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《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 ·必修 )数学第一册 (上 )》(人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )第 1 33页练习第 4题 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证Ｓ7,Ｓ1 4 -Ｓ7,Ｓ2 1 -Ｓ1 4 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ 成等比数列吗 ?配套的教师教学用书 (人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )上给出的参考解答 :由Ｓ7=ａ1 (1 - ｑ7)1 - ｑ ,Ｓ1 4 =ａ1 (1 - ｑ1 4 )1 - ｑ ,Ｓ2 1 =ａ1 (1 - ｑ2 1 )1 - ｑ ,可得Ｓ7· (Ｓ2 1 -Ｓ1 4 ) =(Ｓ1 4 -Ｓ7)… 相似文献
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数学方法是研究物理问题的一种基本方法。杰出的物理学家劳厄说 :“数学是物理学家的思想工具。”因此 ,在物理教学中必须注意培养学生应用数学知识解决物理问题的能力。下面谈谈我在教学过程中应用数学知识解决物理问题的一些实例。一、数列知识在物理学中的应用有关数列知识 :等差数列 :ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄｓｎ=ｎ(ａ1+ａｎ) / 2等比数列 :ａｎ=ａ1ｑｎ -1Ｓｎ=ａ1[1- (ｑ) ｎ]/ (1- ｑ)无穷递缩等比数列 :ａｎ=ａ1ｑｎ -1;|ｑ|<1;Ｓｎ=ａ1/ (1-ｑ)例 1:有一组电阻 ,阻值依次为 1Ω、3Ω、5Ω……(2ｎ - 1)Ω ,串在一起接入电路 ,电源电… 相似文献
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1 数学归纳法所谓“数学归纳法”是证明一个与自然数ｎ有关的数学命题时 ,所采取的一种证明方法。其具体步骤 :( 1)验证ｎ取第一个值ｎ0 时 (如ｎ0 =1、2或 3)命题成立 ;( 2 )假设ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,并且在此假设条件下 ,当ｎ =ｋ +1时结论也正确。则原命题正确。这种方法我们称之为数学归纳法。如证明等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ证明 :( 1)当ｎ =1时左边 =ａ1右边 =ａ1+( 1- 1)ｄ =ａ1等式成立( 2 )假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ 1)时ａｎ=ａ1+(ｋ - 1)ｄ则当ｎ =ｋ +1时ａｋ +1=ａｋ+ｄ =ａ1+(ｋ - 1)ｄ +ｄ=… 相似文献
