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在反函数的教学中,一个有趣的问题是:函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象如果有交点,交点是否都在直线y=x上?有不少人认为答案是肯定的.但是显然,函数f(x)=1/x(x∈R)与其反函数的图象的交点并不都在直线y=x上.又如f(x)= 相似文献
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研究了y=f(x)与f-1(x)图象交点的关系;给出了交点必在直线y=x上的一个充分条件和它们存在交点的一个充要条件。 相似文献
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赵强 《中学生数理化(高中版)》2004,(6):11-11
误解1:函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象的交点在直线y=x上. 教材上例题涉及的函数及我们接触的函数的图象与其反函数的图象的交点大多 直线y=x上,所以不少同学就认为函数若与其反函数不是同一函数,且函数与其反函 的图象有交点,则交点必在直线y=x上,但这种观点是错误的.现举两例,希望同学们 明确这个问题._ 如函数y=7-3x,其图象过(2,1)点,其反函数y= 7-x2 3(x≥0)的图象也过(2,1)点,故函数y=7-3x与其 反函数图象的一个交点为(2,1)点.又由函数与其反函数的 图象关于直线y=x对称,故点(2,1)关于直线y=x的对称 点(1,2)也是函数y=7-3… 相似文献
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于先金 《数理天地(高中版)》2003,(2)
大家知道,函数f(x)和它的反函数f-1(x)的图象关于直线y=x对称;两个图象不一定有交点,有交点时,交点也未必都在直线y=x上.但有下面的 相似文献
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党效文 《数理天地(高中版)》2002,(5)
例1 方程x+lgx=3和方程x+10x=3的根分别为α、β,求α+β. 解因为lgx=3-x,10x=3-x. 没f(x)=lgx,则 f-1(x)=10x. 分别作出函数f(x)、f-1(x)和直线y=3-x的图象,y=f(x)与Y=3-x的交点A(α,3-α),y=f-1(x)与y=3-x的交点为B(β,3-β).而 相似文献
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潘冬林 《数理天地(高中版)》2002,(3)
由反函数定义与性质可得两个正确命题: 1.函数y=f(x)的定义域、值域分别是它的反函数y=f-1(x)的值域、定义域. 2.函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. 但对如下问题同学们总是有疑问: 相似文献
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求 f(x) (x∈A ,y∈C)与f- 1(x)交点 ,一般方法是 :由 f(x)求出 f- 1(x) ,再求A∩C ,最后在x∈A ∩C下求解方程组 y=f(x) ,y=f- 1(x) .本文避开对f- 1(x)的分析 ,仅从 f(x)的特征出发 ,获得了求解f(x)与 f- 1(x)交点的一种新方法 .该方法较一般方法少了求 f- 1(x)的表达式 ,且对 f(x)也无苛刻的单调性要求 .另外 ,本文给出了交点的特征 (推论1)及从单调函数与非单调函数、分段函数与非分段函数方面给出了 5个典型应用例子 .记 y=f(x)x =f(y) 为方程组 (※ ) .定理 1 设 y=f(x) (x∈A ,y∈C)存在反函数 y =f- 1(x) ,则 y =f(x)与 y=f- 1… 相似文献
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有些资料上,在处理方程f(x)=f_(-1)时,往往转化成解方程f(x)=x,这种转化的根据是:“两个函数若互为反函数,则它们的交点在直线y=x上”,事实上,这个结论是错误的,因为互为反函数的函数图象关于直线y=x对称,若y=f(x)与y=f_(-1)(x)的图象有交点M(a,b)(其中a≠b),则M’(b,a)是它们的另一交点.一般地,有如下性质: 相似文献
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《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z1)
定理定义在R上的函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称的充要条件是f(x)=f(2a-x)(a∈R)证明:(1)充分性由f(x)=f(2a-x)可知若点A(x,y)是y=f(x)的图象上的任意一点,则点A′(2a-x,y)也在其图象上∵点A与A′关于直线x=a对称∴函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(2)必要性设A(x,y)是y=f( 相似文献
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<正> 反函数与其图象之间的关系是中学数学中的一个难点问题,学生在学习中常常存在许多模糊认识.本文就此谈谈几种应该澄清的关系. 一、y=f(x)、x=f-1(y)与y=f-1(x)之间的关系不妨举例说明.设y=f(x)=3x-2,x∈[0,2],不难求得y∈[-2,4],其对应法则是,对于[0,2]上任一个x,在[-2,4]上有唯一的y=3x-2与之对应,图象见图1. 相似文献
