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我们知道,若两条平行直线的方程为,l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2)则ax+by+c_1+λ(ax+by+c_2)=0(λ≠0,λ≠-1)是与l_1、l_2都平行的直线l_3的方程。设M(x_0,y_0)是l_3上任一点,那么ax_0+by_0+c_1+λ(ax_0+by_0+c_2)=0(?)λ=-((ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)) (1)因此|λ|表示l_3到l_1的距离与l_3到l_2的距离之比。当λ>0时,从(1)知(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)<0,这时,l_3介于l_2、l_3之间;当λ<0时,由(1)知,(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)>0,这时,l_3位于l_1、l_2之外。这样,我们推出下列有用的结论。定理:若两条平行直线l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2),则到l_1的距离与到l_2的距离之比为|λ|的直线l_3的方程为ax+by+c_1+λ(ax+ 相似文献
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例1已知点A(2,1)、B(1,2),直线y=ax(a∈R)与线段AB有交点,试求常数a的取值范围.解析由图1和已知条件可得,直线的倾斜角均y B(1,2)A(2,1)ox图1yoxB(-1,2)A(1,2)图2yox图3(2,2)是锐角.根据正切函数y=tanx在x∈(0,!2)中单调递增,可得a(a是直线y=ax的斜率)的取值范围为a∈[kOA,kOB],即a∈[21,2].例2已知点A(2,1)、B(-1,2),直线y=ax(a∈R)与线段AB有交点,试求常数a的取值范围.解析由图2和已知条件可得,直线的倾斜角可能是锐角,也可能是钝角.函数y=tanx在x∈(0,!2)与x∈(!2,!)中分别单调递增,可得a(a是直线y=ax的斜率)的取值范围为a∈[kOA, ∞)∪(-∞,kOB],即a∈[12, ∞)∪(-∞,-2].点评例1与例2的区别是正切函数在相应直线倾斜角所限定范围内的单调性不一致,例1中正切函数在倾斜角的范围内是单调递增的,而例2中正切函数在倾斜角的范围内不是单调函数,这往往被同学们所忽视.例3已知点P(x,y)满足(x-2)2 (y-2)2=1,直线y=ax(a∈R)与点P的轨迹(即所有... 相似文献
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命题1过椭圆xa22 yb22=1上点P(异于长轴端点)作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A、B两点(异于P).求证直线AB的斜率为定值.证明:设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k.由y=k(x-x0) y0b2x2 a2y2=a2b2消去y得(b2 a2k2)x2 2k(y0-kx0)a2x a2(y0-kx 相似文献
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杨美璋 《中学生数理化(高中版)》2002,(12)
例直线l:y=-1/2x 2与椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1交于A、B两点,O为坐标原点,M为线段AB的中点.若|AB|=5~(1/2),直线OM的斜率为1/2,求椭圆的方程. 相似文献
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性质 过圆锥曲线上任一点 P(x0 ,y0 )作倾斜角互补的两直线交该曲线于 A,B两点 ,则直线 AB的倾斜角为定值 ,且直线 AB的倾斜角与该曲线在 P点的切线的倾斜角也互补证明 以下只证明椭圆情况 ,双曲线与抛物线同理可证 .设椭圆方程为 :x2a2 y2b2 =1,图 1(1)当 y0 =0时 ,直线 AB的倾斜角与 P点处切线的倾斜角都是90°,知结论成立 ;(2 )当 y0 ≠ 0时 ,设直线的参数方程为 :x=x0 tcosα,y=y0 tsinα,(t为参数 )代入椭圆方程整理得 :(b2 cos2 α a2 sin2 α) t2 2 (b2 x0 cosα a2 y0 sinα) t b2 x20 a2 y20 =a2 b2 .∵点 P在… 相似文献
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遇到解析几何题,通常是从有关概念、定式(如公式、法则以及曲线标准方程等)和定法(即教材中介绍的基本方法)着手进行思考分析,寻求解题对策,虽一般能奏效,但有时会出现解题过程复杂甚至难以处理的局面.此时,若能针对问题的不同情况,采取一些非常规的解题方法去分析思考,常能将问题变繁为简,化难为易.1 曲线方程的非标准化处理例1 已知抛物线C:y2=2ax(a<0),过点(-1,0)作直线l交抛物线C于A、B两点,是否有以AB为直径且过抛物线C的焦点F的圆?分析 一般设直线l的点斜式方程y=k(x 1)(k≠0),代入方程y2=2ax,整理得k2x2 (2k2-2a)x k2=0.若存… 相似文献
