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《初中数学教与学》2021,(17)
<正>韦达定理及其逆定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,它在求代数式的值,解方程(组)等方面都有着很广泛的应用.下面举例说明,供大家参考.一、求字母的值例1 已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+(m2-2(m-1)x+(m2-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α2-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α2+β2+β2=4,则m=___.解∵α,β是方程x2=4,则m=___.解∵α,β是方程x2-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m2-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m2-1,且Δ>0. 相似文献
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刘克环 《初中生世界(初三物理版)》2004,(33)
一元二次方程两根对称式的求值问题,一直为同学们所重视.然而近年来,两根非对称式的求值问题,频频出现于各地的中考数学试题中,使不少同学感到困难.这类试题的解法,说到底就是要转化为对称式的求值问题.本文拟就近年来相关中考试题分析其转化技巧,供同学们学习时参考.例1(辽宁省2000年中考试题)已知α、β是方程x2+2x-5=0的两个实数根,则α2+αβ+2α的值为.解析:∵α是方程的根,∴由方程根的定义知α2+2α-5=0,即α2+2α=5.又由根与系数的关系知αβ=-5.故α2+αβ+2α=(α2+2α)+αβ=5+αβ=0.例2(苏州市2001年中考试题)已知关于x的一元… 相似文献
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李琴堂 《少年天地(小学)》2003,(11)
一、由方程的定义确定参数例1若(m2-m-2)x2+mx+3=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是().(A)m≠-1;(B)m≠2;(C)m≠-1且m≠2;(D)一切实数.解:由一元二次方程的定义,得m2-m-2≠0,∴(m-2)(m+1)≠0,∴m≠2且m≠-1.故选(C).二、由方程根的定义确定参数例2方程x2-12x-m=0的一个根是2,那么m的值是.解:由方程根的定义,把x=2代入方程,得22-12×2-m=0,解得m=-20.三、由方程根的情况确定参数例3已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2k+1√x-1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:∵方程有两个不相等的实数根,∴△=(-2k+1√)2-4(1-2k)×(-1)=-4k… 相似文献
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要学好数学,必须学会阅读数学课本和其它数学书刊,增强自己的阅读能力,有了阅读能力,还能为终身学习以及适应全球知识爆炸、知识日新月异的社会打下坚实基础.对阅读能力的考查受到了广泛重视,许多地方的中考试卷中特地设置了阅读题.例1(沈阳市2004年)阅读下列解题过程:题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解∵△=32-4×1×1=5>0,∴α≠β.(1)由一元二次方程的根与系数的关系,得α+β=-3,αβ=1.(2)∴αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.(3)阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出… 相似文献
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一元二次方程是初中数学的重要内容之一 ,以一元二次方程知识为背景的问题是历年中考的热门试题 .这里与同学们交流一下如何恰当地构造一元二次方程 ,利用根与系数的关系或判别式解题 .一、解不等式问题例 1 已知一元二次方程 2x2 -2x + 3m-1 =0有两个实数根x1 、x2 ,且它们满足不等式 x1 x2x1 +x2 -4 <1 ,求实数m的取值范围 .解 由题意得 :x1 +x2 =1 ,x1 x2 =3m -12 ,代入上式得3m-121 -4 <1 ,∴m >-53.又由Δ≥ 0可得4-4 × 2 ( 3m -1 ) ≥ 0 ,∴m ≤ 12 .∴m的取值范围是 -53相似文献
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高英军 《少年天地(小学)》2003,(11)
一元二次方程根的判别式主要用于判断方程根的情况,灵活运用它还可以解决其它问题.一、用于求值例1如果代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,求m的值.解:∵代数式(2m-1)x2+2(m+1)x+4是完全平方式,∴(2m-1)x2+2(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.∴△=〔2(m+1)〕2-4×4(2m-1)=0.解之,得m=1或m=5.二、用于求最值例2已知a、b都是正实数,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解:设a+b=k,则b=k-a,将b=k-a代入a3+b3=2,并以a为主元整理,得3ka2-3k2a+k3-2=0.∵a是正实数,则关于a的方程必有实数根,∴△=(-3k2)2-12k(k3-2)≥0,解得0相似文献
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在中考复习中,注意某些公式、法则的适用范围以及它的限制条件,是很有必要的.在本文中,我们一起探讨数学中考中容易失分的几个问题.希望能引起同学们的重视,避免摔倒在别人多次绊倒的地方.一、忽视根的判别式例1设x1,x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个根.当m为何值时,x12+x22有最小值?求出这个最小值.错解:已知方程的两根是x1,x2,∴x1+x2=2m,x1·x2=2m2+3m-22 .∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2×2m2+3m-22=2m2-3m+2=2(m-34)2+78.(1)∴当m=34时,x12+x22有最小值78.分析:∵x1,x2是原方程的两实根,∴Δ=(-4m)2-4×2(2m2+3m-2)≥0.解得:m≤23.… 相似文献
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一元二次方程ax2 +bx +c =0(a≠0)根的判别式是b2-4ac,通常用符号"△"来表示.当△＞0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△＜0时,方程没有实数根;反之也成立.判别式不仅用来判断一元二次方程根的情况,也可以解决其他数学问题.一、求字母的值
例1 (2012年广州卷)已知关于x的一元二次方程x2-2√3x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为____.
