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1.
正人们知道,对于任意实数x,y,z,有如下不等式成立:(x+y+z)2≥2(xy+yz+zx).①若令x=ab,y=bc,z=ca,则如上不等式等价于:对于任意实数a,b,c,有不等式.(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)②这是一个十分简单的不等式,利用不等式②,却能够给出一些不等式竞赛试题简捷、明快的证法,本文提供一些例子,供读者探究和玩味.例1(2005年台湾竞赛题)设a,b,c是满足abc=1的正 相似文献
2.
略谈一个不等式的应用 总被引：1，自引：0，他引：1
设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1 已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明 由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2 已知实数 a>1 ,b… 相似文献
3.
文[1]介绍了涉及三角形高线的不等式:
r(5R-r)/R2≤h2a/bc+h2b/ca+h2c/ab≤(R+r)2/R2①
文[2]在①的基础上,建立的如下不等式:
bc/h2a+ca/h2b+ab/h2c≥4 ②
文[3]建立了比②更强的如下不等式:
bc/t2a+ca/t2b+ab/t2c≥4 ③ 相似文献
4.
人教版"不等式"里有一道习题:证明不等式"a2+b2+c2≥ab+bc+ca".证明过程如下:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,即a2+b2+c2≥ab+bc+ca."a2+b2+c2≥ab+bc+ca"是一个很重要的不等式,有着广泛的应用. 相似文献
5.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明:
ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4.
证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
＜0＜abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3＜2/9.
于是,9q＜2√q.
故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca＜√abc+1/4. 相似文献
6.
先看下面的一个公式:设ai∈R,bi∈R+,i=1,2,…,n.则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn.这个公式是由柯西不等式稍加变形后得到的,用它处理一类分式不等式问题十分方便.下面举例说明.例1已知a、b、c∈R+.求证:ab+c+bc+a+ca+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明:ab+c+bc+a+ca+b=a2a(b+c)+b2b(c+a)+c2c(a+b)≥(a+b+c)22(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca)=32.例2设a、b、c∈R+,且abc=1.则1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.(第26届IMO)证明:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=a2b2c2a3(b+c)+a2b2c2b3(c+a)+a2b2c2c3(a+b)=b2c2a(b+… 相似文献
7.
不等式问题覆盖面广、综合性强 ,是当今各层次数学竞赛 (包括IMO)的热点和难点之一 ,而不等式问题的处理更以“多入口 ,方法巧”见长 .为了寻求规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分有关不等式问题试题 ,深入研究 ,发现许多问题都能采用柯西不等式加以简单地解决 .下面举例加以说明 .例 1 设a ,b ,c∈R+ ,求证 :ab+c+ bc+a +ca+b ≥ 32 . ( 1)( 196 3年莫斯科竞赛题 )证明 令A =a(b +c) +b(c +a) +c(a +b) =2 (ab +bc +ca) ,B =ab+c+ bc+a+ ca+b.由柯西不等式 ,有AB≥ (a+b +c) 2 ,根据基本不等式 ,有A ≤ 23(a+b +c) 2 .所以 ,B≥ 32 … 相似文献
8.
《湖南教育》2007,(4):45-46
85.设正数a,b,c满足a b c=3,求证:ab 1 bc 1 ca 1 1ab b1c c1a≥6.证明:首先证明下面的命题:设t>0,p,q∈R,且p·q>0,则1 tp q≥tp tq,当且仅当t=1时,等号成立.因为1 tp q≥tp tq#1 tp q-tp-tq≥0#1 tp·tq-tp-tq≥0#(tp-1)(tq-1)≥0.因为t>0,p,q∈R,且p·q>0,所以tp-1与tq-1同号,所以(tp-1)(tq-1)≥0,即要证的不等式1 tp q≥tp tq成立.在不等式1 tp q≥tp tq中,令q=p 1,则有1 t2p 1≥tp 1 tp(p>0,或p<-1),两端同除以tp得tp 1 t1p≥t 1.所以ab 1 a1b≥a 1,bc 1 b1c≥b 1,ca 1 c1a≥c 1,这三个同向不等式相加并将a b c=3代入得ab 1 bc 1 ca 1… 相似文献
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第42届IMO第2题简证 总被引：4，自引：0，他引：4
第 42届 IMO第 2题是 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab≥ 1.(1)这是一个形式优美的不等式 ,文 [1]介绍了一种基于反证法的证明 .笔者经过思考 ,给出了一种很简洁的直接证法 .证明 (a43 +b43 +c43 ) 2 - (a43 ) 2=(b43 +c43 ) (a43 +a43 +b43 +c43 )≥ 2 b23 c23 · 4a23 b13 c13=8a23 bc,∴ (a43 +b43 +c43 ) 2 ≥ (a43 ) 2 +8a23 bc=a23 (a2 +8bc) ,∴ aa2 +8bc≥ a43a43 +b43 +c43.同理可证 :bb2 +8ac≥ b43a43 +b43 +c43,cc2 +8ab≥ c43a43 +b43 +c43,以上三式相加 ,即证得 (1)式成立 .第42届IMO第2题简证@姜… 相似文献
10.