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一、问题的提出与探究已知函数f(x)=(-3x 7)~(1/2)(0≤x≤7/3), 求y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)的交点．一般常有这样的思路: 解:y=f(x)与y=f-1(x)相交于y=x上, 所以建立方程 x=(-3x 7)~(1/2)(0≤x≤7/3), (舍去), 相似文献
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零点定理是必修1(人教版)的内容,是新教材新增的一个重要定理,有着广泛的应用.什么是零点呢?对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.零点定理:如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且满足f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c 相似文献
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文[1]中指出了y=f(x）与y=f^-1(x)的交点不一点在直线y=x上．读后很受启发，但美中不足的是文[l]没有解决y=f(x)与y=f^-1(x)在什么条件下它们的图象相交?若相交，在什么条件下它们的交点必在直线y=x上?本文试图解决这方面的问题。 相似文献
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本文从定理入手,探讨与反函数有关的图象平移问题,与大家共同学习. 1.定理若函数y=f(x)的反函数为y=g(x),则函数y=f(x c)(c∈R)与y=g(x)-C的图象关于直线y=z对称. 证明设P(a,b)是函数y=f(x c)上任意一点,则b=f(a c) ①而点P(a,b)关于直线y=x的对称点为Q(b,a).因为函数y=f(x)的反函数为y=g(x),由①,得 a c=g(b),a=g(b)-C,所以点Q(b,a)在函数y=g(x)-c的图象上. 相似文献
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互为反函数图象的性质指出：互为反函数的两图象关于直线y=z对称．但据此认为：互为反函数的两图象交点在直线y=z上，那就错了．例如函数f(x)=1/x的反函数就是他自身，它们有无数个交点，除了(1，1)、 相似文献
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高一新教材在反函数这一小节提到两个问题:一是反函数的概念;二是互为反函数图象之间的关系．结论是函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称．在反函数的学习中实际上还牵涉到两个问题,一是反函数的存在性问题,从映射的定义知道,如果一个函数是从定义域到值域的一一映射, 就存在着反函数．因此得出一个重要的结论,任何一个单调递增(或递减)的函数都存在着单调(或递减)的反函数．另一个问题是单调性相同的互为反函数图象的交点一定在直线y=x上吗? 相似文献
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正高三总复习已进行了一段时间.一天,我在做练习时遇到下题:a1,y=a2与其反函数的图象()A.没有交点B.有且只一个交点C.有且只有两个交点D.至多有两个交点我思考:根据反函数的性质,若ay,y=ax与其反函数的图象有交点,交点个数少于3个,则a1,y=ax的图象与直线y=x必有交点,且它们的交点相同.试着解方程ax=x,结果无从下手;又试着画函数图象,还是一筹莫展.请教老师,老师提示:取特 相似文献
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我们知道,单调函数都存在反函数,且反函数与原函数具有相同的增减性,互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称,但是它们的图像不一定有公共点,如果有公共点,那么公共点是否一定在直线y=x上呢?如果曲线与其轴对称曲线有公共点,那么公共点是否一定在对称轴上? 定理1 函数y=f(x)与它的反函数y=f~(-1)(x)的图像的交点,或者在直线y=x上,或者关于直线y=x对称地成对出现. 证明:设点P(a,b)是函数y=f(x)与y=f~(-1)(x)的图像的交点. (1)若a=b,则点P(a,b)在直线y=x 相似文献
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题2019年全国II卷理科数学第20题.已知f(x)=ln x-x+1 x-1,(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x 0是f(x)的零点,证明曲线y=ln x在点A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线y=e x的切线.该试题中,函数y=ln x在函数f(x)的零点处的切线为曲线y=ln x与y=e x的公切线,那么,函数y=ln x和y=e x的图象分别与函数y=x+1 x-1的图象交点与它们的公切线有何关系?一般地,指数函数y=a x和对数函数y=log ax(a>0且a≠1)图象的公切线又有何相应的结论?本文对此加以探索. 相似文献
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张国维 《数理天地(高中版)》2003,(2)
例1 如果点(a,b)在函数y=f(x)的图象上,那么函数y=f-1(x)的图象一定过点( ) (A)(6,f(b)) (B)(f(b),a) (C)(f(a),f-1(b)) (D)(f-1(a),a) 分析显然y=f-1(x)的图象一定过点(b,a),而b可写作f(a),a可写作f-1(b),故选(C). 相似文献