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勾股定理及其过定理是几何中十分重要的两个定理，它们在解题中应用比较广泛．现举几例说明它们在几何解题中的综合运用．一判断三角形形状例１如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，且ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ．求证：△ＡＢＣ为直角三角形．证明在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，由勾股定理得ＡＢ２＝ＢＤ２＋ＡＤ２，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＤ２＋２ＡＤ２＋ＣＤ２．ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，ＡＢ２＋ＡＣ２＝（ＢＤ＋ＣＤ）．即ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２．根据勾股定理的逆定理知△ＡＢＣ为直角三角形．二求角度例２如图２，ＡＢＢＣ，ＣＤＡ… 相似文献
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勾股定理是平凡中的重要定理,应用十分广泛．本文专门介绍它在几何计算中的应用．由于题目中的条件不同,用法也不相同,那么我们怎样用好定理呢？一、根据条件直接用定理这类题目很多,仅举一例供大家体会．例１如图,在Ｒｔ△ＡＢＣ中,ＡＣＢ＝９０°,ＣＤＡＢ于Ｄ．若ＡＢ＝１３,ＣＤ＝６,求ＡＣ＋ＢＣ的长．解在Ｒｔ△ＡＢＣ中,由勾股定理得ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２．ＡＢ＝１３,ＡＣ２＋ＢＣ２＝ＡＢ２＝１３２＝１６９．ＣＤＡＢ, Ｓ△ＡＢＣ＝ＡＣ·ＢＣ．由面积关系,得ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ＝１３×６＝７８．（ＡＣ＋Ｂ… 相似文献
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勾股定理是平面几何中的重要定理之一，其重要地位，被数学家形象地誉为欧氏几何的“拱心石”．勾股定理及其道定理有着广泛的应用，本文举例说明勾股定理及其道定理在几何证明中的应用．勾股定理表达式中的每一项都是线段的平方，所以，在几何证明中，凡涉及有关线段平方的和差关系或线段平方与线段积的和差关系的几何命题，都可以考虑应用勾股定理及其道定理来证明．例Ｉ已知：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，点Ｄ、Ｅ分别在ＢＣ、ＡＢ上．求证：ＡＤ２＋ＣＥ２＝ＡＣ２＋ＤＥ２证明在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＢＣＥ中，由勾股定理有Ａ… 相似文献
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直角三角形两直角边ａ、ｂ的平方和，等于斜边ｃ的平方，即ａ２＋ｂ２＝ｃ２这就是我们所熟悉的勾股定理。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．灵活应用它，不仅可以解决与直角三角形有关的计算问题，一些与斜三角形有关的计算问题也可通过添作垂线后获得解决．现以近年来的中考题为例介绍勾股定理在几何计算中的应用．例１如图１，Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高，已知ＡＤ＝４，ＢＤ＝１６，则ＣＤ＝（１９９５年甘肃省中考题）解在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝２０，ＡＣＺ＋ＢＣＺ一ＡＢＺ一４００．在Ｒｔ凸ＡＣＤ和… 相似文献
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证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ… 相似文献
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我们知道,三角形的外角有这样的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,大于任何一个与它不相邻的内角．这个性质是研究三角形的重要基础知识,应用也非常广泛．现分类举例说明．一、计算角度例１如图１,Ｄ是△ＡＢＣ中ＣＢ的延长线上一点,ＤＯＡＢ于０,Ｃ＝４０°,Ｄ＝３０°,求１和Ａ．解１＝９０°＋Ｄ＝９０°＋３０°＝１２０°,Ａ＝１８０°－１２０°－４０°＝２０°．例２如图２,△ＡＢＣ中,ＢＤ平分ＡＢＣ,１＝３,４＝５,求５的度数．解设１＝３＝ｘ,则２＝ｘ,５＝４＝１＋３＝２ｘ．在△ＢＣＤ中,… 相似文献
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谢守宁 《中学数学教学参考》1999,(11)
文［１］给出了三角形内接平行四边形的两个性质定理,笔者发现很容易将其移植到空间中去．为了便于说明,先将文［１］中两个定理抄录如下：定理１ △ＡＢＣ中,Ｄ为ＢＣ上一点,Ｅ、Ｆ分别在ＡＣ、ＡＢ上,且ＤＥ∥ＡＢ,ＤＦ∥ＡＣ,分别记△ＢＦＤ、△ＣＥＤ、ＡＦＤＥ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ′,Ｓ△,则（１）Ｓ′＝２Ｓ１Ｓ２;（２）Ｓ△＝（Ｓ１＋Ｓ２）２．（图１）定理２ △ＡＢＣ中,四边形ＤＥＦＧ为内接平行四边形,分别记△ＡＤＥ、△ＢＤＧ、△ＥＦＣ、ＥＦＧＤ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ′,… 相似文献
