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1.
１９９９年全国高考理科试题第２０题：设复数ｚ＝３ｃｏｓθ＋ｉ２ｓｉｎθ,求函数ｙ＝θ－ａｒｇｚ（０＜θ＜π／２）的最大值以及对应的θ值．此题构题新颖别致,耐人寻味．它把复数的有关概念与三角知识、函数知识有机地结合起来,是一道考察学生的适应能力、等价转化能力、分析问题和解决问题能力及逻辑推理能力等综合素质的好题,真正体现了数学素质教育的思想．本文先给出它的多种解法,然后探索其构题背景,给出它的几何意义,并将其推广．１ 从求复数ｚ的辐角主值ａｒｇｚ中寻找突破口解法１ 由ｚ＝３ｃｏｓθ＋ｉ２ｓｉｎθ及… 相似文献
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题目 已知复数ｚ1 =ｉ(1 -ｉ) 3.(Ⅰ )求ａｒｇｚ1 及 ｜ｚ1 ｜ ;(Ⅱ )当复数ｚ满足｜ｚ｜=1 ,求｜ｚ-ｚ1 ｜的最大值 .(Ⅰ )解略 .下面给出 (Ⅱ )的七种解法 :解法 1 (三角形式法 )设ｚ=ｃｏｓα ｉｓｉｎα ,则ｚ-ｚ1 =(ｃｏｓα -2 ) (ｓｉｎα 2 )ｉ;∴ ｜ｚ -ｚ1 ｜=(ｃｏｓα-2 ) 2 (ｓｉｎα 2 ) 2=9 42ｓｉｎ(α-π4)≤ 9 42 =2 2 1 .上式等号当且仅当ｓｉｎ(α-π4) =1时取到 .从而得到｜ｚ-ｚ1 ｜的最大值为 2 2 1 .解法 2 (代数形式法 ) 设ｚ=ａ ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,且ａ2 ｂ2 =1 ,则｜ｂ-ａ｜2 =｜ａ2 ｂ2-2ａ… 相似文献
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刘康宁 《中学数学教学参考》1999,(8)
今年全国高考数学理科（第２０）题是：设复数ｚ＝３ｃｏｓθ＋ｉ·２ｓｉｎθ．求函数ｙ＝θ－ａｒｇｚ（０＜θ＜π２）的最大值以及对应的θ值．一、试题的背景揭示若令ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ,ｙ∈Ｒ）,则有ｘ＝３ｃｏｓθ,ｙ＝２ｓｉｎθ．｛（０＜θ＜π２）显然,复数... 相似文献
4.
罗增儒 《中学数学教学参考》2000,(3)
笔者是相信数学直觉的 ,并且还对数学直觉进行过有意识的积累与探索 (见文 [1] ) .本文所提供的新案例 ,经历了从几何直觉到几何论证、并最终得出新代数证明的过程 .问题 设复数ｚ =3ｃｏｓθ ｉ·2ｓｉｎθ.求函数 ｙ =θ-ａｒｇｚ( 0 <θ <π2 )的最大值以及对应的θ值 .( 1999年高考理科第 ( 2 0 )题 )这个问题有一个明显的几何意义 (见文 [2 ] ) ,即复数ｚ所对应的点是椭圆ｘ =3ｃｏｓθ,ｙ =2ｓｉｎθ ｘ232 ｙ22 2 =1的第一象限部分 (图 1) .问题转化为求椭圆离心角θ与旋转角ａｒｇｚ之差的最大值 ,也就是图 1中∠ＭＯＡ的最大… 相似文献
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复数的概念 (辐角、主值 )、向量表示、三角形式沟通了复数与三角之间的关系 .在复数与三角交汇点上设计试题已成为近年高考命题的热点 .本文就此问题探究如下 .一、以复数化三角形式的背景出现 .此类问题需正确理解复数与点集及起点为原点的向量之间的一一对应关系 ,把握三角形式的特征 ,运用三角有关知识和三角变换来解 .例 1 (1 993年高考题 )设复数ｚ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ(0 <θ <π) ,ｗ =1 -(ｚ) 41 ｚ4 ,并且｜ｗ｜=33,ａｒｇω <π2 ,求θ .简析 :以｜ｗ｜=33,ａｒｇｗ =π2 为切入点 ,将ｗ化为三角形式 ,由模定θ ,再验ａｒｇｗ… 相似文献