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一、曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f'(x0).例1垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3-3x2-1相切的直线方程是.解由题意可知,所求直线的斜率k=-3.而由y'=3x2-6x=-3,解得x=1.∴切点坐标为(1,-3).∴所求的切线方程是3x+y=0.例2对于函数y=x3+ax2+bx+c,试确定函数的图像有与x轴平行的切线的条件,并确定该函数在R上是增函数的条件.解若函数的图像有与x轴平行的切线,则方程y'=0有实数解;若该函数在R上是增函数,则y'>0.∵y'=3x2+2ax+b,得驻=4a2-12b≥0,即a2≥3b,∴函数y=x3+ax2+bx+c的图像有与x轴平行的切线的条件是a2≥3b.又若y'=3x2+2ax… 相似文献
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06年全国高考数学理科试题(北京卷)第19题:已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA.OB的最小值.解:(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为:x2-y2=2(x>0)(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,x22-2),B(x0,-x02-2),∴OA.OB=2.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx b,代入曲线方程x2-y2=2(x>0)中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0(*)依题意可知方程(*)有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2)… 相似文献
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高旭 《中学生数理化(高中版)》2008,(11)
1.求过点P(3,2)且在两坐标轴上截距之和为零的直线方程.(macd@163.com)解答:若直线不过原点,可设直线方程为ax y-a=1.由P(3,2)在直线上,得3a -2a=1,解得a=1,所求直线方程为x-y-1=0.若直线过原点,可设直线方程为y=kx.由P(3,2)在直线上,得2=3k,解得k=23,所求直线方程为y=32x.综上 相似文献
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胡安民 《连云港职业技术学院学报》1994,(3)
在求解微分方程过程中,某些积分运算利用双曲代换比较容易算出结果,除此以外,有些微分方程的解,特别是线性微分方程的解可以利用双曲函数通过积分比较方便地表示出来,本文介绍双曲函数在求解二阶常系数线性微分方程中的一些应用。方程Ⅰ.y-a~2y=f（X）（a≠0）（1） 这是二阶常系数非齐次方程,先求出对应的齐次方程 y-a~2y=0（1）’的通解:由特征方程r~2-a~2=0得特征根r_1=a,r_2=-a ∴y_1=e~(ax),y_2=e~(-ax)是（1）’的两个特解我们取y_1=e~(ax）+e_(-ax)/2=chax y_2=y_1=e~(ax)-e(-ax)/2=shax 作为（1）'的两个特解,且易证它们是线性无关的 ∴Y=c_1chax+c_2shax 是方程（1）’的通解 为求方程(1）的通解,运用常数变易法 设 y=c_1(x)chax+c_2(x)shax （2） 相似文献
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孟凡才 《数学大世界(高中辅导)》2006,(9)
我们知道:P1(x1,y1)和P2(x2,y2)在直线L:Ax By C=0(A2 B2≠0)的两侧(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)<0·利用这个性质可得一类直线斜率的统一解法:【例1】已知两点P(2,-3),Q(-3,-4),直线ax y 2=0与线段PQ相交,求a取值范围·解:线段PQ与直线ax y 2=0相交,P、Q在直线的两侧或P、Q在直线上 相似文献
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殷木森 《中学生数理化(高中版)》2013,(1)
例题:如图1,设P(x0,y0)是曲线C:x2 =4y上的一个定点,过点P任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点A、B.
