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1.
设△ABC的外接圆与内切圆的半径分别为R与r,则R≥2r,其中等号成立当且仅当△ABC为正三角形.这就是著名的欧拉不等式,它不仅形式简洁、优美,而且应用极为广泛,众多的三角形不等式都是其等价形式(参见文[2]).关于它的证明常见于许多书刊,如文[1]给出了其三角证法.纵观这些证明,均较繁琐.本文给出一种极为简捷的证法及其推广如下.1 欧拉不等式的简证 证明:如图 1,记△ABC的三边长分别为 相似文献
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本文拟给出一个代数恒等式，并探讨它的一些应用．（1）式虽然简单，但很有用．它既可证明等式和不等式，又可加强不等式．下面举例说明．一、证明恒等式例2设a、b、c是△ABC的三边，△、P、r分别为其面积、半周长和内切圆半径．则证参照文[1]，（2）等价于因此，只要证由（1）、（4）易证（5）式成立．所以（3）成立，从而（2）得证．二、证明不等式例4设x，y，z是正数，则（6）式是W·Janous猜测，下面用（l）给出一个简捷证法．以上三式相加，整理得所以，（6）得证．三、加强不等式此即平均值不等式的加强．用a_i去替代上式中的a_i~2… 相似文献
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李建潮 《数理天地(高中版)》2013,(6):27-27
在高中课本中有以下不等式：已知x,y,z∈R^＋,求证：（y＋z）（z＋z）（z＋y）≥8xyg．①本文通过对①式的加强,进而建立起著名欧拉（Euler）不等式：R≥2r（其中R与r分别为△ABC的外接圆与内切圆的半径．下同）的一个优美儿何加强． 相似文献
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在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，面积为△，则有著名的Polya-Szego不等式：现在仍然利用三边，给出（1）式的一个加强：证明：设三角形的半周长为s，外接圆和内切圆的半径分别为R、r，根据三角形恒等式:abc这是熟知的三角形不等式.于是（2）式成立．又＿因为有基本不等式：说明不等式（2）比不等式（1）强．由于不等式：（1）和（2）组成的不等式链等这就是文[1]中魏琴伯克不等式的再加强的加强：Polya-Szego不等式的加强@裘良$浙江嵊县崇仁中学[1] 梁冲海《魏琴伯克不等式的再加强》《中学教研》1993年第2期… 相似文献
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杨克昌同志在文[1]中曾提出如下的猜想：设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a、b、c所对角的内角平分线的长，则是否成立如下的不等式亦即不等式是否成立．我们说（1）不成立，即（1'）不成立．比如取等腰三角形a＝b＝l，则利用内角平分线长以及三角形面积公式可得容易看出，当c充分小时（比如取c＝0.01）所以猜想（1）不成立，那么是否可以调整一下，仍有类似的不等式成立呢？回答是肯定的，亦即定理设ta、tb、tc分别表示面积为△的△ABC的三边a，b，c所对角的内角平分线的长，若△ABC的外接圆与内切圆半径分别是R和r，则有证… 相似文献
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1989年，陈计与楼红卫建立了下述一个优美的几何不等式：设P为△ABC内一点，△ABC的三边为a,b，c，则事实上，不等式（1）对平面上任一点P都成立，这从[1]中的证明可知.1993年，作者得出了类似的结论：对等式，下面将分别介绍它们.为简单起见，本文省略所有不等式等号成立条件的确定过程.另外，恒用a，b，c表示△ABC的三边，而s，r，R,△分别表示其半周、内切圆半径、外接圆半径和面积.一、不等式（1）、（2）的比较在拙文[2]中，我们已经指出不等式（2）强于Bodewadt不等式；PA PB PC≥容易知道，不等式(1)与后者不分强弱.这使我们… 相似文献
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文[1 ]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4 .①其中ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长.本文将其加强为:命题 设ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,R、p分别是三角形的外接圆半径和半周长.∑表示循环和.则有∑bct2a≥34Rp23.②证明:记△ABC的内切圆半径及三个旁切圆半径分别为r、ra、rb、rc.则有∑bct2a≥33abctatbtc2 (均值不等式) .由文[2 ]知,rarbrc≥tatbtc,从而,∑bct2a≥33abcrarbrc2 =334Rrpp2 r2 =3 4Rp23.易知②强于①.一个几何不等式的加强@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1… 相似文献
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本文首先利用基本不等式x~2＋y~2≥2xy及海仑公式给出涉及三角形边长与面积的一个不等式，然后由此导出三角形中一系列有趣的不等式．定理设a，b，c，△分别表示△ABC的三边长与面积，实数λ，μ,υ，中任意两数之和均大于零，则有证由基本不等式将以上三式相加并整理，得但由海仑公式，上式右边正好是16△~2．由此即知不等式（1）成立，显然（1）中等式当且仅当时成立．这表明当且仅当时（l）中等式成立．证毕．推论设a，b，c，△分别表示△ABC的三边长与面积，实数λ，μ，υ，中任意两数之和均大两式中的等式当且仅当成立．一个新的三… 相似文献
