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1.
《时代数学学习》2001,(14)
解设长方体三边分别为“,b,c,则ul,’-一667(。,b,c为正实数).又因为‘:,十夕一卜少一3“阮 一(“一卜b)“一3ab(“卜b)礴O 一3abc+c,一[(a+b)3+护]一[3ab(a+b)+3“bc]一(“+b+c),一3(“一卜b)·c(“+b一卜c)一3ab(a+b一}一c)一(“一卜b+c)(矿+夕十‘2一ab一bc一‘a) 一孟(“十“+·):(。一。)2+(。一)2+(一。)2〕,上述等式的右端的式子可明显看出大于或等于零, :.川十夕十尸一3ob’)0,即丫十澎+少妻2 001,当a一乃一c时,取等号. 故。3十尸+尸的最小值是2001. 编者按有不少同学是这样解的:因为长方体体积一定,要使三边立方和最小,则这个长方… 相似文献
2.
《数学教学》1984,(4)
又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=… 相似文献
3.
设夕为一组数二,,x:,…牙一工(xl+x:+…十x,),,x二的方差,则。。1二,。“一万L又工, +(x。一牙)2+(x,一牙),+…一王)’〕工〔(x,青〔(x工+x:十x:十…十x尸)一,尹] 1工十’“十毛一夕一万气xl+xZ十…+x”)“」.n 11易知夕一0<二争x,一x:~···一‘一x.巧用这一性质,可以简解一些非方差问题.(关)例1已知:a十b十c+d~8,矿+夕十产+毋一16,求abc+。‘d十bcd+abd的值.解52=设夕为数组a、b、‘、d的方差,则粤仁(aZ+,,+。,+、2)一李(‘+,+‘+J):」任一任1416一粤x 52 4 一0. 由(,)式知。一b一c一d一2,故ab‘+。‘d+bcd+二bd一2 X 2 X 2 X4一32. … 相似文献
4.
设P>o,由y~P尹一q中解出尹,代入椭圆方程整理得a ZPyZ+b,夕+(占2叮一a’bZP)=0.记△一夕一4a’p(b,q一aZ护p),则两曲线 1.△,时,相切于两 乙“点. __b_._,、___。匕△夕O且P乡耳孤万,q夕b盯,父寸四点· 乙〔遥对双曲线荟一答一1与抛物线,2一,二 “U一q可类似讨论.关于椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1与… 相似文献
5.
杨仁宽 《数学大世界(高中辅导)》2004,(9):16-17
现就儿种常用的添项技巧,分类例析如下. 1.利用“整体‘,恰当添项 【例1】若a、b、c呀R+,a,+b3+。3妻ab‘(当且仅当a二b一‘时,“~”成立). 这是新教材的定理2,书中证明是: 丫矿十b3+护一abc=(a十b)“十c3一3aZb一3动2一3abc==(a+6+。)[(a+乙)“一(a+b)“+eZI 一3abc(“+b十c)一(a十b十c)(a“十夕十了一ab一阮一ca) 1,,,、厂/一令(a+b+c)}(a一b)乙+(b一c)“ 2”一’一’一‘二、一 +(。一a)“〕)o :.a3+b3十‘3)abo. 显然,当a一b一。时,“一”成立、 这种证明方法(比较法)中的第一次添项(即第一步变形),技巧性强、不易想到;第二次添项(即… 相似文献
6.
题目已知a一199ox+1989,b=199ox十1990,e=1990x+1991,求矿+夕十‘2一。b一bc一。的值. (1991年武汉等五市初中数学联赛) 解由已知条件,可得 b一a~1,c一b一1,c一a一乙 “2+bZ+cZ一ab一be一c口一合(Za’+“b’一合仁(b’一“ab+2c2一2口b一Zbc一Zc口)+矿)+(c2一Zbc+夕)+(c2一2c倪+。2)〕一音〔(b一a)2+(C一,)2十(e一a)2」一合(12+12+22) 一3. 通过观察不难发现,本试题可作如下推广: 已知a。一al十1,a3一。,十2,…,。,一al+、是正整数,求川十暇+…+武一久。:一气a3一·一的值. 解由已知条件,可得 a:一。z=1,。3一“2一1,…,口,一“二一i=1,… 相似文献
7.
