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1.
李建潮 《中学数学研究(江西师大)》2006,(1):25-27
文[1]、文[2]分别建立了关于三角形旁切圆半径的两个优美不等式: 设△ABC 的三边长为 a、b、c,其旁切圆、外接圆、内切圆的半径分别为 r_a、r_b、r_c,R 与r,则有(2-r/R)~2≤∑(r_ar_b)/a~2≤(R/r-r/R)~2 (1)(2-r/R)~2≤∑(r_a~2)/(bc)≤(R/r-r/R)~2 (2)其中∑表示循环和(下同).本文建立与之相关的又一优美不等式:定理设△ABC 的三边长为 a、b、c,其旁 相似文献
2.
3.
汪仁甩 《中学数学研究(江西师大)》2006,(6):33-34
文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95题是:设锐角三角形的三边长、三傍切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为 a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R.则 r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r (1)本文将证明此猜想.证明:令 a=y z,b=z x,c=x y,则 x、y、z>0, 相似文献
4.
张赟 《中学数学研究(江西师大)》2007,(1):19-20
文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95个问题是:设锐角三角形的三边长、三旁切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R,则r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r．文[2]给出了此猜想的肯定性质证明．本文介绍此猜想的一个类似 相似文献
5.
著名的Gerretsen不等式是:若s、R、r为△ABC的半周长及外接圆、内切圆半径,则16r-5r~2≤s~2≤4R~2+4Rr+3r~2 (1) 不等式(1)在证明三角不等式时有着广泛的应用。本文先给出s~2≤4R+4Rr+3r的一个加强: 命题1 s~2≤R(4R+r)~2/2(2R-r) (2) 证明 设a、b、c为△ABC三边长,将三角形中恒等式s-a=r/tg(A/2)和a=2RsinA相加,整理得: 相似文献
6.
本文先给出含双圆半径的几何性质: 定理1:设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r,顶点A、B、C到内心的距离分别为a0,b0,c0,则4Rr2=a0b0c0. 证明:因为r=(a0sin)A/2.=(b0sin)B/2=(c0sin)C/2. 所以r3=(a0b0c0sin)A/2(sin)B/2(sin)C/2因为△=1r/2(a+b+c)=Rr(sinA+sinB+sinC)=2R2sinAsinBsinC所以r/2R=sinA·sinB·sinC/sin+sinB+sinC又因为易证sinA+sinB+sinC= 相似文献
7.
文[1]介绍了第6届IMO试题sum a~2(b c-a)≤3abc ① (其中∑表示循环和)的等价形式 sum a~2/((s-b)(s-c))≤6R/r ②的加强 sum a~2/((s-b)(s-c))≤4/3(4R/r 1) ③ 本文介绍③式的下界估计。 命题 设s、R、r分别为△ABC半周长、外接圆半径、内切圆半径,则有 相似文献
8.
关联三角形半径的一个不等式链 总被引：1，自引：0，他引：1
由荷兰几何不等式专家O.Bottema与著名的南斯拉夫不等式小组合作的久享盛誉的专著《几何不等式》一书中载有R.R.Janic建立的一个有趣不等式:设△ABC的三边长为a,b,c,对应的旁切圆半径为r_a,r_b,r_c,则a~2/r_br_c b~2/r_cr_a c~2/r_ar_b≥4 (1)当且仅当△ABC为正三角形时,(1)式取等号。 相似文献
9.
文[1]建立了如下一个几何不等式:
设ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为ra、rb、rc.则
∑(a)/(ra)≥23.
(1)
文[2]对不等式(1)加强为:
∑(a)/(ra)≥(2(4R+r))/(4R2+4Rr+3r2).
(2)
其中R、r分别为ABC的外接圆半径与内切圆半径,∑表示循环和,下同.
本文将(2)加强为:
∑(a)/(ra)≥24-(2r)/(R).
(3)
证明:设ABC的半周长为s,由
ra=(sr)/(s-a),rb=(sr)/(s-b),rc=(sr)/(s-c)
和三角恒等式a2+b2+c2=2(s2-4Rr-r2),可知
∑(a)/(ra)=(1)/(sr)[(a+b+c)s-(a2+b2+c2)]
=(2(4R+r))/(s).
由O.kooi不等式
2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.
可知(1)/(s)≥(4R-2r)/((4R+r)R).
故(2(4R+r))/(s)≥(24R-2r)/(R)
=24-(2r)/(R).
则不等式(3)成立.
