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樊友年 《数学大世界(高中辅导)》2004,(4):12-13
下面以三角中的几个基本公式 (定理 )的证明为例 ,谈谈向量基础知识在解题中的灵活应用 ,望能增添同学们学习向量知识的兴趣 .【例 1】 证明cos(α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ .课本上采用解析法证明这一公式 ,学习向量后 ,运用平面向量的数量积 (内积 )证明公式显得十分简单 ,这种灵活运用新知识解决问题的思想方法毫无疑义是符合新教材编写精神的 .证 :在单位圆O中 ,设∠P1 Ox =α , ∠P2 Ox =-β ,则P1 ,P2 坐标为P1 (cosα ,sinα) ,P2 (cosβ ,sin( -β) ) .即OP1 =(cosα ,sinα) , OP2 =(cosβ ,-sinβ) .∵∠P1 OP2 =α … 相似文献
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吴文尧 《数学大世界(高中辅导)》2005,(3):14-14
在三角变换中,对于同角三角函数习惯于把sin2α cos2α化简为1,下面举例说明之.【例1】 求证1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α=32分析:①易见要解决本题,只需“装腔作势”地把左边化简,且化简的结果为32②注意到左边分子、分母的次数分别为6次、4 次, 故对于分子中的“1”可代换成(sin2α cos2α)3,对于分母中的“1”代换成(sin2α cos2α)2;这样可使分子、分母都化成齐次,有利于问题的解决.证明:左边=(cos2α sin2α)3 -sin6α-cos6α(cos2α sin2α)2 -sin4α-cos4α=3(sin4α·cos2α sin2α·cos4α)2sin2α·cos2α=3sin2α·cos2… 相似文献
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一些三角恒等式在证明代数问题方面有着广泛的应用 .下面介绍几种中学数学中常见的代换法 ,供同行和读者参考 .一、若m n=1,m、n >0 ,可令m =sin2 α ,n =cos2 α .例 1 已知x、y >0 ,且x y=1,A =ax by ,B =ay bx ,试比较AB与ab的大小 .解 令x=cos2 α ,y=sin2 α ,则AB -ab =(ax by) (ay bx) -ab=(a2 b2 )xy ab(x2 y2 ) -ab=(a2 b2 )cos2 αsin2 α ab(cos4 α sin4 α) -ab=(a-b) 2 cos2 αsin2 α≥ 0 ,∴AB ≥ab .二、若m2 n2 =1,可令m =sinα ,n=cosα ,例 2 设a2 b2 =1,x2 y2 =1,求ax by的取值范围 .解 令a =sinα… 相似文献
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张玮 《数理天地(高中版)》2008,(8):9-9
例1求(2cosπ/(18)-sinπ/9)/(cosπ/9)的值.解原式=(2cos(π/6-π/9)-sinπ/9)/(cosπ/9) =(2(cosπ/6cosπ/9+sinπ/6sinπ/9)-sinπ/9)/(cosπ/9) 相似文献
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通过对三角问题结构的分析,合理引入参数,借助参数架起已知通向未知的桥梁,这样往往可以使问题得以方便简捷地解决,请看下面的例子. 一、整体设参 例 1 已知 3sinα+cosα=2,求(sinα-cosα+1)/(sinα+cosα+1)的值.解:设(sinα-cosα+1)/(sinα+cosα+1)=k,则(1-k)sinα-(1-k)cosα=k-1,与3sinα+cosα=2联立,可求得sinα=(3k+1)/(2k+4),cosα=(5-5k)/(2k+4)(k≠-2). 相似文献
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sinα cosα与 sinαcosα常出现于各类三角问题之中.解决这类问题的关键是灵活运用 sinα cosα与sinαcosα的关系,问题便可顺利获解.基本关系(sinα cosα)~2=1 2sinαcosα基本作用 1.可用 sinα cosα表示 sinαcosα;2.可用 sinαcosα表示sinα cosα;3.设 sinα cosα=t,则sinαcosα=(t~2-1)/2,将三角问题转化成代数问题. 相似文献
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韩建新 《数学大世界(高中辅导)》2004,(5):10-12
对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】 若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c… 相似文献
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本文试图通过数例阐述“解几”在三角函数解题中的应用。事实上,若恰当地依据“已知”,构造“解几”模型,化“数”为“形”,就能使得解题过程直观明了,不仅能加深对基础知识的理解,还能渗透各学科知识间的内在联系,提高解题能力。一、求三角函数值例1 已知acosα bsinα=c,acosβ bsinβ=c(ab≠0,α-β≠κπ),求cos~2 α-β/2的值。解∵点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)为直线ax by-c=0与圆x~2 y~2=1的两个交点,构造图1,|AB|~2=(cosα-cosβ)~2 (sinα-sinβ)~2=2-2 cos(α-β)。 相似文献
9.