命题1设x,y,zeR+,户,q,reR十,a)0.则含得击办六z’a)音(X。+y·+工·)(y·+Z一二·)·(x2.+za一犷)(x.+犷一za).(1)等亏当且仅当三里兰_广_尹q+rr+PP+q时成证明略.命题2设a,b,。和S分表△ABC三边和面积,P,q,r,任R+,0毛口蕊1.则 Po .q,。.r‘。—叮~了,—O-r.—‘q十rr十PP十q_34八厂丁、,.‘七竺—t—,“-一Z一3(2) 由文献〔1〕知,以aa,b’,。·为边可构成三角形.以S。表其面积,则些述15.)禅述15)·,。蕊a‘1. jj(3) 其中。相似文献
8.
一、不定方程护+犷一扩① 的自然数解 (1)设二、x+a、x+b(b>a)为方程①的一组解(字母都表示自然数。下同),则有 ‘2+(x+a),~(x+占)2② 解②,得 x=(b一a)士研Zb(b一a)因为材2b(b一a)>b一a,x取正值,于是有为盯(无剩余质因数时q,一1),同理设。剩余质因数的积为嘴(无剩余质因数时qZ二l),则k尹0,q,尹0,qZ尹0 于是由⑤⑥,可得~匆犷~峨~匆lq2⑦b己d‘|les才万Ilt {‘一“一十v俪吐不(‘’{’一‘+“一占+呀2占‘乙一“, t二二x+b=Zb一a十丫Zb(b一a)从而(I)式可表为 !X一‘(q,+Zq】“2’(”}’一乏(“‘+“ql“2’ tz=k(Zq了+Zq,q:+城) (2)x、y… 相似文献
9.
杨燕 《中学课程辅导(初一版)》2003,(Z1)
李、,口、、产、、户了、了.、、了f、一、判断魔1.句子“台湾是中华人民共和国不可分割的领土”是命题2.公理和定理都是真命题3.当a笋0时,(a+3)“=1 ~。54.(sa刁b一sa艺bz+4ab)令4ab=Za乙一于ab‘’、“一一-一一’‘一’-一-一4一5.a除以右,商q,余c,可以写成a=匆+c(其中a、b、q、c都是自然数,b护0,c相似文献
10.
待定系数法是一种十分重要的数学方法,具有广泛的应用.运用待定系数法分解因式是根据两个多项式相等则它们同类项的对应系数相等的原理.分解时,先假定某个多项式已经分解为含有字母系数的两个或两个以上的因式,再利用上述原理确定待定系数. 例l分解因式2尹一7xy+3犷十4x十3y一6. 解·:首项2尹可分解为2二·。 :.设原式一(2二十aly十::)(x+a。夕十。:) =2了2+(Za,+a,)却十alaZ少2十(2c2+c,)了 十(二;。:+山c;)少十c,c,. 比较等式两边多项式对应项的系数,得 f Za,+al-一7, {口la,一3, 一芍Zc,+c;一4,解得或 …rl‘2一,_ ‘“l‘2,1~“2‘l一… 相似文献
11.
a3 b3 c3一3abc =(a b)3 c3一3“b(a b)一3“bc ~[(a b) c〕[(a b)2一(a十b)c cZj 一3ab(a十b十c) =(a b c)(aZ bZ cZ一ab一bc一ca). 下面举例介绍aa ba ‘3一3obc的分解因式在解题中的应用,供同学们学习时参考. 例1已知a b ‘~6,矛 夕 ‘2~14,矿 b3 ca~36,求abc的值. 解由。 b ‘~6得 a含十b盆 c,十加b Zbc十Zca=36,.’.口b bc ‘“~11.丫a3 b3 ca一3abc ~(口 b十c)(“Z bZ c足一“b一bc一c召), 1,,:。“bc~令「a“ b3 ‘3一(d b ‘)·一’一一3‘一’一’一、一’-(aZ bZ cZ一。b一bc一ea)〕 例2‘5~0. 解一合〔36一6(14一11)j一6.已… 相似文献
12.