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在三角形的不等式中，有一类是关于三角形内部任意一点到三边距离的．近年来，已有一些新的这类不等式出现（参见[1]—[4]）．本文给出与此类不等式相关的一个等价性定理，并阐述它的应用．一、定理及其证明定理设P为△ABC内部任一点，P到边BC，CA，AB的距离分别为PD，PE，上的高分别若有关于次不等式：则此不等式等价于证对于△ABC内部任意P点，显然有恒等式由此即知，存在着小于1的正数λ_1,λ_2,λ_3使以下三式同时成立：由以上三式分别可得代入（l）中即得不等式（2）．反之，在不等式（2）中取则又易得出不等式综上，不等式（l… 相似文献
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纪保存 《濮阳职业技术学院学报》1999,(1)
设ia、tb、tc分别表示△ABC的三边a、b、c所对的内角平分线的长,△ABC的半周长、外接圆半径、内切圆半径分别记为S、R、r。则有下面给出关于S2与R和r的一个优美不等式链：对于不等式链（*）,注意到K00i不等式：及Gerretsen不等式：只需证明（1）弱于（3）的左端,（2）强于（3）的右端。注：上述证明用到了Euler不等式。由Euler不等式R＞Zr,易得将SI、a、勾、为代入上式,整理即得：当且仅当凸ABC为正三角形时,上述各等号成立。几个新的几何不等式@纪保存$河南濮阳师范学校[1]Mitnnovic,D·S,Pecanc,JE,Voloner,V.Recent A… 相似文献
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几个新的三角形不等式 总被引：1，自引：1，他引：0
最近,笔者在研究三角形的内心及它的性质时,发现以下几个不等式：定理在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是＜A,＜B,＜C的对边,R是△ABC的外接圆半径．则有当且仅当△ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．由柯西不等式,得（AI＋BI＋CI）2两边开方即得不等式（1）．将以上三式相加,并利用均值不等式,得故不等式（3）成立．当且仅当凸ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．几个新的三角形不等式@贾玉友$江苏省新沂市教师进修学校!2241001贺才田.不等式“a3 b3 c3≥3abc”的再一次加强.中学教学(苏州),1996,3… 相似文献
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安振平在本刊1986年第6期P42上改进了一个常见的三角形不等式，得到:设a、b、c是△ABC的三边长，2p=a＋b c，则本文将把（1）式推广到两个三角形．设a、b、c、p与a’、b’、c’、p’分别是△ABC与△A’B’C’的三边长及半周长，则证在简单不等式（可见于高中代数课本（必修）下册Pll练习）（其中，a、b、c为正数）中用a’（p-a）、b’（p-b）、c’（p-c）分别替换a、b、c，得类似可得以上两式相加，再运用平均值不等式，便知（2）式成立。且易知式中等号当且仅当两三角形均为正三角形时成立．证毕．令a’＝a，b＝b，c’=c，则（2）式成… 相似文献
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《数学通报》1991年4月号数学问题（707）为：证明：在△ABC中，A、B、C两两不相等时，有原证明较繁，本文给出这一不等式的简单证明，同时也得出了改进的结果.证明令不等式（l）的左边为M（A，B，C）.由正弦定理知：边，所以由此即得：不等式（2）改进了不等式（1）.更进一步地，不等式（2）可改进为：由余弦定理得：当且仅当A＝B＝C＝60°时取等号.这样2＜N（a，b，c）≤3，当且仅当a＝b＝c时取等号.由此得0≤M（A，B，C）＜1.但由条件：A、C、C两两不相等，知不能取等号，所以不等式（3）得证.一个不等式的改进@田正平$杭州师范… 相似文献
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刘健先生在文《100个待解决的三角形不等式问题》[1]中提出了一个关于三角形中线的猜想不等式:(问题shc15(g)) 在锐角△ABC中,有 32bcmmabcbc冲+, (1) 其中a、b、c;am、bm、cm分别是△ABC的三内角A、B、C所对边长和所对边上的中线长,为循环和. 杨学枝先生在文[2]中证明了较不等式(1)更强的不等式: 在锐角△ABC中,有 114bcmmabca邋. (2) 本文考虑不等式(1)的逆向,得到 命题 在锐角△ABC中,有 44bcmmRrbcr+澹, (3) 其中R、r是△ABC的外接圆半径、内切圆半径. 证明△ABC的外心为O,点O到△ABC… 相似文献
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1953年，J·CGerretsen建立了关于三角形半周长s，外接国半径R及内切国半径厂的两个二次不等式的最佳形式．即Gerretsen不等式．本文将给出Gerretsen不等式s’＞16Rr－sr’的一个隔离，并且提出关于4R‘＋4Rr＋3r’）s’的一个猜想．定理设m。，m。，mt，w。，。。，wt，r。，rb，n表了凸ABC的中线、内角平分线及劳切国半径．则：当且仅当凸ABC为正三角形时等号成立．为证定理，先给出一个三角形恒等式．引理在凸ABC中有应用已知恒等式将（4），（5），（6）代人化简整理即得（3）．再据已知半对称不等式键所以欲证不等式（2），只… 相似文献
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平面几何中,有一个欧拉不等式: 设△ABC的外接圆和内切圆的半径分别是R和r,则 R≥2r。其中等号当且仅当△ABC是正三角形时成立。这个结论在三维空间中可推广如下: 设四面体A_1—A_2A_3A_4(简记四面体A,下同)的外接球和内切球的半径分别是R和r,则 相似文献