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勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它在解有关直角三角形的问题中有广泛的应用．现举例说明它在几何计算中的应用，供同学们参考．例１如图１，凸四边形ＡＢＣＤ中，四边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ和ＤＡ的长分别是３、４、１２和１３，∠ＡＢＣ＝９０°，则四边形ＡＢＣＤ的面积是多少？（第七届“希望杯”竞赛试题）分析由题设ＡＢ＝３，ＢＣ＝４且∠ＡＢＣ＝９０°，连结ＡＣ得Ｒｔ△ＡＢＣ，根据勾股定理易求ＡＣ＝５．在△ＡＣＤ中根据勾股定理的逆定理可以判定△ＡＣＤ为直角三角形．计算两直角三角形面积之和即为四边形ＡＢＣＤ的… 相似文献
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三角形三边关系定理及其推论有多方面的应用,现举例分述如下：一、证明线段间的不等关系．常用于证明两线段的和（差）大于（小于）第三线段．一般是选择或构造三角形,使这个三角形以相关线段为边,然后用定理或推论证明．例１如图,已知Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ内的两点．求证：ＡＢ＋ＡＣ＞ＢＤ＋ＤＥ＋ＥＣ．证明延长ＤＥ交ＡＣ于点Ｇ,延长ＥＤ交ＡＢ于点Ｆ．在△ＡＦＧ中,ＡＦ＋ＡＧ＞ＦＧ．（１）在△ＦＢＤ中,ＦＢ＋ＦＤ＞ＢＤ．（２）在△ＧＣＥ中,ＧＣ十ＥＧ＞ＥＣ．（３）将（１）、（２）、（３）式相加,得ＡＦ＋ＡＧ＋ＦＢ＋ＦＤ… 相似文献
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几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝… 相似文献
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王淑兰 《中学数学教学参考》1999,(10)
１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１ 从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２ 已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ… 相似文献
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要学好《多边形》一章的知识,关键要抓住下面三个转化．一、将多边形问题转化为三角形问题（或四边形问题）来研究例１已知一个四边形ＡＢＣＤ（如图１）,作一条线段ａ,使它等于四边形两条对角线长的和;作一条线段ｂ,使它等于四边形的周长．试比较线段ａ、ｂ的大小．（《几何》第二册１３０页Ａ组第２题）分析证明四边形中线段不等关系,可转化为三角形,利用三角形中的三边关系定理来处理．在四边形ＡＢＣＤ中,作对角线ＡＣ、ＢＤ．在△ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＢＣ＞ＡＣ;①在△ＡＢＤ中,ＡＢ＋ＡＤ＞ＢＤ;②在△ＢＣＤ中,ＣＤ＋ＢＣ＞… 相似文献
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文［１］给出了对角互余四边形的一个性质： 定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°,则 ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２ 逆定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２,则 ∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°。 但逆定理的结论 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个图形．根据三角形全等的定义,可得如下性质：１．全等三角形的对应边相等;２．全等三角形的对应角相等．对于某些几何竞赛题,考虑构造全等三角形来利用上述性质,可使其解答巧妙、简捷．例１如图１,△ＡＢＣ中,ＡＢ＝５,ＡＣ＝３,则ＢＣ边上的中线ＡＤ的长ｌ的取值范围是（）（Ａ）１＜ｌ＜４;（Ｂ）３＜ｌ＜５;（Ｃ）２＜ｌ＜３;（Ｄ）０＜ｌ＜５．（１９９７年希望杯全国数学邀请赛初二试题）解延长ＡＤ到Ｅ,使ＤＥ＝ＡＤ,连ＢＥ,那么ＡＥ＝２ｌ．ＢＤ＝ＣＤ,１＝２,ＥＤ＝ＡＤ,△ＢＤＥ△… 相似文献
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相似三角形是本学期《几何》的重点内容．通过证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质进行计算或证明的题型，也是统考命题的热点．本文就此归纳一些常见的题型，供同学们学习和参考．一、证角相等例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ为梯形，ＣＤ／／ＡＢ，ＡＢＣ＝９０°，Ｅ为对角线交点，ＥＦ ＢＣ于Ｆ．求证：ＥＦ平分ＡＦＤ．分析 要证ＥＦ平分ＡＦＨ，即证１＝２，但△ＨＥＦ与△ＡＥＨ明显不相似，考虑到１＋３＝２＋４＝９０°，转而去证３＝４．由已知条件知ＥＦ／／ＤＣ／／ＡＢ，因。，ＣＦＤＥＣＤＤＥｒ。＿ＣＦＣＤ＿＿ｆ”Ｆ… 相似文献
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大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８… 相似文献
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三角形中线一个性质的巧用□兰州科学院中学封自珍三角形中线分三角形成两个面积相等的三角形,这一性质在解题、证题中应用很广泛．例１已知Ｅ、Ｆ分别是ＡＢＣＤ的边ＡＤ、ＣＤ的中点．求证Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＦＣＢ．分析：连结ＢＤ,得Ｓ△ＡＢＥ＝１２Ｓ△ＡＢＤ,... 相似文献