圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程及其应用     

陈金瑞 《福建中学数学》2006,(3)

圆锥曲线是解析几何中的重要内容,与圆锥曲线有关的轨迹问题也是教学的一个难点.本文给出圆锥曲线弦的定比分点的轨迹方程的几个通式,并说明它的应用.命题1设斜率为k的直线与椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0)相交于A、B两点,动点M满足AM=λMB(λ为常数),则点M的轨迹方程是2(22)2(1)(2222b x+a ky+λ4?λb x+a y?a2b2)(b2+a2k2)=0.证明设点M(x,y),直线AB的参数方程为x0=x+t,y0=y+kt(t为参数),代入椭圆方程并整理得:(b2+a2k2)t2+2(b2x+a2ky)t+b2x2+a2y2?a2b2=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2)对应的参数分别为t1,t2,则:22222t1+t2=?2(b x+a ky)/(b+a…  相似文献   

用替换的思想证一个圆锥曲线定值问题     

成莉莉  寿永潮 《数学教学通讯》2005,(SB)

命题1过椭圆xa22 yb22=1上点P(异于长轴端点)作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A、B两点(异于P).求证直线AB的斜率为定值.证明:设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k.由y=k(x-x0) y0b2x2 a2y2=a2b2消去y得(b2 a2k2)x2 2k(y0-kx0)a2x a2(y0-kx  相似文献   

和差代换技巧及其妙用     

于志洪 《山西教育(综合版)》2001,(20)

例 1.已知 a2 b2 =6 ab且 a>b>0 ,则 a ba- b=。 (2 0 0 1年北京市中学生数学竞赛初二决赛题 )解 :设 a=x y,b=x- y,则将其代入 a2 b2 =6 ab中 ,得 (x y) 2 (x- y) 2 =6 (x y) (x- y)展开括号 ,化简整理得 4 x2 =8y2。而 a>b>0 ,∴ x>y>0 ,∴ x2y2 =2 ,∴ xy=2 ,另 a b=2 x,a- b=2 y,因此 a ba- b=2 x2 y=xy=2。二、求最值范围例 2 .已知实数 a、b满足 a2 ab b2 =1,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是。 (2 0 0 1年 TI杯全国初中数学竞赛 A卷试题 )解 :设 a=x y,b==x- y,代入已知式得(x y) 2 (x y) (x- y) (x- y…  相似文献   

一类二元函数条件最小值的求法及其推广     

夏群华 《中学数学教学参考》2004,(6):32-33

1　问题提出我们经常看到这样一道题:已知a >0 ,b >0 ,且a b =1 ,求(a 1a) 2 (b 1b) 2 的最小值.该题通常这样求解:(a 1a) 2 (b 1b) 2 =a2 b2 1a2 1b2 4=(a b) 2 -2ab 1a2 1b2 4=5 -2ab 1a2 1b2 ≥5 -2 ( a b2 ) 2 2ab=92 2ab≥92 2( a b2 ) 2=2 52 .当且仅当a =b时取等号.作为上题的推广,我们自然会想到问题1 :已知x >0 ,y >0 ,且x y =1 ,求函数f1(x ,y) =(x 1x) 3 ( y 1y) 3的最小值.对于问题1 ,我们同样可以如下求解:由题设条件可求得0 相似文献   

一道模拟考题的联想     

赵志清  张家瑞 《中学数学月刊》2003,(9):22-23

20 0 3年苏、锡、常第一次高考数学模拟试题 :已知椭圆 C:ax2 +y2 =2 (a>1) ,直线l:y=kx+1与椭圆交于 A,B两点 ,以 OA,OB为邻边作平行四边形 OAPB(O为坐标原点 ) .(1)若 k=1,且四边形 OAPB为矩形 ,求 a的值 ;(2 )若 a=2 ,当 k变化时 ,求 P点的轨迹方程 .我们对此题感兴趣的是 ,把它抽象为一个一般性命题 ,观其条件 ,已知椭圆及过一定点 (0 ,1)的直线与此椭圆交于 A,B两点 .结论中 P的轨迹经计算知是一个椭圆 .由此 ,可得到下列命题 .命题 1　若椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a>b>0 ) ,椭圆内部一定点 P(x0 ,y0 ) ,过 P点的直线 l与椭圆交于 …  相似文献   

利用根与系数的关系解竞赛题     

赵永益 《初中生》2005,(Z3)