解:∵方程x2-2√3x+k=0有两个相等的实数根,∴△=(-2√3)2-4k=0.
∴12-4k=0,解得k=3.故填3.
温馨小提示:这是判别式的典型应用.我们要熟记判别式值的正负与根的个数之间的关系. 相似文献
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宋子模 《初中生学习(中考新概念)》2004,(11)
在中考数学试卷中和中考数学复资料中,常常碰到一元二次方程公共的问题.在求这类问题时,一般的方是应用方程的根的定义,并借助方程的相关知识加以解决.现向同学们绍一种巧求的方法.例1 方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0有一个公共根,求这个公共根m的值.解:设这个公共根为α,则α2+mα+6=0 (1)α2-(m+4)α-12=0 (2 ) (1) + (2) 得:2α2- 4α-6 = 0,即α2-2α-3=0,∴α1= -1,α2=3.当α=-1时,m = 7,当α= 3时,m =-5. ∴方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0 . 当m = 7时,公共根是-1;当 =-5时,公共… 相似文献
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《华夏少年(简快作文 )》2006,(Z1)
一、探究解题新思路题型一通过阅读理解,改正解题中的错误典例1阅读下列解题过程:题目:已知方程x2 3x 1=0的两个根为α、β,求αβ! αβ!的值.解:∵Δ=32-4×1×1=5>0,∴α≠β(1)由一元二次方程的根与系数的关系,得α β=-3,αβ=1(.2)∴αβ! αβ!=!α!β !!αβ=α β!αβ=-13=-3(.3)回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.研析:此类考查代数中解题过程错误的阅读理解题,考查重点往往是一些容易被我们忽视的隐含条件.例如本题中αβ! !α!β(α≥0,β>0)的错误运用,应对这些隐含条件特别重视… 相似文献
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吴复 《数理化学习(初中版)》2006,(9)
一元二次方程的根的判别式和韦达定理(根与系数关系)在解题中有广泛的应用,近年来中考中屡屡以压轴题形式出现,现举例说明·例1(四川省)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0,①的两个不相等实数根中有一个根为0,是否存在实数k,使关于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0,②的两个实数根x1、x2之差的绝对值为1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由·解:因为方程①有两个不等实根,所以Δ=|-2(m+1)|2-4(m2-2m-3)=16m+16>0,所以m>-1·又因为方程①有一根为0,所以m2-2m-3=0,即(m-3)(m+1)=0·解得m1=-1,m2=3·又因为m>-1,所以m1=-1应舍去,所以m=3·当… 相似文献
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一、一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等综合问题。例1 已知关于x的一元二次方程x^2＋（2m-3）x＋m^2=0的两上不相等的实数根α、β满足1／α＋1／β=1，求m的值。 相似文献
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一元二次方程是初中数学的重要内容,也是中考的热点.下面以2013年中考题为例,说明一元二次方程中常用的数学思想.
一、整体思想
例1 (2013年黔西南卷)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是____.
解析:∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,
∴12+a+b=0,∴a+b=-1,
∴.a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.