正(数学(高二上册))达标训练二填空题第一题是这样的:已知a,b,c是△ABC的三条边,比较大小(a+b+c)24(ab+bc+ca).这道题的解答可以用特殊值法.取a=b=c=1,得(a+b+c)2=9,4(ab+bc+ca)=12,所以(a+b+c)24(ab+bc+ca).将这道题稍微变形,就是全日制普通高级中学教科书(实验修订本·必修)数学第二册(上)第31页B组题的第6题:设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2+c22(ab+bc+ca).这道题的解法紧紧围绕三角形的边的特征,依据不同的思维,不同的入口结合不等式证明的不同方法,可以得到不同的证法.并且依据已经证明的结论,还可以进行引申. 相似文献
11.
“幼儿园教育是基础教育的重要组成部分，是我国学校教育和终身教育的奠基阶段。”幼儿园要实施素质教育，为幼儿一生的发展打好基础。能否实现如上目标，作为幼儿园内部来说，关键是教师在自己的工作中能否将教育观念转化为教育行为，在教与学的过程中能否从关注文本转化到关注儿童。所谓关注文本，是指教师只重视参阅，选用已有的教学参考、教师用书、课程方案等资料制定教育教学计划，并按预先的计划来检查教的效果。所谓关注儿童，是指教师在教育教学的各个时期、空间时间均能了解儿童的原有基础、兴趣爱好、特点、智慧策略等，追求科学… 相似文献
12.
王亚楠 《潍坊教育学院学报》2011,(5):7-10
劝返作为引渡的替代性措施之一,早在2007年的胡星案中就成功使用过。劝返较引渡和引渡的其他替代性措施,确实存在一系列优势,但它的困境也是显而易见的:其前提性条件的具备何其艰难;其是否像有的学者所说的那样应认定为自首;为何杨湘洪至今未被劝返。总之,充分比较劝返的利弊之后,我们是否继续不遗余力地对劝返措施进行提倡,如果提倡的话,如何提倡,则是不得不面对的问题。 相似文献
13.
A while ago,I was treated to a couple of pampering weeks in the beautiful mountains of Santa Barbara,California.I had asked my friends if I could stay in their guest house for the time I was finishing a book I was working on. 相似文献
14.
《British Journal of Special Education》1987,14(3):119-121
Why are so many teachers reluctant to make talking to parents a priority? In the Warnock Report, the 1981 Education Act and, more recently, the Fish Report teachers were urged to form 'partnerships' with parents. Yet very little progress has been made in this direction with the parents of children with emotional and behavioural difficulties. Neil Dawson and Brenda McHugh are two ILEA teachers who have been using a family systems approach in the Marlborongh Family Service Education Unit for children with emotional and behavioural difficulties in north west London. In this article they explore the question, 'Why is it so difficult?' and share their ideas and experiences of possible solutions. 相似文献
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颜回是孔子最得意的弟子。孔子曾说过＂回也非助我者也＂的话,但实际情况并非如此。与孔、颜同时代的人也不这样认为。颜回在道德修养、传道、守道、弘道,团结门人及思想方法等方面对孔子多所助益。孔子也曾说过颜回在＂仁＂、＂信＂方面要强于自己,又径直称之为＂圣人＂,这些都说明＂回也非助我者也＂这一句并不能概括孔颜之间的关系。 相似文献
17.
谁能够想到在中学时代学业并不出色的Killy能够最终有一天踏上海外求学的旅途.在与《英语沙龙》杂志外籍专家Brad的邮件往来六年后,Killy终于来到了相距一个太平洋的加拿大.
对于Killy来说,踏上这全新的求学之路有些突然.因为不久前她还是一名有着三年教学经验的英语老师.虽然深爱她的职业,但有时候对未知渴望和对自身的要求,让她时常关注与思考自己未来的职业发展方向. 相似文献
18.
董芳 《大连教育学院学报》2005,21(4):54-55
现代社会的信息化使得学校德育处于一个完全开放的社会环境中。在各种不同的意识形态、价值观、道德观的冲击下,学校德育面临许多困境。只有变“强迫服从”为“教会选择”才能使学校德育摆脱困境,为社会培养更多的人才。 相似文献
19.
20.
胡新慧 《乌鲁木齐成人教育学院学报》2001,9(4):31-34
如何上好英语语言教学课,怎样提高语言学习的效率是英语语言教学中长期存在的一个顽固和棘手的问题.本文结合笔者多年的教学实践,通过参比国内外这一领域的新的作法和经验,拟就这一问题作一探讨. 相似文献