命题均可表为任一勾股数组(a,白,c)(a(b)(a。,a。+k,cn),其中a。二无(e矛。、:+e少。、,.2+…+C矛J十:·Zn一‘)c。=k(C绪n十;+C萝。、1·2+…+C矛J草亡.zn).(k,n任N)证明因a<白,可设b=a+k(k任N).因aZ+(a+k)“=cZ:·(,+窄)2=一工,一Zk训丝十无一(华)‘‘)(1十令-二~1。因(1+侧丁)““辛=(一1)么n十‘=一1,.(1一侧玄)2”+‘ 可令十侧2kc=(1+侧丁)2“+‘,+毕一哗一“一(l一训厄一户·1 K尤(n任N)。。日、。k。,月‘,二、。。_贝tJI苛a二丁比、上卞V乙)一’ q+(1一训丁)Zu宁‘一2〕C〔(1+侧丁)之”+1k一︷4 一(1一训丁):n+,展开整理即… 相似文献
13.
有这样一道习题, 设a、乙、c都是正数.求证: 方矽干石死石矛<了砂千瑟不不一. 问题的证明不难得出:在此,我们不妨猜侧更一岭的结论:群石而不石玩千已”<刃。坏石舜。,好其中。、n为正夔数且用>n)劝是否成立?推导如下: 夕.c.,号·扁十~丽下,‘不一二万一十~二‘1石厂二‘~协 “一个U.,月~C一“,为U一,.CJ(a,+石旧+e门) (a.+6”+e.)盖扁1刁到} a,+b“+e”(a.+b.+‘·”)aff石,干P不户、;+了一些仁___、带/\a”+b.+c./产矛丁.、、尸!IJ l+抓一十攀、、‘一)’了砚 a”口”+b”+c. 二1,.气尸石而千石而千砰<刀。,+夕十。二 显然,根号下的项… 相似文献
14.
刘延炳 《中学课程辅导(初一版)》2003,(Z1)
一、填空题1.等式(a+b)2一aZ+犷成立的条件是2.若“2+ma+9是一个完全平方式,3.化简(1+从)’一(l一m)2=则m-4·设nZ+n=8,mn一15,则mZ+mn+nZ的值是_.5.计算20022一4004 X 2003+20032=6.计算2003 X 2001一2002,=7.已知尸一少一6,且x+y一3,则3x一Zy的值为_ 1。.,,_。二,.,、。,,一。8·设“一b一言,“艺十夕一1,贝肛“十b)‘的值是—· 9.设a+b+。=7,a“+b,+cZ=11,则ab十bc+ea= 10.若2s+2’“+2”为完全平方数,则n~_· 二、选择题 1.下列计算错误的是() A .aZ一9b2=(a十3b)(a一3b)B.(x十2)2=xZ+4x+4 C.(x一l)(x+1)=xZ+1 D.(x一1),=xZ一Zx… 相似文献
15.
题已知P,+叮s==2,其中P,召〔R,求证P十q《2. 证法一设m二P+q,则q=勿一P,代入P3+口名二2,得 3阴P“一3oZP+ms一2二0……① ,.’P,口任R, .’.m〔R,且切专O(否则P=一‘=群势沪+护二0),故关于P的实系数一元二次方程①有实根,从而有 (一3川“)“一4·3阴·(川3一2))0- 即一3勿(川“一8) ”一3爪(从一2)〔(m+l)2+3〕)0, .’.0<切(2,故有p+q城2. 证法二(反亚法)假设户+刃>2,则,.’力3+叹3之(茸:一卜刃)(力“一P住+叮2)“2, .’. PZ一妇+口“<1.……② ,.’P,q〔R,.,.乡2+夕2》ZPqs几PZ一pq+召盆二tZ)l,故得夕十q《2.粤证法四令夕=xcos… 相似文献
16.
