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1.
刘延炳 《山西教育(综合版)》2000,(4)
二次根式是初中阶段必须掌握的基础知识之一,学习这部分内容应注意以下几个要点:一、根号里面代数式的取值必须使式子有意义。如在式子1-x x-1中,应有1-x≥0且x-1≥0,即x≤1且x≥1,因此x只有取1式子才有意义。二、化简二次根式的结果应是非负数。二次根式是一个非负数,在化简二次根式时,必须正确运用公式a2=|a|=a(a≥0)-a(a<0)确定符号。如当m相似文献
2.
二次根式求值问题是二次根式学习中常见的一种问题.解答它们,仅仅考虑常规的先化简后代入的方法有时很难奏效,必须巧用一些其他的方法.
一、巧用二次根式的定义
例1 已知x、y为实数,且满足√1+x-(y-1)√1-y=0,则x2011-y2011=______.
分析:由二次根式的定义,得√1 +x ≥0、√1-y≥0,那么y-1≥0.又1-y≥0,则y的值可以求出.随之,x的值也可以求出.
解:已知等式为√1+x=(y-1)√1-y.
∵√1+x≥0,√1-y≥0,
∴√y-1≥0,1-y≤0.
又∵1-y≥0,
∴1-y=0,y=1.
把y=1代入已知等式,得√1+x=0,x=-1.
则求式=(-1)2011-1=-2. 相似文献
3.
韩富文 《中学课程辅导(初一版)》2006,(7):32-32
进入初中阶段,绝对值问题是学生们感觉较难的问题.无论是从绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义,都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性,也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数,即:无论a取任意有理数都有a≥0.下面对关于绝对值的化简题作一探讨.一、已知未知数的取值或取值范围进行化简例1当x>2时化简2x-3 x(根据绝对值的意义直接化简).解:原式=2x-3 x=3x-3.例2当x<-5时化简2x-5 6x.解:原式=-(2x-5) (-6x)=-2x 5-6x=-8x 5.二、没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简例3化简x-5 2x(必须进行讨论).我们把使绝对值符号内的代数式为0… 相似文献
4.
一、利用对称式求解例 1 .已知 :a=15- 2 ,b=15 2 ,求a2 b2 7的值。解 :由题设可得 a b=2 5,ab=1。∴原式 =( a b) 2 - 2 ab 7=( 2 5) 2 - 2 7=2 5=5。二、定义法求解例 2 .已知 y=x- 8 8- x 1 8,求代数式 x yx - y- 2 xyx y - y x的值。解 :依据二次根式的定义 ,知 x- 8≥ 0 ,且 8- x≥ 0 ,∴ x=8,从而 y=1 8。∴原式 =x yx - y- 2 ( xy) 2xy( x - y )=( x - y ) 2x - y =x - y=8- 1 8=- 2 。三、用非负数性质求解例 3.如果 a b | c- 1 - 1 | =4a- 2 2 b 1 - 4,那么 a 2 b- 3c=。解 :将原条件式配方 ,得 ( a- 2 - 2 ) … 相似文献
5.
在《二次根式》一章的学习中,规定如果没有特别说明,根号内被开方数都表示非负数。因此对于一些具体问题,要根据题目特点,以二次根式的概念为依据对字母的取值进行,充分挖掘其隐含条件,现举例说明。例1化简-a1.分析:根据二次根式定义,开方数-1a应是非负的,又分母不能为零,所以根式中隐含着a<0.解:-1a=-aa2=|1a|-a=-1a-a.例2把(x-1)11-x的根号外面的因式移到根号内。分析:a2=a(a≥0)有时我们可反用,即a=a2,使解题更方便,但要注意a≥0这个条件,本题不能随意的将x-1放到根号内,因为题目中有隐含条件即1-x>0,亦x-1<0所以x-1=-(1-x)=-(1-x)2解:(x… 相似文献
6.
李占斌 《山西教育(综合版)》2000,(8)
二次根式在初中代数中占有很重要的地位。这一部分的重、难点都是关于二次根式的运算和化简 ;特别是关于 a2的化简 ,在整个初中代数中都是难点。而这些重点以及难点的掌握就是对二次根式意义的理解和掌握。为了避免在学习中出现类似于(- 2 ) (- 3) =- 2× - 3及 (x- 1 ) 2 =x-1 (x≤ 1 )的错误 ,就要加强对二次根式意义的教学 ,使学生真正理解并掌握好二次根式的意义。关于二次根式的意义 ,应从三个方面理解 :第一 ,a(a≥ 0 )的被开方数是一个非负数 ;第二 ,a (a≥ 0 )本身是一个非负数 ;第三 ,(a ) 2 =a(a≥ 0 )及 a=(a ) 2 (a≥ 0 )的掌握… 相似文献
7.