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我们知道 ,复数ｚ1、ｚ2 的辐角主值ａｒｇｚ1与ａｒｇｚ2 之和一般不等于ｚ1ｚ2 的辐角主值ａｒｇ(ｚ1ｚ2 ) .但由复数乘法的几何意义可知 ,角ａｒｇｚ1+ａｒｇｚ2 的终边与角ａｒｇ(ｚ1ｚ2 )的终边是相同的 ,而且 0 ≤ａｒｇｚ1、ａｒｇｚ2 、ａｒｇ(ｚ1ｚ2 ) <2π ,故存在整数ｋ=0或 1,使得ａｒｇｚ1+ａｒｇｚ2 =ａｒｇ(ｚ1ｚ2 ) + 2ｋπ(ｋ=0或 1) .(1)同样地 ,由复数除法的几何意义可知 ,存在整数ｋ=0或 - 1,使得ａｒｇｚ1-ａｒｇｚ2 =ａｒｇ(ｚ1ｚ2 ) + 2ｋπ(ｋ=0或 - 1) .(2 )值得注意的是 ,公式 (1)、(2 )是复数乘 (除 )法的几何意… 相似文献
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复数是初等数学与高等数学的重要衔接点 ,它的涉及面广 ,每年高考都有关于复数问题的内容 .为了帮助同学们复习好这部分内容 ,本文结合近年高考题 ,对其题型进行分类研究 ,供参考 .一、概念型主要考查复数的实部、虚部、模、辐角 (主值 )、虚数、纯虚数及共轭复数等概念 .其解法是正确理解概念 ,充分运用模、纯虚数、共轭复数等性质 ,灵活运用代数形式与三角形式互换来解题 .例 1 (2 0 0 1年全国高考题 )已知复数ｚ=2 6ｉ,则ａｒｇ1ｚ 是 ( ) .Ａ π6 Ｂ .1 1π6 Ｃ .π3 Ｄ .5π3解 由ｚ=2 6ｉ=2 2 (ｃｏｓπ3 ｉｓｉｎ π3 )… 相似文献
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一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 已知集合Ｍ ={ｘ｜ -1≤ｘ≤ 1},Ｎ ={ｙ｜-1≤ｙ≤ 1},则在下列图中 ,不是从集合Ｍ到集合Ｎ的映射的是 ( )2 设复数ｚ =ｉ(1＿ 3ｉ) ,那么ａｒｇｚ等于( ) (Ａ) 2π3 (Ｂ) 5π6 (Ｃ) 4π3 (Ｄ) π63 已知α是第三象限角 ,则下列等式中可能成立的是 ( ) (Ａ)ｓｉｎα +ｃｏｓα=1.2 (Ｂ)ｓｉｎα+ｃｏｓα =-0 .9 (Ｃ)ｓｉｎαｃｏｓα =3 (Ｄ)ｓｉｎα+ｃｏｓα =-1.24 已知正ｎ棱台 (ｎ∈Ｎ ,… 相似文献
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20 0 0年北京、安徽春季高考数学试题体现了以能力立意的命题思想 ,涌现出了许多考查能力的创新试题 .本文将对选择、填空题中的部分创新试题给出较简捷解法 ;对解答题中的把关题给出别解 ,并做简要评析 ,供大家参考 .选择题 ( 11) 解法 1(直接法 ) :∵ｚ2 =( 2ｓｉｎθ ｉｃｏｓθ)·[ｃｏｓ( - 34π) ｉｓｉｎ( - 3π4 ) ]=( 22 ｃｏｓθ- 2ｓｉｎθ) - ( 2ｓｉｎθ 22 ｃｏｓθ)ｉ,∴ｔｇφ =- ( 2ｓｉｎθ 22 ｃｏｓθ)22 ｃｏｓθ - 2ｓｉｎθ=2ｓｉｎθ ｃｏｓθ2ｓｉｎθ-ｃｏｓθ.又∵ π4 <θ <π2 ,∴ｃｏｓθ≠ 1,∴ｔｇφ… 相似文献
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杨志文 《中学数学教学参考》2001,(4)
一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 50分 )1 .设Ｍ ={ｘ|0≤ｘ≤ 2 },Ｎ ={ｙ|0≤ ｙ≤ 2 },给出下列 4个图形 ,其中能表示集合Ｍ到Ｎ的函数关系的是 ( ) .2 .设函数 ｙ =ｌｇ(ｘ2 -2ｘ -3 )的定义域为Ｍ ,不等式 |ｘ -1 |≥ａ的解集为Ｎ ,且Ｍ Ｎ ,则ａ的取值范围为 ( ) .Ａ .ａ =2 Ｂ .ａ≥ 2Ｃ .0≤ａ≤ 2 Ｄ .ａ≤ 23 .函数 ｙ =|ｃｏｓ2ｘ -3 ｓｉｎ2ｘ|的最小正周期为( ) .Ａ .π2 Ｂ .π Ｃ .2π Ｄ .4π4 .设向量ＯＺ对应的复数为ｚ =1 ｉ,它的辐角主值为θ,将向量ＯＺ… 相似文献
