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相似文献
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1.
设△ABC的外接圆与内切圆的半径分别为R与r,则R≥2r,其中等号成立当且仅当△ABC为正三角形.这就是著名的欧拉不等式,它不仅形式简洁、优美,而且应用极为广泛,众多的三角形不等式都是其等价形式(参见文[2]).关于它的证明常见于许多书刊,如文[1]给出了其三角证法.纵观这些证明,均较繁琐.本文给出一种极为简捷的证法及其推广如下.1 欧拉不等式的简证 证明:如图 1,记△ABC的三边长分别为  相似文献   

2.
本文拟给出一个代数恒等式,并探讨它的一些应用.(1)式虽然简单,但很有用.它既可证明等式和不等式,又可加强不等式.下面举例说明.一、证明恒等式例2设a、b、c是△ABC的三边,△、P、r分别为其面积、半周长和内切圆半径.则证参照文[1],(2)等价于因此,只要证由(1)、(4)易证(5)式成立.所以(3)成立,从而(2)得证.二、证明不等式例4设x,y,z是正数,则(6)式是W·Janous猜测,下面用(l)给出一个简捷证法.以上三式相加,整理得所以,(6)得证.三、加强不等式此即平均值不等式的加强.用a_i去替代上式中的a_i~2…  相似文献   

3.
在高中课本中有以下不等式:已知x,y,z∈R^+,求证:(y+z)(z+z)(z+y)≥8xyg.①本文通过对①式的加强,进而建立起著名欧拉(Euler)不等式:R≥2r(其中R与r分别为△ABC的外接圆与内切圆的半径.下同)的一个优美儿何加强.  相似文献   

4.
杨克昌同志在文[1]中曾提出如下的猜想:设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a、b、c所对角的内角平分线的长,则是否成立如下的不等式亦即不等式是否成立.我们说(1)不成立,即(1')不成立.比如取等腰三角形a=b=l,则利用内角平分线长以及三角形面积公式可得容易看出,当c充分小时(比如取c=0.01)所以猜想(1)不成立,那么是否可以调整一下,仍有类似的不等式成立呢?回答是肯定的,亦即定理设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a,b,c所对角的内角平分线的长,若△ABC的外接圆与内切圆半径分别是R和r,则有证…  相似文献   

5.
在△ABC中,a、b、c为三角形的三边,面积为△,则有著名的Polya-Szego不等式:现在仍然利用三边,给出(1)式的一个加强:证明:设三角形的半周长为s,外接圆和内切圆的半径分别为R、r,根据三角形恒等式:abc这是熟知的三角形不等式.于是(2)式成立.又_因为有基本不等式:说明不等式(2)比不等式(1)强.由于不等式:(1)和(2)组成的不等式链等这就是文[1]中魏琴伯克不等式的再加强的加强:Polya-Szego不等式的加强@裘良$浙江嵊县崇仁中学[1] 梁冲海《魏琴伯克不等式的再加强》《中学教研》1993年第2期…  相似文献   

6.
<正>不等式"R≥2r",也即"三角形的外接圆半径不小于其内切圆直径",这就是著名的欧拉(Euler)不等式.文[1]、[2]给出的欧拉不等式"证法不容易",文[3]、[4]给出了"更简捷证法",受其启发,本文将再给出两则新简证.本文中,设△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C,△ABC的外接圆和内切圆的  相似文献   

7.
记四面体P-ABC的全面积为△.则有(PA+PB+PC)2≥23△.其中,等号仅当PA、PB、PC两两夹角为且△ABC为正三角形时成立.证设PA、PB、PC两两夹角为a、β、,据余弦定理三式相加,其中三式中等号仅当a=β时同时成立.显然,等号仅当PA、PB、PC两两夹角为且△ABC为正三角形时成立.四面体的一个不等式@冯录祥$新疆奎屯兵团教育学院  相似文献   