陈红旗 《中学数学研究(江西师大)》2006,(7):40-42
在一些参考资料上,经常可以看到这样一道三角题:题目:已知 sinα sinβ=2~(1/2)/2,求 cosα cosβ的取值范围.其解法为:设 cosα cosβ=x,则(sinα sinβ)~2 (cosα cosβ)~2=1/2 x~2,即2 2cos(α-β)=1/2 x~2,∴x~2=3/2 2cos(α-β).∵-1 相似文献
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例1(2004年全国高考文史类试题)设α(0,π2),若sinα=35,则2姨cos(α+π4)=()A.75B.15C.-72D.4解∵α(0,π2),sinα=35,∴cosα=45.∴2姨cos(α+π4)=2姨(cosαsinπ4-sinαcosπ4)=cosα-sinα=45-35=15,故选B.例2(2004年全国高考广西卷)已知α为锐角,且tanα=12,求sin2αcosα-sinαsin2αcos2α的值.解sin2αcosα-sinαsin2αcos2α=sinα(2cos2α-1)sin2αcos2α=sinαcos2αsin2αcos2α=sinαsin2α=12cosα.由α为锐角及tanα=12,得1cos2α=sin2α+cos2αcos2α=tan2α+1=54.∴1cosα=5姨2.∴sin2αcosα-sinαsin2αcos2α=1… 相似文献
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公式“sin2α+cos2α=1”是高中三角函数问题中一个十分重要的公式,它是同角三角函数基本关系式之一,具有十分广泛的应用.在解决三角问题时,如能活用该公式,充分挖掘其潜在功能,往往可以推陈出新,给人以耳目一新的感觉.一、三角函数式的化简例1化简1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α.解1-sin6α-cos6αsin2α-sin4α=1sin2αcos2α-sin2α+cos2αsin2αcos2α×(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2αsin2αcos2α=1-(1-3sin2αcos2α)sin2αcos2α=3.二、用公式求值例2已知sinθ+cosθ=15,θ(0,π),则cotθ=_____.解∵sin2θ+cos2θ=1,∴(sinθ+cos… 相似文献
12.
《高中数学教与学》2003,(10):27-33
参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α+ β) +sin(α -β) ]cosαsinβ=12 [sin(α+ β) -sin(α-β) ]cosαcosβ =12 [cos(α + β) +cos(α-β) ]sinαsinβ =-12 [cos(α + β) -cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l,其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球的体积公式V球 =43 πR3,其中R表示球的半径一、选择题 (本大题共 12小题 ,每题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.(文 )直线 y=2x关于x轴对称的直线方程为 ( ) (A) y=-1… 相似文献
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李婧怡 《数学大世界(高中辅导)》2004,(6):34-35
题目:已知sin2α=a,cos2α=b,则 tan(α+π4)的值是( ) (A)b1-a(B)1+ab (C)1+a+b1+b-a(D)a-b+1a+b-1 解法(一):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=cos2α-sin2α(cosα-sinα)2=cos2α1-sin2α =b1-a.故选(A) 解法(二):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α … 相似文献
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尚宇林 《数理化学习(高中版)》2005,(20)
三角变换的一般技术颇多.本文就一些特殊条件下的特有变换技术,归纳如下.1.条件中有“sinα cosα=m”或要求“sinα cosα”,方法是平方。例设α∈(0,π),sinα cosα=7/13,求tanα的值.2.已知tanα,求asin2 bsinαcosα ccos2α的值,方法是将asin2α bsinαcosα ccos2α写成asin2α bsinαcosα ccons2α/sin2α cos2α,然后分子、分母 相似文献