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设等比数列ａ1、ａ1ｑ、ａ1ｑ2 、…、ａ1ｑｎ-1、…前ｎ项的和为Ｓｎ,则Ｓｎ =ａ1(1-ｑｎ)1-ｑ (ｑ≠ 1) .这一求和公式各种教材基本采用同一推导方法 ,其实它的推导方法还很多 ,下面给出其中的几种 .为行文方便均设公比ｑ≠ 1.1 恒等变形法方法 1 由于ａ1 ａ1ｑ ａ1ｑ2 … ａ1ｑｎ-1=ａ1(1 ｑ ｑ2 … ｑｎ-1) ,联想因式分解公式1-ｑｎ =(1-ｑ) (1 ｑ ｑ2 … ｑｎ-1) ,所以ａ1(1 ｑ ｑ2 … ｑｎ-1) =ａ1(1-ｑｎ)1-ｑ ,即Ｓｎ =ａ1(1-ｑｎ)1-ｑ . 方法 2 由于ａ1 ａ1ｑ ａ1ｑ2 … ａ1ｑｎ-1=ａ1 ａ1ｑ ａ1ｑ2 … ａ1… 相似文献
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本文给出等差 (比 )数列中几个常见的几何模型 ,并应用其给出有关问题的巧妙解答 .1 几个常见的几何模型1.1 直线模型模型 1 由等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ- 1)ｄ =ｄｎ (ａ1-ｄ)知 ,点列 { (ｎ ,ａｎ) }在斜率ｄ =ａｍ -ａｎｍ -ｎ 的直线 ｙ =ｄｘ (ａ1-ｄ)上 .模型 2 由等差数列的前ｎ项和的公式 :Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ- 1)ｄ2 Ｓｎｎ =ａ1 ｎ- 12 ｄ ,故点列 { (ｎ ,Ｓｎｎ) }在直线 ｙ=ｄ2 ｘ (ａ1- ｄ2 )上 .模型 3 由等比数列的定义 ,易知其求和公式满足Ｓｎ 1=ａ1 ｑＳｎ,故点列 { (Ｓｎ,Ｓｎ 1) }在直线 ｙ=ａ1 ｑ… 相似文献
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一、巧变公式 等差 (比 )数列的通项公式与其首项ａ1有关 ,但实际问题中未必给出ａ1,或者根本不需要考虑ａ1,若还用通项公式求解会造成运算繁琐 ,故将等差 (比 )数列 ａｎ 的通项公式变通为 :ａｎ=ａｍ+(ｎ -ｍ)ｄ(ａｎ =ａｍｑｎ-ｍ) ,其中ｎ ,ｍ∈Ｎ .例 1 等比数列 ａｎ 中 ,ａ2 =- 3,ａ5= 36 ,求ａ8.解 ∵ ａ5=ａ2 ｑ3 ,∴ ｑ3 =ａ5ａ2 =- 12 ,∴ ａ8=ａ5ｑ3 =- 4 32 .例 2 在等差数列ａｎ 中 ,ａｍ +ｎ =ｐ ,ａｍ-ｎ =ｑ,求ａｍ 和ａｎ.解 ∵ ａｍ+ｎ =ａｍ-ｎ+[(ｍ+ｎ) - (ｍ -ｎ) ]ｄ ,即=ｑ+ｎ(ｐ- ｑ)2ｎ=ｐ+ｑ2 .∴… 相似文献
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范霞 《邵阳学院学报(社会科学版)》1999,(2)
根据牛顿二项式定理 ,有如下展开式(ａ ｂ) ｎ =∑ｎｋ=0Ｃｋｎａｎ-ｋｂｋ ( 1 )现设ａ >0 ,ｂ >0 ,试求 ( 1 )式中有最大值的项 .显然 ,第ｋ 1项 (ｋ =0 ,1 ,2 ,… ,ｎ)的值为Ｓｋ 1=Ｃｋｎ·ａｎ-ｋｂｋ ( 2 )收稿日期 :1998- 11- 0 2 作者 :范霞 女 中教一级教师 特殊情形 ,当ａ =ｂ =1时 ,对ｎ =0 ,1 ,2 ,… ,依次将展开式中各项排出 ,恰好组成杨辉三角形1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1……………………观察其构成 ,其最大项有 1项或 2项 ,依ｎ是偶数或奇数而定 .若 (ａ ,ｂ)≠ ( 1 ,1 ) ,其最大项如何求 … 相似文献
