那么4x-3y=6z,x+2y=7z .∴x=3z,y=2z.∴原式=5×9z2+2×4z2-z22×9z2-3×4z2-10z2=-13.选D. 三、比值消元法例3已知x2=y3=z4,则x2-2y2+3z2xy+2yz+3zx的值是.解:设x2=y3=z4=k,得x=2k,y=3k,z=4k… 相似文献
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因式分解作为一种运算技巧或解题方法,在解题中有着独特的作用.因此,我们学习因式分解之后,就要重视因式分解的应用.一、求值例1.已知a=120x+20,b=210x+19,c=210x+21,那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是(/).(A)4(B)3(C)2(D)1分析:直接求值计算量很大,如何利用公式化简代数式是解题的关键.解:原式=12(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2)=12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2].由a=120x+20,b=210x+19,c=210x+21可得a-b=1,b-c=-2,a-c=-1.∴原式=12[12+(-2)2+(-1)2]=21(1+4+1)=3.选(B).二、化简例1先化简x+1x2+x-2÷x-2+3x+2!",再求值,其中x=tan45°-cos30°… 相似文献
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在二次根式一章中 ,出现的概念和性质 ,若不正确理解 ,就容易出现错误。下面将同学们常出现的错误 ,举例剖析。例 1 2 5的平方根是多少 ?错解 :2 5的平方根是± 5 .剖析 :此题型在中考试题中常常出现 ,同学们把 2 5的平方根误理解为 2 5的平方根 ,忽视了 2 5和 2 5是不同的两个数。正确 :2 5的平方根是± 5 ,即± 2 5 =± 5 .例 2 把ｍ - 1ｍ 中根号外面的ｍ移到根号内 ,并化简。错解 :原式 =ｍ2 × (1ｍ) =-ｍ .剖析 :本例的化简是逆用性质ａ2 =|ａ| (ａ≥ 0 )。同学们化简时误认为ｍ≥ 0。忽视了题目中的隐含条件ｍ <0。因此ｍ不能直接… 相似文献