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设x1,x2是它的两个根,则它的根与系数满足:x1+x2=-ba,x1·x2=ca.这两个表达式看起来简单,巧妙地利用它们,可以解答不少的数学竞赛题.一、求值例1设2x2-2x+k=0,2y2-2y+k=0,且x-y=2,那么k=.(2000年河南省初三数学竞赛题)解:由题意知x,y是方程2t2-2t+k=0的根.由根与系数的关系和已知得x+y=1,xy=k2,x-y=2 ∴k=-32.例2若关于x的方程(x+a)(x+b)=M的两根是α、β,则关于x的方程(x+α)(x+β)=-M的两根的平方和为.(2002年河南省初三数学竞赛试题)解:方程(x+a)(x+b)=M可化为x2+(a+b)x+ab-M=0.由根与系数的关…  相似文献   

一个命题 两个应用     

任根保 《数学大世界(高中辅导)》2003,(11):30-30

命题:若直线y=kx+m与双曲线x2/a2-y2/b2=1相交于A,B两点,M(x0,y0)为AB的中点,则b2x0-ka2y0=0. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y2-y1/x2-x1=k 由于A、B两点在双曲线上得: x12/a2-y12/b2=1 ①,x22/a2-y22/b2=1②  相似文献   

构造法求解一类条件型最值问题的探析     

黄爱民  周向东 《广东教育》2006,(2)

最值问题是近几年高考中的一大热点内容,这类问题解法灵活多变,对数学思想方法的要求较高.本文介绍构造法求解这类问题的一些类型题,希望对读者有所启发.一、构造方程模型【例1】已知实数a、b满足a2 b2 ab=1,求t=ab-a2-b2的最值.解:构造一个关于x的一元二次方程x2-(a b)x (a b)2-1=0.显然a、b是这个方程的两个实根.从而△=[-(a b)]2-4[(a b)2-1]≥0,即4-3(a b)2≥0,∴0≤(a b)2≤34.由t=ab-a2-b2=-2ab-a2-b2 3ab=-(a b)2 3[(a b)2-1]=2(a b)2-3.综上,当(a b)2=0时,tmin=-3;当(a b)2=43时,tmax=-31.评析:构造满足题设条件的二次方程是本题求…  相似文献   

判别函数图象对称性的一组命题及应用     

周华生 《中学数学月刊》2000,(12)

常用于判别函数图象对称性的命题可归纳如下:命题1　若函数y=f(x)满足f(a x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a b2对称.证　在y=f(x)图象上取A(a x0,y0),B(b-x0,y0),则AB中点为(a b2,y0),且对任一x0都成立,由x0任意性可知f(x)的图象关于直线x=a b2对称.推论1　若函数y=f(x)满足f(a ωx)=f(b-ωx),则y=f(ωx)关于x=12ω(a b)对称,即y=f(x)关于x=a b2对称.证　设ωx=t,则f(a t)=f(b-t),从而函数y=f(t)关于t=a b2对称,即y=f(ωx)关于直线x=a b2ω对称,或y=f(x)关于直线x=a b2对称.命题2　函数y=f(x)若满足f(a x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于…  相似文献   

求函数最值的十种构造方法     

魏正清  陈静 《高中生》2005,(14)

一、构造方程例1已知a,b缀R,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解设a+b=t,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=t(t2-3ab)=2,即ab=t3-23t,所以a,b是方程x2-tx+t3-23t=0的两实根.故驻=t2-4×t3-23t≥0.解得0相似文献   

双曲线的几个有趣性质与应用   总被引：2，自引：2，他引：2  

玉邴图 《中学数学月刊》2004,(7):16-17

笔者最近对双曲线的准线作了些研究,得到了几个十分有趣的性质,供读者参考.定理1　设直线l经过双曲线x2a2 - y2b2 =1 ( a >0 ,b >0 )的焦点F,l交双曲线的两条准线于A,B两点,O是双曲线的中心,e是离心率,l的倾斜角为θ(θ∈( 0 ,π) ) ,则OA⊥OB的充要条件是sinθ=1e2 .证明　由对称性,不妨设l的方程为y= k( x - c) (其中k =tanθ) ,分别与x =- a2c 和x =a2c联立,解得两交点A( - a2c,- a2 c2c k) ,B( a2c,a2 - c2c k) ,故OA⊥OB x A.x B y A.y B=0 ,即a4 k2 ( a4-c4) =0 ,或1 k2 ( 1 - e4) =0 .把k2 =tan2θ代入,即得sin2 θ=1e…  相似文献   