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李显规 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
【题】已知ccooss42βα ssiinn42βα=1,求证:ccooss42αβ ssiinn24αβ=1.法1(三角换元)∵ccooss2βα2 ssiinn2βα2=1,∴可设ccooss2βα=sinφ,ssiinn2βα=cosφ,则sinφcosβ cosφsinβ=cos2α sin2α=1,∴sin(φ β)=1,∴φ β=2π 2kπ,k∈Z,∴sinφ=sin2π-β 2kπ=cosβ,同理,cosφ=sinβ,∴cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴ccooss42αβ ssiinn24αβ=cos2β sin2β=1.法2(巧构直线与圆相切模型)由已知Accooss2βα,ssiinn2βα,B(cosβ,sinβ)都在单位圆x2 y2=1上,圆x2 y2=1过点B的切线方程l是cosβx sinβy=1,A点也满足此… 相似文献
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田素伟 《数学大世界(高中辅导)》2004,(3):7-9
1 .利用配方法化成只含有一个的三角函数【例 1】 求函数y =sin6 x +cos6 x的最值 .解 :y =sin6 x +cos6 x=(sin2 x +cos2 x) (sin4 x -sin2 xcos2 x +cos4 x)=(sin2 x+cos2 x) 2 -3sin2 xcos2 x=1-3sin2 xcos2 x =1-34 sin2 2x=58+ 38cos4x∴当x=kπ2 (k∈z)时 ,y取最大值为 1.当x=kπ2 + π4(k∈z)时 ,y取最小值 14∴ymax =1,ymin =142 .利用函数y =x+ ax(a >0 )的单调性【例 2】 求函数y =sin2 x + 3sin2 x(x≠kπ ,k∈z)的值域 .解 :设sin2 x =t(0 相似文献
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三角变换是体现化归思想方法、培养逻辑推理能力的重要内容,是处理许多数学问题和实际应用问题的工具.正确的进行三角变换,不仅要求对教材中的公式有准确的理解,要求能够根据不同的变换目的,对公式进行合理地选择,还要求有一定的观察、运算和分析、综合的能力.下面举例说明进行三角变换的基本途径.一、角的变换在三角变换中,常常涉及到许多相异的角,变角就是从题设条件和结论中寻找一个变形的目标,将其余的角都向这个目标转化,其转化的途径是确立角之间的和、差、倍、半、互补、互余等之间的运算关系或运算结果,合理选择公式.例1.已知2cos(2α β) 3cosβ=0,求tan(α β)tanα的值.分析:观察角度,发现已知式与欲求式中的角存在联系:2α β=(α β) α,而β=(α β)-α,据此,可考虑对已知式运用和、差角公式展开.解:已知即.2cos[(α β) α] 3cos[(α β)-α]=0,即2cos(α β)cosα-2sin(α β)sinα 3[cos(α β)cosα sin(α β)sinα]=0∴5cos(α β)cosα=-sin(α β)sinα,即.tan(α β)tanα=-5二、函数名称的变换当所... 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2006,(9):19-19
数学直线倾斜角余弦值为(4/5),求此直线的斜率．错解：∵cosα=(4/5),∴sinα=±(3/5)．∴斜率k=tanα=(sinα)/(cosα)=±(3/4)． 相似文献
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一、广西东兰中学宋全宁来稿题:设方程x~2-2mx+m+2=0有两个实根,且分别为某直角三角形两锐角正弦的四倍,求m的值。解设直角三角形两锐角分别认α、β,则方程之二根为4sinα和4sinβ=4sin(90°-α)=4cosα,分别代入方程,得 16sin~2α-8msinα+m+2=0和16cosα~2-8mcosα+m+2=0 ∴m=(16sin~2α+2)/(8sinα-1)和m=(16cos~2α+2)/(8cosα-1) 即(16sin~2α+2)/(8sinα-1)=(16cos~2α+2)/(8cosα-1)解得锐角α=45° 相似文献
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一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2… 相似文献