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复数的三角形式沟通了代数与三角间的联系，从而为用三角知识解决代数问题带来了方便，同样某些三角问题若利用复数知识来解，则别有一番风味．下面试举例说明．１ 用复数表示三角函数设ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，则有－ｚ＝ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ， ｚ·－ｚ＝１．于是可得公式Ⅰ ｃｏｓθ＝ｚ＋－ｚ２＝ｚ２＋１２ｚ，ｓｉｎθ＝ｚ－－ｚ２ｉ＝ｚ２－１２ｉｚ，ｔｇθ＝ｚ２－１ｉ（ｚ２＋１）．又由ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ－ｉｓｉｎｎθ．因此有公式Ⅱ ｃｏｓｎθ＝ｚｎ＋ｚｎ２＝ｚ２ｎ＋１２ｚｎ，ｓｉ… 相似文献
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复数辐角主值是复数的重要内容．根据教材中复数辐角主值的解释，ａｒｇｚ可以理解为表示复数ｚ的向量 （或射线ＯＺ）与ｘ轴所夹的正角由复数减法的几何意义，可以理解为表示复数的向量（或射线 Ｚ１Ｚ２）与ｘ轴所夹的正角．因此，将复数辐角主值转化到图形上，就会使与此相关的题回避免繁琐的计算，达到迅速求解的目的． 例１ 求复数的辐角主值． 解 此题解法大多都是通过三角转化，分类解决的．现给出另一解法： 设 ｚ二 Ｉ＋ｃｏｓ６＋ｌｓｉｎ６＝。＋ｙｉ，（。，ｙ。Ｒ），则 ＩＳ一回 十四０８Ｈ． １（Ｕ＄＜Ｚｎ）． 巳可 二 百… 相似文献
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构造二项方程ｘｎ＝ｂ巧解一类三角问题吴文惠陈叶柳（湖南省新化县六中４１７６１３）对于方程ｘｎ＝ｂ（ｎ∈Ｎ且ｎ≥２），设复数ｂ的模和辐角分别为ｒ和θ，则其ｎ个不同的复根为：ｘｋ＝ｎｒ（ｃｏｓθ＋２ｋπｎ＋ｉｓｉｎθ＋２ｋπｎ）．又记θｋ＝θ＋２ｋπｎ，... 相似文献
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冯跃峰 《中学数学教学参考》2000,(7):48-50
自从复数与复平面上的点建立对应之后 ,复数与图形便结下了不解之缘———一些复数的运算表现出明显的几何意义 .解题中恰当地利用这些复数运算的几何意义 ,便能获得简捷的解法 .在数学竞赛中 ,利用复数运算的几何意义解决的复数问题则更为常见 .本文主要介绍复数运算的几何意义在问题中所表现的几种类型及相应的解题策略 .一、基础知识1 .减法(1 )ｚ -ａ表示由ａ(对应的点 )指向ｚ(对应的点 )的向量 ,即ＡＢ =ｚＢ-ｚＡ.(2 ) |ｚ-ａ|表示ｚ(对应的点 )到ａ(对应的点 )的距离 .2 .乘法(1 )ｚ(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) ,表示将ｚ对应的向量逆时… 相似文献
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黄桂君 《中学数学教学参考》1997,(10)
关于ＤｅＭｏｉｖｒｅ定理的注记江苏省高邮中学黄桂君高中课本《代数》下册Ｐ．２０５讲述了棣美佛（Ｄｅｍｏｉｖｒｅ）定理：复数的ｎ（ｎ∈Ｎ）次幂的模等于这个复数的模的ｎ次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的ｎ倍．用公式来表示，即［ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）］... 相似文献
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严碧友 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):18-19
