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1.
问题不等式21≤ax2x+23+x1+b≤121对一切x∈R恒成立,求a、b的值.这是许多数学资料都选为范例或典型练习的一道题,主要解法如下:设y=f(x)=ax2+3x+bx2+1,则21≤y≤121,即函数y=f(x)的值域是[21,121].将y=f(x)变形整理得:(y-a)x2-3x+(y-b)=0,由于原不等式对任意x∈R恒成立,则这个关于x的方程必有实根,Δ≥0,即9-4(y-a)(y-b)≥0,亦即4y2-4(a+b)y+(4ab-9)≤0(※),这个不等式的解为:12≤y≤121,则y1=21,y2=121是方程(※)的两个根,则由韦达定理,得a+b=64ab-94=141ba==15,或ba==15.,这个解法是错误的,举一个反例:取a=b=3,则y=f(x)=3x2x+23+x1+3=3+3… 相似文献
2.
题 已知a、b、c ,x、y、z是实数 ,a2 +b2 +c2 =1 ,x2 +y2 +z2 =9,求 ax +by +cz的最大值。1 错解解 由均值不等式可得ax≤ a2 +x22 ,by≤ b2 +y22 ,cz≤c2 +z22 ,各式相加得 :ax +by +cz≤ a2 +x2 +b2 +y2 +c2 +z22=a2 +b2 +c2 +x2 +y2 +z22=1 +92=5 ,即 ax +by +cz≤ 5 ( )故 ax +by +cz的最大值为 5。错因 在用均值不等式求最值时忽略了等号成立的条件 ,因为要使 ( )等号成立 ,当且仅当a =x ,b =y ,c=z ,这与已知条件矛盾。所以ax +by +cz <5 ,即ax +by +cz的最大值不可能为 5。2 通解分析 该题的问题是由于a2 +b2 +c2 ≠x2 +y… 相似文献
3.
正2014年龙岩市高中毕业班教学质量检查卷文科数学第21题如下:设椭圆x2/a2+y2=1(a1)的离心率为3~(1/2)/2,过点Q(1,0)任作一条弦交椭圆于C,D两点;(1)求椭圆的方程;(2)设P为直线x=4上任意一点,kPC,kPQ,kPD分别为直线PC,PQ,PD的斜率.是否存在实数λ,使kPC+kPD=λkPQ恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.本题第(2)问的实数等于2,这与笔者在2012年9月发表在《福建中学数学》上的文章《一道上海市松江区高考模拟卷中解析几何题的推广》有类似之处. 相似文献
4.
聂文喜 《河北理科教学研究》2015,(2):39-40
1 问题来源
题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2.
笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸.
2 题源探寻
题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1). 相似文献
5.
《成人教育》1992,(5)
<正> 1.要注意层层深入要依据成人学员基础差,但分析能力强的特点,在讲课开始时,起点要低些,然后再层层深入,方可取得好的教学效果。如证明不等式(a_1~m+a_2~m+…a_n~m)/n≥((a_1+a_2+…+a_n)/n)~m,可先从(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2证起,然后横向推广,证(a~2+b~2+c~2)/3≥((a+b+c)/3)~2,(a~2+b~2+c~2+d~2)/4≥((a+b+c+d)/4)~2,……,直到证得(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)/n≥((a_1+a_2+…+a_n)/n)~2。再引导学生向纵向推广,证明(a~3+b~3)/2≥((a+b)/2)~3,(a~4+b~4)/2≥((a+b)/2)~4……,(a~n+b~n)/2≥ 相似文献
6.
7.
于志洪 《数理天地(初中版)》2002,(8)
对于任意两个实数x和y,总有x=(x+y)/2+(x-y)/2,y=(x+y)/2-(x-y)/2,若令(x+y)/2=a,(x-y)/2=b,则有x=a+b,这种代换就叫做和差代换.和差代换很有 y=a-b,用,这里介绍它在二次根式问题方面的应用. 相似文献
8.
近年高中数学联赛有这样一道题:实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则(1)/(Smax)+(1)/(Smin)的值为. 相似文献
9.
一道竞赛题的别证 总被引：2，自引：0，他引：2
题 证明 :对任意实数 a>1,b>1,有不等式a2b- 1 b2a- 1≥ 8. (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )《中学数学月刊》1999年第 11期、2 0 0 0年第 5期分别用添加项法或配置对偶式进行了证明 .兹给出另外四种证法如下 :证法 1 (增量代换 )设 a=1 x,b=1 y,x,y∈R ,则a2b- 1 b2a- 1=(1 x) 2y (1 y) 2x≥(2 x ) 2y (2 y ) 2x =4(xy yx)≥ 8.当且仅当 1=x=y,即 a=b=2时取等号 .证法 2 (三角代换 )设 a=sec2 α,b=sec2 β,α,β为锐角 ,则a2b- 1 b2a- 1=1cos4α· tan2 β 1cos4β· tan2 α=4(1 cos2α) 2 · (1 cos2β) 2s… 相似文献
10.
本文以熟知的不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2(统编高中《数学》第三册66页习题三第5题(3))为例,谈谈它的推广与应用。 (一) 不等式半(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的证明非常容易(略),细心观察其两边的结构特征,可以联想到三个实数的平方的算术平均数不小于这三个实数的算术平均数的平方,进一步还可猜想到n个实数的平方的算术平均数的一般情形,进而通过证明得出以下几个推论: 相似文献
11.