8.
1989年,陈计与楼红卫建立了下述一个优美的几何不等式:设P为△ABC内一点,△ABC的三边为a,b,c,则事实上,不等式(1)对平面上任一点P都成立,这从[1]中的证明可知.1993年,作者得出了类似的结论:对等式,下面将分别介绍它们.为简单起见,本文省略所有不等式等号成立条件的确定过程.另外,恒用a,b,c表示△ABC的三边,而s,r,R,△分别表示其半周、内切圆半径、外接圆半径和面积.一、不等式(1)、(2)的比较在拙文[2]中,我们已经指出不等式(2)强于Bodewadt不等式;PA PB PC≥容易知道,不等式(1)与后者不分强弱.这使我们…  相似文献   

9.
张宁 《中等数学》2004,(3):18-18
文[1 ]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4 .①其中ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长.本文将其加强为:命题 设ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,R、p分别是三角形的外接圆半径和半周长.∑表示循环和.则有∑bct2a≥34Rp23.②证明:记△ABC的内切圆半径及三个旁切圆半径分别为r、ra、rb、rc.则有∑bct2a≥33abctatbtc2 (均值不等式) .由文[2 ]知,rarbrc≥tatbtc,从而,∑bct2a≥33abcrarbrc2 =334Rrpp2 r2 =3 4Rp23.易知②强于①.一个几何不等式的加强@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1…  相似文献   

10.
在三角形的不等式中,有一类是关于三角形内部任意一点到三边距离的.近年来,已有一些新的这类不等式出现(参见[1]—[4]).本文给出与此类不等式相关的一个等价性定理,并阐述它的应用.一、定理及其证明定理设P为△ABC内部任一点,P到边BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,上的高分别若有关于次不等式:则此不等式等价于证对于△ABC内部任意P点,显然有恒等式由此即知,存在着小于1的正数λ_1,λ_2,λ_3使以下三式同时成立:由以上三式分别可得代入(l)中即得不等式(2).反之,在不等式(2)中取则又易得出不等式综上,不等式(l…  相似文献   

11.
本文首先利用基本不等式x~2+y~2≥2xy及海仑公式给出涉及三角形边长与面积的一个不等式,然后由此导出三角形中一系列有趣的不等式.定理设a,b,c,△分别表示△ABC的三边长与面积,实数λ,μ,υ,中任意两数之和均大于零,则有证由基本不等式将以上三式相加并整理,得但由海仑公式,上式右边正好是16△~2.由此即知不等式(1)成立,显然(1)中等式当且仅当时成立.这表明当且仅当时(l)中等式成立.证毕.推论设a,b,c,△分别表示△ABC的三边长与面积,实数λ,μ,υ,中任意两数之和均大两式中的等式当且仅当成立.一个新的三…  相似文献   

12.
设ia、tb、tc分别表示△ABC的三边a、b、c所对的内角平分线的长,△ABC的半周长、外接圆半径、内切圆半径分别记为S、R、r。则有下面给出关于S2与R和r的一个优美不等式链:对于不等式链(*),注意到K00i不等式:及Gerretsen不等式:只需证明(1)弱于(3)的左端,(2)强于(3)的右端。注:上述证明用到了Euler不等式。由Euler不等式R>Zr,易得将SI、a、勾、为代入上式,整理即得:当且仅当凸ABC为正三角形时,上述各等号成立。几个新的几何不等式@纪保存$河南濮阳师范学校[1]Mitnnovic,D·S,Pecanc,JE,Voloner,V.Recent A…  相似文献   

13.
几个新的三角形不等式   总被引:1,自引:1,他引:0  
最近,笔者在研究三角形的内心及它的性质时,发现以下几个不等式:定理在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是<A,<B,<C的对边,R是△ABC的外接圆半径.则有当且仅当△ABC为正三角形时,(1)~(3)式等号成立.由柯西不等式,得(AI+BI+CI)2两边开方即得不等式(1).将以上三式相加,并利用均值不等式,得故不等式(3)成立.当且仅当凸ABC为正三角形时,(1)~(3)式等号成立.几个新的三角形不等式@贾玉友$江苏省新沂市教师进修学校!2241001贺才田.不等式“a3 b3 c3≥3abc”的再一次加强.中学教学(苏州),1996,3…  相似文献   