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1 命题及证明下面命题称为部分求和公式或阿贝尔 (Ａｂｅｌ)求和法 :命题 {ａｋ} ,{ｂｋ}为两数列 ,若记Ｓｋ =ａ1 +ａ2+… +ａｋ,则 ｎｋ =1 ａｋｂｋ =Ｓｎｂｎ + ｎ- 1ｋ =1 Ｓｋ(ｂｋ -ｂｋ+ 1 ) .证 可令Ｓ0 =0 ,则ａ1 =Ｓ1 -Ｓ0 .又ａｋ =Ｓｋ -Ｓｋ- 1 (ｋ=2 ,3,4 ,… ,ｎ) ,所以 ｎｋ=1ａｋｂｋ = ｎｋ=1ｂｋ(Ｓｋ -Ｓｋ- 1 )= ｎｋ=1ｂｋＳｋ - ｎｋ=1ｂｋＳｋ- 1=Ｓｎｂｎ + ｎ- 1ｋ =1 ｂｋＳｋ - ｎｋ =2 ｂｋＳｋ- 1=Ｓｎｂｎ + ｎ- 1ｋ =1 ｂｋＳｋ - ｎ- 1ｋ =1 ｂｋ+ 1 Ｓｋ=Ｓｎｂｎ + ｎ- 1ｋ =1 Ｓｋ(ｂｋ -ｂｋ… 相似文献
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在高中数学新教材中增加了一些在原教材中没有的新题 .通过对这些题目的分析 ,可反映新大纲、新教材中的新要求和新思路 ,也有利于我们在教学中开展研究性学习和对问题的深入探索 .在第一册 (上 )第 138页有这样一个例题 :例 1 已知数列ａｎ 是由正数组成的等比数列 ,ｋ∈Ｎ .求证 :ｌｇａ2 +ｌｇａ4+… +ｌｇａ2ｋ =ｋｌｇａｋ+ 1.证明 设 ａｎ 的公比为 ｑ.对于数列ｌｇａ2 ,ｌｇａ4,… ,ｌｇａ2ｋ 的任意相邻两项ｌｇａ2ｋ-2 ,ｌｇａ2ｋ,有 ｌｇａ2ｋ-ｌｇａ2ｋ-2 =ｌｇ ａ2ｋａ2ｋ-2 =ｌｇ ａ1ｑ2ｋ-1ａ1ｑ2ｋ-3 =ｌ… 相似文献
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等差、等比数列的通项公式ａｎ,前ｎ项和公式Ｓｎ 经转化都可以看作是关于自然数ｎ的函数 .本文用函数观点把有关等差、等比数列问题转化为平面解析几何中直线斜率来解决 ,同时把两部分知识得以综合应用 .我们知道 ,等差数列的通项公式ａｎ =ａ1 (ｎ-1)ｄ可变形为ａｎ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,所以等差数列的项ａｎ 是项数ｎ的一次函数 ,亦即点 (ｎ ,ａｎ)在直线 ｙ=ｋｘ ｂ (ｋ=ｄ ,ｂ =ａ1-ｄ)上 .由此得 :性质 1 若数列 {ａｎ}为等差数列 ,则它的各项对应的点Ａｎ(ｎ ,ａｎ)在同一条直线上 ,ｎ∈Ｎ .对等差数列前ｎ项和公式Ｓｎ =ｎａ1 ｎ(ｎ… 相似文献
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有这样一道习题 (新编高中数学配套练习高中一年级第一学期用书 6 4页 ) :一个等差数列共有 2ｎ + 1项 ,其中奇数项之和为 30 5 ,偶数项之和为 2 76 ,则ｎ + 1项是 ( ) .(Ａ) 31 (Ｂ) 30 (Ｃ) 2 9 (Ｄ) 2 8.咋一看 ,答案选 (Ｃ) ,似乎正确 !因为该等差数列共有 2ｎ+ 1项 ,设其奇数项之和为Ｓ奇 ,偶数项之和为Ｓ偶 ,则ａ2 +ａ4 +ａ6 +… +ａ2ｎ- 2 +ａ2ｎ =Ｓ偶 ,①ａ1+ａ3+ａ5+… +ａ2ｎ- 1+ａ2ｎ+1=Ｓ奇 .②① -②得 (ａ2 -ａ1) + (ａ4 -ａ3) + (ａ6 -ａ5) +…+ (ａ2ｎ -ａ2ｎ- 1) -ａ2ｎ+1=Ｓ偶 -Ｓ奇 ,即 ｎｄ-ａ2… 相似文献
