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沈月婷 《初中生世界(初三物理版)》2003,(27)
在解有关一元二次方程的根的问题时,同学们习惯于用韦达定理求解.其实,有时直接求出方程的根,更能迅速地解决问题.现举例说明. 例1已知关于x的方程x~2-2mx m~2-1=0的两个实根x_1、x_2满足x_1~2 x_2~2=4,求m的值. 分析:因为x~2-2mx m~2-1可分解为(x-m 1)(x-m-1),所以易求得方程的根为:x_1=m-1,x_2=m 1.根据x_1~2 x_2~2=4,可列出m满足的方程,进 相似文献
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天津市1998年中考数学第27题: 若方程m~2x~2-(2m-3) 1=0的两个实数根的倒数和是S,求S的取值范围. 错解:设方程的两个实数根为x_1、x_2 由韦达定理可得 相似文献
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解无理方程,通常是采用两边平方的办法。但这样做往往要进行两次以上的平方,出现高次方程,给解方程带来困难。本文介绍另一种解法——“平方差法”。先看例1 解方程(x~2+x-2)~(1/2)-(x~2+x-5)~(1/2)=1 (1) 解:由恒等式((x~2+x-2)~(1/2))~2-((x~2+x-5)~(1/2))~2=3 (2) (2)÷(1)得(x~3+x-2)~(1/2)+(x~2+x-5)~(1/2)=3 (3) (1)+(3)化简得(x~2+x-2)~(1/2)=2 (4) 两边平方整理得x~2+x-6=0 解得x_1=2,x_2=-3。经检验知,x_1=2,x_2=-3都是原方程的根。用这种方法解无理方程,虽然避免了高次方程的出现,但是有可能遗根。请看例2 解方程(x~2+5x-6)~(1/2)+2=(x~2+x-2)~(1/2)+22~(1/2) 解:将原方程变形为(x~2+5x-6)~(1/2)-(x~2+x-2)~(1/2) 相似文献
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例.设m~2 2m-1=0,n~4-2n~2-1=0.求(mn~2 n~2 1/m)~(1994)的值。解由m~2 2m-1=0得m≠0。两边除以m~2得(1/m)~2-2(1/m)-1=0 (1)n~4-2n~2-1=0得(n~2)~2-2n~2-1=0。 (2)由(1)、(2)知,(1/m)与n~2是方程x~2-2x-1=0的两个实数根,有(1/m) n~2=2,(1/m)·n~2=-1,故原式=(n~2 n~2/m 1/m)~(1994)=(2-1)~(1994)=1。这一解答有两处错误:第一,n~2不能看作方程x~2-2x-1=0的根。因为△=8>0,方程应有两个不同的实数根,但n~2只有一根1 2~(1/2),另一根1-2~(1/2)没有意义。因此,本题应把n~4-2n~2-1=0当作一个一元四次方程来解。 相似文献
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利用增量代换来解答和处理问题的方法叫做增量代换法。增量代换法是中学教学中的一种重要方法,在解决众多的数学问题中表现出奇妙的作用。一、解方程例1 解方程 (2x~2-3x+7)~(1/2)-(2x~2-3x+2)~(1/2)=1。解;由此方程的特征,可设 (2x~2-3x+7)~(1/2)=1+a, (1)则(2x~2-3x+2)~(1/2)=a(a≥0)。 (2)(1)~2-(2)~2得a=2。∴ (2x~2-3x+2)~(1/2)=2。解得 x_1=2,x_2=-1/2。经检验知,均为原方程的根。二、证不等式例2 设a,b,m∈P~+,且aa/b。证明:由已知不妨设b=a+a(a>0),则 相似文献
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一、填空题(每小题2分,共30分) 1.把方程x~2 9x=6化成一般式为________。 2.方程(x~2-4)/(2-x)=0的根是______。 3.已知x_1和x_2是方程x~2-2x-3=0的两个根,则x_1 x_2 x_1x_2的值等于______。 4.若点P(a,4-a)是第二象限的点,则a满足的条件是______。 5.函数y=1/(x-3)~(1/2)的自变量x的取值范围是______。 相似文献