我们知道 ,ａｓｉｎα+ｂｃｏｓα =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(α +φ) ,其中 φ角所在象限由ａ、ｂ的符号确定 ,φ角的值由ｔａｎφ =ｂａ 确定 ,这个公式称为辅助角公式 .该公式在解题中有广泛的应用 .一、求最值例 1 求函数 ｙ =3ｓｉｎ(ｘ +2 0°) +5ｓｉｎ(ｘ +80°)的最大、最小值 .解 :令θ =ｘ +2 0°,则ｙ =3ｓｉｎθ +5ｓｉｎ(θ +6 0°) =3ｓｉｎθ+512 ｓｉｎθ+32 ｃｏｓθ =112 ｓｉｎθ +52 3ｃｏｓθ=7ｓｉｎ(θ +φ) .∴ ｙ的最大、最小值分别为 7、- 7.二、求值例 2 若函数ｆ(ｘ) =ｓｉｎ2ｘ +ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- … 相似文献
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王金战 《中学数学教学参考》2000,(12)
复数一章 ,以其综合性强 ,涉及面广 ,题型多样 ,运算量大而成为学生学习的难点 .因此学习中如何选取适当的方法 ,降低解题难度 ,减少解题步骤及计算量 ,既是学好本章的关键 ,也是提高数学能力的重要途径 .本文拟就此做一探讨 .一、变换法则 ,巧避三角形式对复数进行乘方 ,开方等运算时 ,常需借助三角形式 ;而把复数化为三角形式常常是复杂的 ,对很多题目而言 ,这可以避开 .例 1 当 (1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) 5 为实数时 ,求θ .分析 :若用乘方法则 ,需 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ化为三角形式 ,稍加变形得 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ =2ｃｏｓ θ… 相似文献
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1 圆锥曲线焦点弦的长度取值范围定理 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )的离心率ｅ=ｃａ ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,ｐ =ｂ2ｃ .设椭圆焦点弦ＡＢ的长度为ｄ ,则ｄ∈ 2ｅｐ ,2ｅｐ1-ｅ2 ,即ｄ∈2ｂ2ａ ,2ａ .证明 以椭圆的左焦点为极点 ,建立极坐标系 ,椭圆的极坐标方程为 ρ =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ.不妨设ＡＢ为过左焦点的弦 ,Ａ( ρ1,θ) ,Ｂ( ρ2 ,π θ) ,θ∈〔0 ,π) ,则 |ＡＢ|=ρ1 ρ2 =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π θ)=2ｅｐ1-ｅ2 ｃｏｓ2 θ.当ｃｏｓθ=0 ,即θ =π2 时 ,|ＡＢ|ｍｉｎ=2ｅｐ =2ｂ2ａ ;当ｃｏ… 相似文献
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求复数1+cosθ+isinθ(0<θ<π/2)的辐角主值的习题,很多同学见到这样的题,只能用三角公式去“凑”,若将符号进行一些变化,用这种方法不但很费时,而且也容易出错。下面介绍一种简便的方法,供参考。求复数Z=1+cosθ+isinθ(0<θ相似文献
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在解三角函数有关问题时 ,常常需要把所给定的三角式化为一个角的某个三角函数 .本文以近年来的高考题为例说明这一策略的应用 .一、用倍角公式化为一个角的某个三角函数例 1 ( 1 996年全国高考题 )若ｓｉｎ2 ｘ >ｃｏｓ2 ｘ ,则ｘ的取值范围是 ( )(Ａ) {ｘ｜2ｋπ-34π<ｘ<2ｋπ +π4,ｋ∈Ｚ}(Ｂ) {ｘ｜2ｋπ +π4<ｘ <2ｋπ+54π ,ｋ∈Ｚ}(Ｃ) {ｘ｜ｋπ-π4<ｘ<ｋπ +π4,ｋ∈Ｚ}(Ｄ) {ｘ｜ｋπ +π4<ｘ <ｋπ+34π ,ｋ∈Ｚ}解 ∵ｓｉｎ2 ｘ >ｃｏｓ2 ｘ ,∴ｃｏｓ2 ｘ-ｓｉｎ2 ｘ<0 .即ｃｏｓ 2ｘ<0 .∴ 2ｋπ +π2 <2ｘ<2ｋπ+3… 相似文献