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第九届天原杯试题第 8题及常见解法为 :原题 :测得某溶液中含Ｃｕ2 、Ｋ 、ＳＯ42 - 、Ｃｌ- 四种离子 ,且阳离子个数比为 :Ｃｕ2 ∶Ｋ =3∶4,则ＳＯ42 - 与Ｃｌ- 的个数比可能是 ( )。Ａ、3∶2 Ｂ、1∶3 Ｃ、1∶8 Ｄ、2∶5解析 :根据电荷守恒法 ,可得其比值。设溶液中含ＳＯ42 - ｘ个 ,Ｃｌ- ｙ个。则 :2ｘ 5ｙ=3ｎ× 2 4ｎ× 1所以ＳＯ42 - 与Ｃｌ- 的个数比可能有以下特征 :(1 )当ｘ=ｎ时 ,ｙ =8ｎ,ｘ∶ｙ =1∶8(2 )当ｘ=2ｎ时 ,ｙ=6ｎ ,ｘ∶ｙ=1∶3(3)当ｘ=3ｎ时 ,ｙ=4ｎ ,ｘ∶ｙ=3∶4(4 )当ｘ=4ｎ时 ,ｙ=2ｎ ,ｘ∶ｙ=2∶1… 相似文献
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王庆升 《中学数学教学参考》2002,(11):57-58
数列在整个高中数学教学内容中 ,处于数学知识和数学方法的交汇点 ,在高考和会考中均占有一定的比例 .因此 ,数列一章的学习 ,对掌握整个高中数学的基础知识和基本技能有着重要的作用 .但是 ,由于种种原因 ,不仅学生甚至某些参考资料中在处理数列的一些问题时 ,常常会出现一些“病解” ,现辑录几例 ,加以“诊断” ,以便在教学中引起注意 .例 1 已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项和 ,求证Ｓ7,Ｓ14 -Ｓ7,Ｓ2 1-Ｓ14 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ成等比数列吗 ?(全日制普通高级中学教科书 (试验修订·必修 )… 相似文献
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题目 1 在等差数列 {ａｎ}、{ｂｎ}中 ,其前ｎ项和分别为Ｓｎ、Ｓ′ｎ,且 ＳｎＳ′ｎ =2ｎ 2ｎ 3,求 ａ3ｂ3.错解 由 ＳｎＳ′ｎ =2ｎ 2ｎ 3,可设Ｓｎ =( 2ｎ 2 )ｋ ,Ｓ′ｎ =(ｎ 3)ｋ (ｋ≠ 1) ,则ａ3=Ｓ3-Ｓ2 =2ｋ ,ｂ3=Ｓ′3-Ｓ′2 =ｋ ,∴ ａ3ｂ3=2ｋｋ =2 .错因 对于等差数列 ,由Ｓｎ =ａ1ｎ ｎ(ｎ- 1)ｄ2 ,知Ｓｎ 是关于ｎ的二次函数、且不含常数项 .因此 ,设Ｓｎ =( 2ｎ 2 )ｋ ,Ｓ′ｎ =(ｎ 3)ｋ不能成为等差数列前ｎ项的和 .正解 由 ＳｎＳ′ｎ =2ｎ 2ｎ 3,且Ｓｎ、Ｓ′ｎ 为等差数列的前ｎ项和 ,可设Ｓｎ =( 2ｎ 2 )ｋｎ… 相似文献
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计算ｃｏｓｎ2π7 ｃｏｓｎ4π7 ｃｏｓｎ6π7的一个通项公式逆用如下组合恒等式[1] : [ｎ2 ]ｋ =0 Ｃｋｎｃｏｓ(ｎ -2ｋ)ｘ=2 ｎ - 1ｃｏｓｎｘ(ｎ为奇数 ) ,2 ｎ - 1ｃｏｓｎｘ 12 Ｃｎ2ｎ(ｎ为偶数 ) ,即将ｘ =2π7,4π7,6π7代入 ,三式相加 ,当ｎ为奇数时 ,ｆ(ｎ) = ｉ=2 相似文献
