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两届IMO第5题的解析证明 总被引：1，自引：0，他引：1
第39、第40届IMO试题的第5题都是纯几何题,本文给出这两道题的解析证明,并予以推广。 第39届IMO第5题是: 设I是△ABC的内心,并设△ABC的内切圆与三边BC、CA、AB分别相切于点K、L、M。过B点平行于MK的直线分别交直线LM及LK于点R和S。证明:∠RIS是 相似文献
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如图,在△ABC中,内切圆⊙O分别与三边相切于点M、K和L,BC边上的旁切圆⊙O与BC边相切于点H,且分别 相似文献
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定理设△ABC的BC边上的高为ha,D为BC边上的任一内点,且△ABC,△ABD,△ACD的内切圆半径分别为r,r1,r2;对着∠BAC,∠BAD,∠CAD并与BC边相切的这些三角形的旁切圆半径依次是r',r1',r2'.则有 相似文献
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第42届IMO试题解答 总被引：4，自引：2，他引：4
《中等数学》2001,(5):30-32
1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则 相似文献
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2010年中国国家集训队选拔考试 总被引：1，自引：1，他引：0
1.在锐角△ABC中,AB>AC,M是边BC的中点,P是△AMC内一点,使得∠MAB=∠PAC.设△ABC、△ABP、△ACP的外心分别为O、O1、O2.证明:直线AO平分线段O1O2. 相似文献
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题目设O和I分别是△ABC的外心和内心，△ABC的内切圆与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，直线FD与CA相交于点P，直线DE与AB相交于点Q，点M，N分别是线段PE，QF的中点．求证：OI⊥MN．[第一段] 相似文献
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王庆金 《中学数学研究(江西师大)》2013,(8):49-50
赛题 如图1,在锐角△ABC中,AB＞AC,M、N是边BC上不同的两点,使得∠BAM=∠CAN.设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2.证明:O1、O2、A三点共线. 相似文献
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题目如图1,在锐角△ABC中,已知∠A〉60°,H为△ABC的垂心,点M、N分别在边AB、AC上,∠HMB=∠HNC=60°,O为△HMN的外心,点D与A在直线BC的同侧, 相似文献
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王庆金 《中学数学研究(江西师大)》2014,(1):F0004-F0004
正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过 相似文献
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刘京培 《中学数学教学参考》2003,(12)
定理 在△ABC中 ,D、E、F和X、Y、Z分别为边BC、CA、AB上的中点和高的垂足 ,ZD与FX交于L ,ZE与FY交于M ,DY与XE交于N ,则L、M、N三点都在△ABC的欧拉线上 (图 1 ) .证明 :如图 2 ,设O、H分别为△ABC的外心和垂心 ,我们来证明L在OH上 ,设△ABC外接圆半径为R ,设直线ZC、FX交于P ,连结OF、HL、OL .因OF⊥AB ,PZ⊥AB ,OF∥PZ ,∠OFL =∠P ,F为Rt△AXB斜边AB的中点 ,FX =FB ,∠B =∠BXF =∠CXP ,∠P =∠PZF -∠ZFP =90°-2∠B .在△CPX中 ,应用正弦定理 .可算出PC =XCsin∠CXPsinP =CHcos∠HCX… 相似文献
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1991年加拿大数学奥林匹克试题第5题:设△ABC为锐角三角形AD是边BC上的高,H是AD的任一内点,直线BH和CH分别与AC和AB相交于点E和F.证明:∠EDH=∠FDH 相似文献
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《中学数学》1995年第10期上刊登了第34届IM0土耳其国家队最后选拔赛试题及解答,其中第二题是这样的: 设锐角三角形ABC的外心是M,过点A、B、M的圆交直线BC于点P,交直线AC于点Q。证明,直线CM垂直于直线PQ。 原文解答采用的方法是证明M为△PCQ的垂心,思路很好,但在证明中有个错误,就是“故知∠MCQ=∠MBQ,又因MB=MC,MQ为公共边,知△MDQ≌△MCQ”,而由“边、边、角”是不能推出两三角形全等的,还需证∠CQM=∠MQB,(∵ 相似文献
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第28届国际数学奥林匹克的第二题,给出了一个很优秀的几何命题。文[1]和文[2]曾对该命题作出了初步推广,本文试对该命题作进一步的推广。我们有定理1 设△ABC为锐角三角形,P为BC边上的任意一点,以AP为弦任作一圆与AB、AC分别相交于M、N 自A引一条射线与△ABC的外接圆相交于D,使∠DAC=∠BAP,如图,则四边形AMDN的面积等于△ABC的面积。证明:连结CD、PN、MN,设MN与AD相交于E,依题设有∠BAP=∠DC,又 相似文献
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在证明题中,常会出现二倍角问题,此类问题往往有一定难度,需要认真分析已知与结论之间的联系,添加适当的辅助线,从而化难为易.现举例说明. 一、作倍角的平分线例1 已知:如图1,在△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC.求证:△ABC是直角三角形. 证明:作∠ABC的平分线BD交AC于点D,取AB的中点E,连结DE. ∵∠ABC=2∠A,∠ABC=2∠1=2∠2,∴∠A=∠1=∠2.即△ABD为等腰三角形.∵E为AB边中点,∴DE⊥AB.∵BE=12AB=BC,∠1=∠2,BD=BD,∴△BDE≌△BDC.∴∠BCD=∠BED=90°.即△ABC为直角三角形.二、构造倍角的等角… 相似文献
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第41届IMO第6题是: 设AH_1、BH_2、CH_3是锐角△ABC的三条高线。△ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点T_1、T_2、T_3。设直线l_1、l_2、l_3分别是直线H_2H_3、H_3H_1、H_1H_2关于直线T_2T_3、T_3T_1、T_1T_2的对称直线。证明:l_1、l_2、l_3所确定的三角形,其顶点都在△ABC的内切圆上。 相似文献