(1)证明:直线AB的斜率为定值;
(2)记曲线C位于A、B两点之间的那一段为L.若点E在L上,且点E到直线AB的距离最大,求点E的坐标. 相似文献
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寿永潮 《中学数学研究(江西师大)》2005,(4):18-19
受姜老师的文[1]启发,对椭圆另一定值问题进行了研究,整理成文如下: 定理过椭圆x2/a2 y2/b2=1上点P(异于长轴端点)作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A、B两点(异于P).求证直线AB的斜率为定值. 相似文献
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唐小荣 《数学大世界(高中辅导)》2005,(12)
题目:已知椭圆x92 y42=1上总有关于直线l:y=x m对称的两点,试求m的取值范围.一、运用二次方程的判别式求参数的取值范围解法1:设A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆上关于直线l对称的两点,线段AB的中点为C(x0,y0).因为AB⊥l,所以直线AB的斜率为-1,于是再设直线AB的方程:y=-x b.由于A、B点既在椭圆上,又在垂直于l的直线AB上,点C既在直线AB:y0=-x0 b上,又在直线l:y0=x0 m上,从而联立:x29 y42=1y=-x b,消去y得:13x2-18bx 9b2-36=0,依韦达定理和中点坐标公式得:2x0=x1 x2=1183b,∴x0=193b.从而y0=-x0 b=143b.于是有413b=193b m,得m=-153b,而由于A… 相似文献
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2005年上海市高考春招第22题: (1) 求右焦点坐标是(2,0),且经过点(-2,-2)的椭圆的标准方程; (2) 已知椭圆C的方程是x2/a2 y2/b2=1(a＞b＞0).设斜率为k的直线l,交椭圆C于A、B两点,AB的中点为M.证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上; 相似文献
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周华生 《数理化学习(高中版)》2007,(23)
本文介绍圆锥曲线标准方程的两个用定比λ表示的斜率公式及解题时的巧妙应用.定理1若AB是椭圆Γ1:b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0)或双曲线Γ2:b2x2-a2y2=a2b2或抛物线Γ3:y2=2px(p>0)的焦点弦,F为焦点且AF=λFB,(A在B之上),则弦AB所在直线斜率k满足k2=(λ 1)2(λ-1)2e2-1(λ≠0,λ≠±1 相似文献
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提到抛物线的特殊点,大家想到的是抛物线的顶点以及抛物线与坐标轴的交点,其实还有一个未被大家重视的特殊点,这个特殊点是P0,1a. 命题 过抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴上一点P0,1a,任作一直线(不与y轴重合)交抛物线于A、B两点,则∠AOB恒为90°.图1证明 设过点P0,1a的直线解析式为y=kx+1a,联立方程组得y=ax2,y=kx+1a.①②把①代入②,整理得ax2-kx-1a=0.∵Δ=(-k)2-4·a·-1a=k2+4>0,∴直线y=kx+1a与抛物线y=ax2必有两个交点.从而保证了∠AOB的存在性.设A(xA,yA),B(xB,yB),则根据根与系数的关系有xA·xB=-1a2,于是yA·yB=ax2A·ax2… 相似文献
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性质1如图,过椭圆22ax2 by2=1(a>b>0)的顶点A的弦AQ交y轴于点R,过椭圆中心O的半弦OP//AQ,则OP2=12AR?AQ.证明:设直线AQ的倾斜角为α,则直线OP的参数方程为:cos,sinx ty tαα???==(t为参数),直线AQ的参数方程为:cos,sinx a ty tαα???==? (t为参数).依题意,可得:22222t P???coasα sinbα???=1,(1)?a t Rcosα=0,(2)b2(?a t Q cosα)2 a2(t Q sinα)2=a2b2.(3)由(1)得:2222P2cos22sin2OP ta b==bα aα,由(2)得:AR=t R=coasα,由(3)得:22222cosQcos sinAQ tabb aα==α α,∴OP2=12AR?AQ.性质2如图,MN是过椭圆22ax2 by2=1… 相似文献
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高中物理甲种本第一册明确指出;从匀变速运动的速度图象可以求出加速度。在图1所示的速度图象中,用△t 表示t_2-t_1,用△v 表示 v_2-v_1,直线 AB 的斜率 k 为 k=△v/△t=a这就是说,匀变速直线运动的速度图线的斜率等于运动物体的加速度。由数学可知:直线1(如图2所示)向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,即 k=tgα(1)若直线1经过 P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2)两点,则直线的斜率公式为 相似文献