刘玉东 《数理天地(初中版)》2003,(1)
学习二次根式,以下六个内容最重要. 1.二次根式的定义式子(a≥0)叫做二次根式,a叫做被开方数,它必须是非负数,它可以是一个数字,如;也可是一个含字母的代数式,如,它们的被开方数同样也必须是非负数,即应当有1-3x≥0,a2+2ab≥0. 相似文献
8.
形如a~1/2(a≥0)的式子叫做二次根式.它有一条很重要的性质,就是:a~1/2≥0(a≥0).这里a~1/2是一个非负数,而被开方数a也是一个非负数.二次根式的这条性质可称为二次根式的"双非负性".下面例析这一性质在解题中的应用.例1(1)能使x-5~1/2有意义的x的取值范围是________; 相似文献
9.
韩富文 《数理化学习(初中版)》2006,(4)
进入初中阶段,绝对值总是学生们感觉较难的问题·无论是从绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义,都揭示了绝对值的一个重要性质———非负性,也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数,即:无论a取任意有理数都有|a|≥0·下面关于绝对值的化简题作一探讨·一、含有一个绝对值符号的化简题1·已知未知数的取值或取值范围进行化简·如,当x>2时化简|2x-3|+x(根据绝对值的意义直接化简)解:原式=2x-3+x=3x-3·2·没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简·如,化简|x-5|+2x(必须进行讨论)我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值,… 相似文献
10.
二次根式化简的题目中 ,某些条件常在题目中隐含着 ,致使某些同学解题时感到困难 .怎样发现题目中的隐含条件 ,是解题的一个难点 ,如何突破这个难点 ,正确进行二次根式的化简呢 ?最根本的是要深刻理解二次根式的概念 .九年义务教育初级中学教科书《代数》第二册是这样定义的 :式子a(a≥ 0 )叫做二次根式 .这里包含着两层意思 :1.如果己知式子a是二次根式 ,那么被开方数a一定是非负数 ;2 只有当被开方数a是非负数时 ,式子a才叫做二次根式 .由定义可知二次根式aa ≥ 0 .例 1 化简根式 -a3 =.分折 根据二次根式的概念可知 ,被开方数应该为非… 相似文献
11.
陆龙 《中学课程辅导(初二版)》2003,(2)
初学二次根式要注意以下五个问题:一、理解二次根式定义式子a~(1/a)(a≥0)叫做二次根式,理解二次根式的定义应注意三点:1.a的取值范围是a≥0;2.a~(1/a)(a≥0)是一个非负数; 相似文献
12.
代数式的条件求值问题是初中数学竞赛中出现频率较高的题型之一 .根据已知条件求代数式的值 ,不仅涉及到代数式的化简、变形和运算 ,而且由于给出条件的多样性 ,还需要灵活运用条件的各种技能 .解这类问题的关键在于对条件的深入分析和找出条件与结论之间的联系 ,本文结合笔者多年来的教学实践介绍代数式的条件求值问题的常用解题策略 .1 借用取值范围求值例 1 已知 y=x2 - 25x- 4- x2 - 24 - 5x+ 2 ,则 x2 + y2 =.( 2 0 0 0年重庆市初中数学竞赛题 )解析 因为二次根式有定义的取值范围是被开方数非负 ,所以 x2 - 25x- 4≥ 0且 x2 - 24 -… 相似文献
13.
二次根式中主要难点是正确理解与动用公式 :a2 =| a| =a ( a≥ 0 )- a ( a <0 ) ,实际运用时 ,则要牵涉到对字母取值范围的讨论 .为此在运用时应注意以下几点 :1.公式中的 a可以是任意实数 ,a2是非负数 ,a2也是非负数 ,它是 a2的算术平方根 .2 .在化简时 ,一定要弄清根号内字母 a是正值 ,0 ,还是负值 .3.动用公式 a2化简二次根式的一般步骤 :( 1)去掉根号及被开方数的指数 ,写成绝对值的形式 ,即 a2 =| a| .( 2 )去掉绝对值的符号 ,如果已知 a的符号 ,则根据绝对值的意义化简 ;如果不知道 a的符号 ,就应分 a≥ 0 ,a <0两种情况分别表示 … 相似文献
14.
数学思想是解决数学问题的金钥匙.在解决二次根式问题时,常用到如下数学思想:
一、方程思想利用二次根式的非负性和非负数的性质,通过列方程(组)来解决问题.
例1 (2012年宁波卷)已知实数x,y满足√x-2+(y+1)2=0,则x-y等于().
A.3 B.-3
C.1 D.-1
解:由二次根式、偶次方的非负性和非负数的性质可知x-2=0,y+1=0,解得x=2,
y=-1,x-y=2-(-1)=3.选A.