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定理 等差数列的前ｎ项的算术平均数等于这ｎ项中的ｎ- 2ｍ(ｎ >2ｍ)项的算术平均数 ,即Ｓｎｎ =Ｓｎ-ｍ -Ｓｍｎ- 2ｍ ,(1)其中Ｓｎ 表示等差数列的前ｎ项和 .证 设等差数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,则Ｓｎｎ =ａ1+ 12 (ｎ - 1)ｄ , Ｓｎ-ｍ -Ｓｍｎ - 2ｍ=(ｎ-ｍ)ａ1+ 12 (ｎ-ｍ) (ｎ -ｍ- 1)ｄｎ - 2ｍ- [ｍａ1+ 12 ｍ(ｍ - 1)ｄ]ｎ- 2ｍ=ａ1+ 12 (ｎ - 1)ｄ ,所以 ,(1)式成立 .推论 正项等比数列前ｎ项的几何平均数等于这ｎ项中的ｎ - 2ｍ(ｎ>2ｍ)项的几何平均数 ,即ｎ ｎ =ｎ-2ｍ (ｎ-ｍ) ｍ ,(2 )其中 ｎ表示等比数列的前ｎ项之积… 相似文献
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文 [1]将不等式 :设ａ1,ａ2 ,ａ3,ａ4 ∈Ｒ ,求证 :ａ31ａ2 ａ3 ａ4 ａ32ａ3 ａ4 ａ1 ａ33ａ4 ａ1 ａ2 ａ34ａ1 ａ2 ａ3≥ (ａ1 ａ2 ａ3 ａ4 ) 212 ,推广为 设ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ =ｓ.则有ａ31ｓ -ａ1 ａ32ｓ -ａ2 … ａ3ｎｓ -ａｎ ≥ ｓ2ｎ(ｎ - 1) (ｎ ≥ 3)(1) 笔者通过对不等式 (1)的探究 ,得到以下命题 设ａｉ ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3) ,且∑ｎｉ=1ａｉ =ｓ.如果ｍ ,ｋ满足下列条件之一 :(1)ｋ=0 ,ｍ≥ 1;(2 )ｋ=ｍ≥ 1或ｋ=ｍ ≤ 0 ;(3)ｋ>0 ,ｍ ≤ 0 ;(4 ) 0 <ｋ≤ 1,ｍ… 相似文献
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一、忽视二次项系数ａ≠ 0所造成的错解例 1 已知二次函数ｙ =ｋｘ2 - 7ｘ - 7的图象和ｘ轴有交点 ,则ｋ的取值范围是 ( ) .(Ａ)ｋ >- 74 (Ｂ)ｋ≥ - 74 且ｋ≠ 0(Ｃ)ｋ≥ - 74 (Ｄ)ｋ >- 74 且ｋ≠ 0(2 0 0 0年山西省中考题 ) 错解 由题意 ,得Δ =(- 7) 2 - 4ｋ·(- 7)≥0 .解得ｋ≥ - 74 .所以选 (Ｃ) .剖析 当ｋ =0时 ,原函数不是二次函数 ,所以ｋ≠ 0 .故应选 (Ｂ) .例 2 已知二次函数ｙ =ａｘ2 +ａｘ +ａ - 1的最小值是 2 .求ａ的值 . 错解 由题意 ,得4ａ(ａ - 1) -ａ24ａ =2 .整理 ,得ａ2 - 4ａ =0 .解得ａ =0或ａ =4… 相似文献
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巧用公式Ｓｍ＋ｎ＝Ｓｍ＋ｑｍＳｎ解题曾安雄（浙江省泰顺二中３２５５０４）等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和公式Ｓｎ＝ａ１（１－ｑｎ）１－ｑ或Ｓｎ＝ａ１－ａｎｑ１－ｑ仅对ｑ≠１时适用,显然利用它解题时,需对ｑ进行讨论．本文介绍等比数列另一求和公式,它不仅能避免... 相似文献
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对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1 “ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 … 相似文献