例l已知歹牵夏一“窗子诬一‘,,求i译石十击+r认的值· 解根据已知条件,由合比性质,得 忍x+y一‘,x十y十二并①②③ X劣+y+艺 yx+y十二 之 二+y+之①十②十③,得 召1十a’ b1+b’ C1十c. 己1+a b .c州卜万-节产一下.十二一气下一,一1。 1.,we夕1.冲一‘~_一一.,_,,_~了1‘1),!Z匕‘为1口一卜口一卜c~V,a口c7:U,习陀al几歹.州一一丁{一卜 、口‘,州告十引+c暗+翻+3的值· 解将3写成号十会十含,则原式一誉十令+含+粤+含十冬+生十口口至b十三 1,,.、.1,:,.、,1,.;.、八一一仁ad一D月一‘户七卜下万戈“一卜o--t esc夕一r气、“月一o州一c夕… 相似文献
17.
设R名△ABC的勾,股,弦分别为。,b口,那么关系式a+b)c,。,+石2=。,,a’+b3<。3,启发我们,有如下定理. 定理函数l(劝=护+b‘一c‘当。咬:<2时为正,!(2)=O,当:>2片为负.证明f‘·,二二「(誉)’·(粤)’〕.由:(劲’·(劲2一‘,=夙n。,则互=。。。。,o<。<叮 Cla一c一命考虑甲(x)二/a\劣Ib\忿t—I十t—I\C/\ClSin公a+eos思a。 (下转35页)(上接38页)命x=2+了,则 势(劣)=甲(2+劣,) =sin“十之产a+eosZ十二,a =sin Za,sin,,a+eosZa.eos,,a。 当0<:<2时,:产<0,5 in,,a>z, eos,产a>J, 尹(x)>sin“a+eosZa=J,e’>O,故了(幻>叭 当x二2时,x,二o, … 相似文献
18.
众所周知不等式a艺十乙’卜2“b当且仅当a=b时取等号.1:面举例说明其应用. 例1.△ABC花条高为h、h。、h。,内切圆半径为:,若h才+hl,+h。=9:.则△ABC为lIi三角形. 证:设△AB口而积为S,则由已知条件得 25 25 259·25 不一+万一+。一=。十b十。,。。、‘:十。、·)(扣;·:)一,·、。+。·。)(;·;·:) /ba、二3十火。十b少、/c刀十.十/\叮当且仅当争异乡二抑一。二·时取等号. …△AB口为正三角形。 例2.解方程:二·‘nZ一‘n(誓一2·)二:.解:方程左边一4〔51一(飞一)勺·〔C。一‘n(梦一)〕..助............. 2簇4 ,万s‘n劣cosL万一劣)… 相似文献
19.
黄细把 《数理天地(初中版)》2003,(9)
夕,几口尸月J‘J、切~‘r闷目,曰一口目J子、-‘~户Jj 代数学习中,含条件a+b+。一0的问题屡见不鲜.解此类题时,可考虑以下三种转化. 1.移项 例1已知a十b+。=o,a‘十b‘+c峨一1,那么a(b+。)“+b(。+a)“+。(a+b)“=(D)解不能确定是正数、负数或零. (02年十三届希望杯初二竞赛)易得,(a+b+。)2=o,即解由 (96年聪明杯初一竞赛)a+b+‘一O,得 b+e=一a,c+a=一b,a+b故原式=a(一a)3+b(一b)3+。(一一—C。c)“ 矿十少十了+2(ab十阮+ca)一。, 1 ab+加+ca-一音(丫+梦+c“). 一.一,一2、一因为ab。<0,所以 a共O,b笋O,c界0,aZ+bZ+cZ>0.即ab十阮十ca<0… 相似文献
20.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明:
ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4.
证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
＜0＜abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3＜2/9.
于是,9q＜2√q.
故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca＜√abc+1/4. 相似文献