如图1:T是锐角三角形,矩形R、S的一部分内接于T,设A(x)表示图形x的面积,求:A(R)+A(S)/A(T)的最大值。这是1987年上海市中学数学竞赛第二试第一题。本文将给出这个题目的解法及结论的推广。解:如图1,作锐角三角形T的高BD,设T的底边为a,矩形R、S的长、宽分别为b、x,c、y,顶端三角形的高为z。根据三角形相似得:b/a=(y+z)/(x+y+z),c/a=z(x+y+z)于是b=(y+z)/(x+y+z)a,c=z/(x+y+z)a故(A(R)+A(S))/A(T)=2(bx+cy)/a(x+y+z) 相似文献
12.
李昭平 《数学大世界(高中辅导)》2004,(10):2-4
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1.对于实数x,y,z,下列命题中正确的是( )(A)若x>y,则xz2>yz2(B)若xxy>y2(C)若xyz2.设不等式|ax+2|<6的解集是(-1,2),则实数a的值是( )(A)8 (B)2 (C)-4 (D)-83.设a1,b1,c1,a2,b2,c2均为非零的实数,不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别是M和N.若a1a2=b1b2=c1c2,则( )(A)M=N (B)MN (C)NM(D)M与N的关系无法确定4.不等式|x-2|+|x-1|≤a有实数解的条件是( )(A)a≥0 (B)0… 相似文献
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20 0 3年中国数学奥林匹克 (CMO)最后一题为 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,满足 ab+cd= 1,点 Pi(xi,yi) (i=1,2 ,3,4 )是以原点为圆心的单位圆周上的四个点 .求证 :(ay1 +by2 +cy3 +dy4) 2 +(ax4+bx3 +cx2 +dx1 ) 2≤ 2 (a2 +b2ab +c2 +d2cd ) .文 [1]提供了一种证明方法 .本文给出构造函数与构造向量两种构造性证明 ,巧妙简易 .证法 1 (构造函数 )设 f (x) =(ax- y1 ) 2 +(bx- y2 ) 2 +(cx- y3 ) 2 +(dx- y4) 2=(a2 +b2 +c2 +d2 ) x2 - 2 (ay1 +by2 +cy3+dy4) x+(y21 +y22 +y23 +y24) ,由于 f(x)≥ 0 ,所以Δ≤ 0 ,即 4 (ay1 +by2 +cy3 +d… 相似文献
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本文所研究的是一道美国第七届数学奥林匹克试题 ,它新颖、别致 ,是一道涉及五个变量的条件最值问题 .笔者研究后发现 ,它的解法相当多 ,不下于 1 6种 .现将其中 6种鲜为人知的新解法一一写出来 ,与大家交流 .问题 :已知a、b、c、d、e∈R ,a+b +c+d+e =8,a2 +b2 +c2 +d2 +e2 =1 6,试求e的最大值 (美国第七届数学奥林匹克试题 ) .解法 1 :(基本不等式法 )由基本不等式 2xy≤x2 +y2 (x、y∈R)得 (x+y) 2 ≤ 2 (x2 +y2 ) ( 1 )令x =a+b ,y=c+d ,于是 ,由式( 1 )得[(a+b) +(c+d) ]2 ≤ 2 [(a+b) 2 +(c+d) 2 ] ( 2 )=2 (a2 +b2 +c2 +d2 +2ab… 相似文献
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对于任意两个实数x和y,总有:x=x+y2+x-y2,y=x+y2-x-y2.若令a=x+y2,b=x-y2.则有x=a+b,y=a-b.这种代换称之为和差代换.下面谈谈这种代换在求值中的应用.一、求分式值例1已知a2+b2=6ab且a>b>0,则a+ba-b=.(2001年北京市初二数学竞赛复赛题)解设a=x+y,b=x-y,同时代入a2+b2=6ab中,得(x+y)2+(x-y)2=6(x+y)(x-y),化简整理,得x2=2y2,而a>b>0,所以x>y>0,故x2y2=2,xy=2.又知a+b=2x,a-b=2y,∴a+ba-b=2x2y=xy=2.二、求根式值例2计算14+65-14-65的值是()(A)1(B)5(C)25(D)5(2000年全国数学联赛题)解设14+65=a+b,①14-65=a-b.②①×②,得a2-b2=4.③①2+②2… 相似文献
17.
有名辉 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):F0004-F0004
正第49届国际数学奥林匹克数学竞赛第2题是:设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,则x~2/(1-x)~2+y~2/(1-y)~2+z~2/(1-z)~2≥1.本文给出上述不等式的一个类比:命题1设实数x,y,z都不等于-1,且xyz=1,则x~2/(1+x)~2+y~2/(1+y)~2+z~2/(1+z)~2≥3/4. 相似文献
18.
在数学竞赛中 ,我们常碰到根据条件确定代数式取值范围的问题 .解这类问题 ,除了运用一元二次方程、不等式等方面的知识 ,还要用到一些解题技巧 ,现结合一道竞赛题的多种解法 ,谈谈求解此类问题的一些常用的数学思想方法 .题目 已知实数 a,b满足 a2 + ab+ b2 =1 ,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是.( 2 0 0 1年全国初中数学竞赛题第 1 2题 )1 利用二元代换解题分析 1 利用二元代换将已知条件转化为二元二次齐次方程 ,再设法运用不等式的有关知识求取值范围 .解法 1 设 a=x+ y,b=x- y,则由已知得 ( x+ y) 2 + ( x+ y) ( x- y) + ( x-… 相似文献
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安振平 《数理天地(高中版)》2005,(5)
题 当x,y∈R时,函数f(x,y)= (x y)2 (1/x-y)2的最小值是. (第十五届(04年)"希望杯"高二1试第18题) 解法1 由a2 b2≥1/2(a b)2,得 易知当x y=1/x-y,且x2=1/x2,即 x=±1,y=0时,f[(x,y)]min=2. 解法2 由a2 b2≥2ab,得 相似文献