温馨小提示:本题主要考查一元二次方程解的概念,把根直接代入方程,即可求得a+b的值,然后整体代入求出代数式的值. 相似文献
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设α、β为一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的二根,利用韦达定理和恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ可求得α~2 β~2的值,进而解决一些问题。类似的恒等式还有(α-β)~2=(α β)~2-4αβ,α~3 β~3=(α β)[(α β)~2-3αβ]等。一、求代数式的值例1 a为实数,方程x~2 2x a=0的两根为α,β,求|α| |β|的值解:α β=-2,α·β=a,当△=4-4a≥0,即a≤1时,α,β为实数, 相似文献
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例1已知tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根,且α,β(-π2,2π),则α+β的值为A.π3B.-23π或3πC.-π3或23πD.-23π错解∵tanα+tanβ=-3√3,tanαtanβ=4,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13√-43=√3.又α,β(-π2,2π),∴α+β(-π,π).因此,α+β=-2π3或π3.选B.辨析错在忽视了tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两个负根这一隐含条件.正解∵tanα+tanβ=-3√3<0,tanαtanβ=4>0,∴tanα,tanβ为方程x2+3√3x+4=0的两个负根,即tanα<0,tanβ<0.又α,β(-π2,2π),∴α,β(-π2,0),α+β(-π,0).又tan(α+β)=tanα+tanβ1-t… 相似文献
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随着数学课程理念的变化,阅读理解题已成为近年来中考命题的热点.这类题目形式灵活多样,既考查同学们的阅读理解能力,又考查同学们获取信息后的抽象概括能力和决策判断能力,对提高同学们的逻辑思维能力,强化数学应用意识都有重要的意义.下面将这类题目进行分类解析,供同学们参考.一、判断纠错型例1阅读下列解题过程.题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解:因为Δ=32-4×1×1=5>0,所以α≠β.①由一元二次方程根与系数的关系,可得α+β=-3,αβ=1,②所以αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.③阅读… 相似文献
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他山之石 ,可以攻玉 .在教学中 ,如果注意应用增元思想 ,往往能起到化难为易 .出奇制胜的作用 ,有助于培养学生创新思维 ,提高学生解题能力 .1 巧配对 化难为易例 1 已知α、β是方程ｘ2 +ｘ- 1=0的两根 ,求 α2β 的值 .解 由韦达定理知α +β=- 1,αβ=- 1.设Ｍ =α2β,Ｎ =β2α(配对 ) ,则Ｍ+Ｎ =β2α +α2β =α3 +β3αβ(α +β) [(α+β) 2 - 3αβ]αβ =4 ,ＭＮ =α2β· β2α =αβ =- 1,所以Ｍ、Ｎ是一元二次方程ｘ2 - 4ｘ- 1=0的两根 .解方程得Ｍ =2± 5 ,∴ α2β =2 ± 5 .例 2 若α、β是方程 ｙ2 - 2ｙ- 1=0的两根 … 相似文献
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一元二次方程是初中数学竞赛的一个重要内容 .巧妙地依据题目的特点构造一元二次方程 ,再利用一元二次方程的相关知识解题是一种重要的解题方法 ,在竞赛中有广泛的应用 ,常能化难为易 ,化繁为简 ,下面举例说明 .1 求值例 1 设实数 s,t分别满足 1 9s2 + 99s+1 =0 ,t2 + 99t+ 1 9=0 ,并且 st≠ 1 ,求st+ 4 s+ 1t 的值 .解 ∵s≠ 0 ,∴ 1 9s2 + 99s+ 1 =0可变形为 ( 1s) 2 + 99( 1s) + 1 9=0 ,又∵ t2 + 99t+ 1 9=0 ,st≠ 1 ,∴ 1s,t是方程 x2 + 99x+ 1 9=0的两个不等的实数根 ,∴ 1s+ t=- 99,1s· t=1 9,即 st+ 1 =- 99s,t=1 9s.∴ st+ 4 s… 相似文献
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杜增藩 《课程教材教学研究(小教研究)》2005,(Z1)
在解与实数相关的问题时,常常用到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,这里谈谈判别式的具体应用中的一些错解。一、待定系数的求值问题例1.已知关于x的方程x2-mx-n=0的两根的积比两根之和的2倍小12,并且两根的平方和为22,求m,n的值。错解:设两根分别为x1、x2则x1+x2=m,x1x2=-n依题意,得2(x1+x2)-x1x2=12x21+x22=2 2即2m+n=12m2+2n=2 2解得m1=7n1=-272 或m2=-3n2=132 分析:∵方程有两根,∴△≥0即m2+4n≥0,但m1=7,n1=-272时,△<0。不合题意,应舍去。当m2=-3,n2=132时△>0∴m=-3,n=132例2.已知一元二次方… 相似文献