下面证明(3)比(2)强.
显然,仅需证
4-(2r)/(R)≥(4R+r)/(4R2+4Rr+3r2)
成立.
将上式平方整理得R≥2r.
由Euler不等式可知,上式成立.
这说明(3)强于(2). 相似文献
10.
关于费尔马点的一个猜想的证明 总被引：1，自引：0，他引：1
设F是△ABC内的费尔马点,延长AF、BF、CF分别交对边于A′、B′、C′。记AA′=x,BB′=y,CC′=z。文[1]猜想 1/x 1/y 1/z≥2/3(1/R 1/r)。 (1) 其中R、r分别表示△ABC的外接圆与内切圆半径。 本文将证明更优的结果: 1/x 1/y 1/z≥3/(4r) 1/(2R)。 (2) 引理1 设F是△ABC内部的费尔马 相似文献
11.
文 [1 ]给出∑ 1a2 的上界估计 ,即设a、b、c为△ABC的三边长 ,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 ,则有∑ 1a2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2R2 r3 (1 6R - 5r) .①文 [2 ]将①式加强为∑ 1a2 ≤ 14r2 .②本文给出∑ 1a2 的下界估计∑ 1a2 ≥ 12Rr.③证明 :∑ 1a2 =b2 c2 +a2 c2 +a2 b2a2 b2 c2≥(bc) (ac) +(ac) (ab) +(bc) (ab)a2 b2 c2=c+a +babc .由三角形中的恒等式a +b +c =2p(其中p为半周长 ) ,abc =4Rrp代入上式即得③ .有趣的是由②和③可得2r≤ 12r∑ 1a2≤R .这里又出现了欧拉不等式的一个隔离 .sum((1/(a~2))的下界… 相似文献
12.
命题 设△ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为r_a、r_b、r-c.则 (a/(r_a))~n (b/(r_b))~n (c/(r_c))~n≥2~n·3~(1-n/2)(n>0). (1) 证明:由算术—几何平均值不等式得 相似文献
13.
本文设定:a、b、c为△ABC的边长;?、p分别为△ABC的面积和半周长;R、r分别为△ABC的外接圆的半径和内切圆的半径;d=R2?2Rr;∑表示循环和.所谓Finsler-Hadwiger不等式,即43? ∑(a?b)2≤∑a2≤43? 3∑(a?b)2.(1)当且仅当a=b=c时不等式(1)等号成立.本文将不等式(1)改进为:·24·43? 4∑(a?b)2/3≤∑a2≤43? 14∑(a?b)2/9.(2)当且仅当a=b=c时不等式(2)等号成立.先看下面的定理条件如文前设定,则有43? λ∑(a?b)2≤∑a2≤43? μ∑(a?b)2.(3)式中λ=1 2B2/((4R r)(4R r 3B2)),μ=1 2(2R?r 2d)/(4R r 3B1).其中B1=2R2 10Rr?r2?2(R?2r)d,2… 相似文献
14.
设A、B、C表示△ABC的三个内角,s、R、r分别表示△ABC的半周长、外接圆半径和内切圆半径,表示循环和.定理1在△ABC中,有33sincos2224sABR澹,(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明不失一般性,无妨设,ABC#由A、B、C为△ABC的三个内角,则,,(0,)2222ABCp.由于在区间(0,/2)p内 相似文献
15.
设R,r,r_a,r_b,r_c分别为△ABC的外接圆,内切圆,傍切圆半径,则 相似文献
16.
17.
18.
刘健 《教学月刊(中学下旬版)》2010,(13)
设△ABC的外接圆半径与内切圆半径及半周长分别为R,r,s,则有不等式:
s4-2(2R2+10Rr-r2)s2+r(4R+r)3≤0, (1)
等号当且仅当△ABC为等腰三角形时成立. 相似文献
19.
第34届IMO预选题2(加拿大提供): 设ΔABC的外接圆半径R=1,内切圆半径为r,它的垂足三角形A′B′C′的内切圆半径为ρ.求证:ρ≤1-(1/3)(1 r)~2。 相似文献
20.
本文设△ABC 边 a、b、c 上的高分别为 h_a、h_b、h_c,半周长为 s,内切圆半径为 r,外接圆半径为 R.命题1、如图1,设 p、k、l 分别为△ABC 内的点 G到边 a、b、c 的距离,则有(a/p) (b/k) (c/l)≥6 3~(1/2)(1)证明:由柯西不等式, 相似文献