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有些数学题不是从方程求解形式提出,但若能设法对某些条件变换成两数和与两数积,然后用韦达定理的逆定理来布列方程求解,使问题得到解决。 [例1] 若x=2-3~(1/2),求x~1-5x~3 6x~2-5x的值。显然,这题直接代入计算是很繁的,若根据一元二次方程根的性质,由x=2-3~(1/2)可知x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2),一定是某一元二次方程的两根,巧用根和系数关系定使解题简捷。解由根与系数关系可知,x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2)是方程x~2-4x 1=0的两根, ∴ x~4-5x~3 6x~2-5x=(x~2-4x 1)(x~2-x 1)-1=0。 (x~2-x 1)-1=-1。例2 已知实数a、b、c满足:a=6-b,c~2 相似文献
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《人民教育》1962,(6)
高二第二試题目解法 1.証明:不論n是什么整数,方程 x~2-16nx 7~5=0 (1)没有整数解。这题目里面的7~5可以改成7~8,其中s是任何正的奇数。解题时,最好利用根与系数的关系,并用反证法。现在把解写在下面: 解:设两根为x_1,x_2,则有 x_1 x_2=16n (2) x_1x_2=7~8 (3)现在假定(1)有一根是整数,则由(2),另一根也是整数。因7是素数,故由(3)知,x_1x_2可以写成下面的形式: x_1=±7~k,x_2=±7~h (4)上面两式同时取 号或-号,而 k h=s. (5)把(4)代入(2)得 7~k 7~h=±16n (6)因k h=s为奇数,不妨设k>h,则 相似文献
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如果ax~2 bx c=0=(a≠0)的两个根是_x_1、x_2,那么x_1 x_2=-(b/a),x_1·x_2=c/a.这个定理是数学家韦达发现的.它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系.应用这个定理来求解的数学竞赛题在历年的初中数学竞赛中,频频出现.下面我们一起探讨几个问题。一、讨论方程的根的状况例1 当m是什么整数时,关于x的方程x~2-(m-1)x m 1=0的两根都是整数? 相似文献
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一、从一些问题的解法谈起完全平方式与完全平方数是初中数学的重要概念。如果不注意两个概念的区别和联系,往往解题不严谨,甚至出错。请看: 例1 设m为有理数,问k取何值时,方程x~2-3(m-1)x+m~2-2m+4k=0的根是有理数。解由习惯的二次△解法,首先须判别式 相似文献
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余家清 《苏州教育学院学报》1996,(2)
周知,一元二次方程ax~2÷bx c=0(a≠0)的根与二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象之间有着密切的联系。在探求二次函数的图象与x轴有无交点的的问题中常利用一元二次方程的根的情况来考察;反之,也可以从二次函数的图象的某些特征来考察一元二次方程的根的情况。本文对系数含参数的一元二次方程已知根的某些性质,利用二次函数图象的特征来求出参数这个问题作一探讨。 例1 已知关于x的方程2x~2-6x 3m=0的两个实数根都大于1,求m的取值范围。 分析:学生往往用韦达定理来解如下: 设方程2x~2-6x 3m=0的两根为x_1、x_2。 相似文献
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复合二次函数y=aφ~2(x) bφ(x) c(a≠0)的极值问题,在初等数学中占有非常重要的地位。先看一个例子: 已知x_1,x_2是方程x~2-(k-2)x (k~2 3k 5)=0(k是实数)的两个实根,x_1~2 x_2~2的最大值是(A)19,(B)18,(C)5 5/9(D)不存在。有人这样解:据韦达定理x_1 x_2=k-2,x_1x_2=k~2 3k 5,因此有 f(k)=x_1x~2 x_2~2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=-(k-2)~2-2(k~2 3k 5)即 f(k)=-k~2-10k-6它二次项系数为负,因此有最大值 4ac-b~2/4a=4(-1)(-6)-(-10)~2/4(-1)=19 相似文献
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把学生在解题中出现的错误集中起来,让学生在课堂上讨论,这样做学生是欢迎的,收效也较好。通过课堂讨论,使学生分清产生错误的原因,掌握正确的解题方法。例如,在学习了《函数及其图象》这章后,我出了下面的题目供学生讨论:判断下列解答是否正确:(1)m为何数时,方程x~2-(m-1)x-(m-2)=0有两个互为相反数的实数根(一九八一年浙江省初中中专招生试题)。解:设x_1、x_2是已知方程的两个互为相反数的实数根,则x_1+x_2=0,根据根与系数的关系有 相似文献