14.
安振平在本刊1986年第6期P42上改进了一个常见的三角形不等式,得到:设a、b、c是△ABC的三边长,2p=a+b c,则本文将把(1)式推广到两个三角形.设a、b、c、p与a’、b’、c’、p’分别是△ABC与△A’B’C’的三边长及半周长,则证在简单不等式(可见于高中代数课本(必修)下册Pll练习)(其中,a、b、c为正数)中用a’(p-a)、b’(p-b)、c’(p-c)分别替换a、b、c,得类似可得以上两式相加,再运用平均值不等式,便知(2)式成立。且易知式中等号当且仅当两三角形均为正三角形时成立.证毕.令a’=a,b=b,c’=c,则(2)式成…  相似文献   

15.
<正>设△ABC的三边为a、b、c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,则有著名的欧拉不等式R≥2r.文\[1\]中建立了如下三角形式的加强.定理1设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径,则有(Σ表示循环和)■当且仅当△ABC为正三角形时取等号.由于式(1)可改写为■,由熟知的不等式■,可知式  相似文献   

16.
《中学数学月刊》1999年第6期《一个三元不等式链》一文中有如下两个不等式:由于不等式(2)不成立(见《中学数学月刊》1999年第10期《一个不等式键的探究〕一文),所以原不等式链显得不完整.笔者经过探究,发现不等式(1),(2)之间的立十字十换为后可使原不等式链变完整,即有不等式(3)可化为,两边平方并整理得由,易知成立.所以(3)得证.不等式(4)两边同乘a+b+c并整理知(a’+b‘+c勺,所以(4)得证.再探一个不等式链@邓重阳$浙江省杭州市第四中学!310002  相似文献   

17.
《数学通报》1991年4月号数学问题(707)为:证明:在△ABC中,A、B、C两两不相等时,有原证明较繁,本文给出这一不等式的简单证明,同时也得出了改进的结果.证明令不等式(l)的左边为M(A,B,C).由正弦定理知:边,所以由此即得:不等式(2)改进了不等式(1).更进一步地,不等式(2)可改进为:由余弦定理得:当且仅当A=B=C=60°时取等号.这样2<N(a,b,c)≤3,当且仅当a=b=c时取等号.由此得0≤M(A,B,C)<1.但由条件:A、C、C两两不相等,知不能取等号,所以不等式(3)得证.一个不等式的改进@田正平$杭州师范…  相似文献   

18.
刘健先生在文《100个待解决的三角形不等式问题》[1]中提出了一个关于三角形中线的猜想不等式:(问题shc15(g)) 在锐角△ABC中,有 32bcmmabcbc冲+, (1) 其中a、b、c;am、bm、cm分别是△ABC的三内角A、B、C所对边长和所对边上的中线长,为循环和. 杨学枝先生在文[2]中证明了较不等式(1)更强的不等式: 在锐角△ABC中,有 114bcmmabca邋. (2) 本文考虑不等式(1)的逆向,得到 命题 在锐角△ABC中,有 44bcmmRrbcr+澹, (3) 其中R、r是△ABC的外接圆半径、内切圆半径. 证明△ABC的外心为O,点O到△ABC…  相似文献   

19.
平面几何中,有一个欧拉不等式: 设△ABC的外接圆和内切圆的半径分别是R和r,则 R≥2r。其中等号当且仅当△ABC是正三角形时成立。这个结论在三维空间中可推广如下: 设四面体A_1—A_2A_3A_4(简记四面体A,下同)的外接球和内切球的半径分别是R和r,则  相似文献   

20.
1953年,J·CGerretsen建立了关于三角形半周长s,外接国半径R及内切国半径厂的两个二次不等式的最佳形式.即Gerretsen不等式.本文将给出Gerretsen不等式s’>16Rr-sr’的一个隔离,并且提出关于4R‘+4Rr+3r’)s’的一个猜想.定理设m。,m。,mt,w。,。。,wt,r。,rb,n表了凸ABC的中线、内角平分线及劳切国半径.则:当且仅当凸ABC为正三角形时等号成立.为证定理,先给出一个三角形恒等式.引理在凸ABC中有应用已知恒等式将(4),(5),(6)代人化简整理即得(3).再据已知半对称不等式键所以欲证不等式(2),只…  相似文献   

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