温馨小提示:非负数(如绝对值、偶次方、算术平方根等)是具有特殊性质的数,一个等式中有两个未知数,利用非负数的性质构造方程组,从而求出未知数的值. 相似文献
15.
《语数外学习(初中版)》2015,(1):22-23
一、二次根式的概念和性质1.二次根式的概念:形如a1/2(a≥0)的式子叫做二次根式.注意点:在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意,因为负数没有平方根,所以a≥0是a1/2为二次根式的前提条件,如51/2,x2+11/2,x-11/2(x≥1)等都是二次根式,而-21/2,-x2-11/2等都不是二次根式.2.二次根式的性质: 相似文献
16.
何东林 《山西教育(综合版)》2000,(6)
大家知道 ,式子 a (a≥ 0 )叫做二次根式。理解这个概念 ,要注意以下几点 :1 .表示非负数 a的算术平方根的式子叫做二次根式。2 .在实数范围内 ,负数没有平方根 ,所以当 a<0时 ,a没有意义 ,如 - 1、 - 2不能叫做二次根式 ,而2 x- 4只有当 2 x- 4≥ 0 ,即 x≥ 2时才是二次根式。3.二次根式和无理数是两个完全不同的概念。例如4是二次根式 ,而它的值等于 2是有理数。同样 ,二次根式 9、 1 6也是有理数。当然 ,二次根式 2、- 3就是无理数。但π也是无理数 ,它却不是二次根式。 4.二次根式和它的值。二次根式 9的值是 3,而二次根式3的值是无… 相似文献
17.
周奕生 《中学课程辅导(初三版)》2006,(7):17-17
在实数范围内,二次根式%!a表示非负数a的算术平方根,它具有两个非负性:(1)%!a≥0;(2)a≥0.运用这两个简单的非负性,再结合非负数的性质“若几个非负数的和等于0,则这几个非负数都等于0”,可以解决一些似乎无从下手的算术平方根问题.例1已知%!x y-3 %!2x-y 6=0,求x、y的值.分析: 相似文献
18.
崔瑞杰 《山西教育(综合版)》2001,(6)
( a ) 2 =a( a≥ 0 )和 a2 =|a|是二次根式中两个很重要的公式 ,是运算法则的基础 ,在应用中必须弄清它们的异同点。上述两公式有哪些联系和区别呢 ?一、它们的定义不同。基本公式 : .( a ) 2 =a( a≥ 0 )。 . a2 =|a|=a( a>0 ) ,0 ( a=0 ) ,- a( a<0 )。强调注意 :1.两个公式中字母 a的取值范围不同 ,公式 中字母 a≥ 0 ,即 a是非负数 ;而公式 中的 a可取一切实数。例如 :等式 ( 2 x- 3) 2 =2 x- 3成立的前提是 2 x- 3≥ 0 ,即 x≥ 32 ,因为只有满足了这个条件 ,2 x- 3才有意义 ;而等式 ( 2 x- 3) 2= |2 x- 3|恒成立 ,即无论当 2 x- 3>0… 相似文献
19.
蔡网兰 《山西教育(综合版)》2003,(8):26-26
一、随意变形例 1.函数 y=x+ 3· x- 3中 ,自变量 x的取值范围是。 (2 0 0 2年全国重点名校中考模拟题 )错解 :∵ y + x+ 3· x- 3=(x+ 3) (x- 3) =x2 - 9,∴ x2 - 9≥ 0 ,解之得 x≥ 3或 x≤ - 3。剖析 :因为变形后的函数 y=x2 - 9与变形前的函数 y=x+ 3· x- 3,它们的自变量取值范围不同 ,故出现错解。正解 :要使函数有意义 ,必须x+ 3≥ 0 ,x- 3≥ 0 ; 解之得 x≥ - 3,x≥ 3。∴自变量 x的取值范围是 x≥ 3.二、随意约分例 2 .函数 y=x2 + x- 2x2 - x- 6 中 ,自变量 x的取值范围是。 (2 0 0 2年山东省烟台市中考模拟题 )错解 :因为 y=(x… 相似文献
20.
类型一 :二次根式的意义例 1 x是怎样的实数时 ,下列各式在实数范围内有意义 ?(1) 2 x- 3; (2 ) x2 - 2 x + 1;(3) 7- 3x; (4) x2 - 2 x + 2。简析 :对于二次根式 a ,只有当被开方数 a上非负数时 ,a才有意义 ;否则 ,如果被开方数是负数 ,二次根式 a没有意义。若被开方数是多项式时 ,则多项式中字母的取值必须使多项式的值不小于零 ,此时往往需要把此多项式进行变形。简答 :(1) x≥ 32 ;(2 )任意实数 ;(3) x≤ 73;(4)任意实数。类型二 :最简二次根式的概念例 2 下列二次根式中 ,最简二次根式是 ( )A. a+ 12 ; B. a2 + 1;C. … 相似文献