圆锥曲线的一个性质     

张家瑞 《数学教学通讯》2006,(8)

引理1:椭圆b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0)上A、B两点的切线交于P(x0,y0),则AB的直线方程为b2x0x a2y0y=a2b2证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则过A,B的切线方程分别为b2x1y a2y1y=a2b2,b2x2y a2y1y=a2b2,因P点是两切线的公共点,故(x0,y0)同时满足上述两方程,应有b2x0x1 a2y0y1=a2b2,b2x0x2 a  相似文献   

也谈一不等式赛题的形数沟通   总被引：1，自引：0，他引：1  

曹建全 《数学教学通讯》2005,(3)

题 1　 (第 15届全俄数学竞赛题 )若 x,y,z∈ (0 ,1) ,则 x(1-y) y(1-z) z(1-x) <1. 1题 1曾先后以不同形式出现在欧洲一些国家的竞赛题之中 ,如 :题 2　 (1981年第 2 1届全苏数学竞赛题 )正数 a,b,c,A,B,C满足 a A =b B =c C = k.求证 :a B b C c A 相似文献   

构造图形 巧证赛题     

马占山 《中等数学》1998,(4)

例1 正数a、b、c、A、B、C满足条件a A=b B=c C=k.证明: aB bC cA≤k~2. (第21届全苏数学竞赛) 例2 若x、y、z∈(0,1),则 x(1-y) y(1-z) z(1-x)<1. (第15届全俄数学竞赛) 以上两题,许多刊物已给出多种证明.本文用构造图形的方法再证之.  相似文献   

一道二次曲线间交点问题的错解反思     

《中学数学杂志》2015,(9)

<正>1错解呈现例1抛物线x2=2py(p>0)的焦点F恰好是双曲线y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F,求该双曲线的离心率.解答由[{x2=2py,y2/a2-x2/b2消x得b2y2-2a2py-a2b2=1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线与双曲线的两个  相似文献   

一道全国初中数学竞赛题的多种解法     

袁拥军 《中学数学月刊》2003,(3):32-33

在数学竞赛中 ,我们常碰到根据条件确定代数式取值范围的问题 .解这类问题 ,除了运用一元二次方程、不等式等方面的知识 ,还要用到一些解题技巧 ,现结合一道竞赛题的多种解法 ,谈谈求解此类问题的一些常用的数学思想方法 .题目　已知实数 a,b满足 a2 + ab+ b2 =1 ,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是.( 2 0 0 1年全国初中数学竞赛题第 1 2题 )1　利用二元代换解题分析 1　利用二元代换将已知条件转化为二元二次齐次方程 ,再设法运用不等式的有关知识求取值范围 .解法 1　设 a=x+ y,b=x- y,则由已知得 ( x+ y) 2 + ( x+ y) ( x- y) + ( x-…  相似文献   

巧用二次方程证明不等式     

范新华 《中学数学月刊》2001,(12):40-41

利用一元二次方程根的分布的充要条件 ,可以证明以下一类不等式 .例 1　设 x>0 ,y>0 ,且 x3 - x2 - 2 xy-y2 y3 =0 ,求证 :10 ,t>0 ,t2 - 4× t2 - t3>0 ,即 115 ,b>15 ,ab=22 5 ,求证 :a b<35 .证明　设 a b=t,ab=22 5 ,∴ a,b为一元二次方程 f (x) =x2 - tx 22 5 =0的两个根 .由于 a>15 ,b>15 ,f (15 ) >0 t<35 ,…  相似文献   

高二数学第一学期期末测试     

樊小华 《高中数学教与学》2005,(1):28-31

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,每小题 4个选项中 ,只有一项正确 )1.给出下列 4个命题 :①若a、b∈R ,则a+b2≥ab ,②若a、b∈R ,则｜a +b｜≤｜a｜+｜b｜ ;③若x∈R ,则x2 + 1>x ;④若x∈R且x≠ 0 ,则x+ 1x ≥ 2 .其中真命题的序号为 (　　 )　　 (A)①②　　 (B)②③　　 (C)③④　　 (D)①②③2 .如果直线 y =ax + 2与直线 y=3x -b关于直线 y=x对称 ,那么a ,b的值分别为(　　 )　　 (A)a =13 ,b =6　　 (B)a=-13 ,b=6　　 (C)a=3 ,b =-2　　 (D)a =3 ,b=63 .已知a>0 ,-1a>ab…  相似文献