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命题 1 设 I是△ ABC的内心 ,并设△ ABC的内切圆与三边 BC,CA,AB分别相切于点K,L,M.过点 B平行于 MK的直线分别交直线 L M及 L K于点 R和 S.证明 :∠ RIS是锐角 .(图 1)这是第 39届IMO试题的第 5题 [1 ] .事实上 ,该命题若将“内切圆”改为“旁切圆”,结论仍然成立 .命题 2 设 I是△ABC的旁心 ,旁切圆与直线 BC,CA,AB分别相切于点K,L ,M.过点 B平行于 MK的直线分别交直线 L M,L K于点 R,S.则∠RIS是锐角 .证明 如图2 ,连结 BI,MI.∵SR∥MK,∴∠BSK =∠ MKL .∵ BM切⊙I于 M.∴∠ RMB =∠MKL.从而知∠B… 相似文献
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第41届IMO第6题是: 设AH_1、BH_2、CH_3是锐角△ABC的三条高线。△ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点T_1、T_2、T_3。设直线l_1、l_2、l_3分别是直线H_2H_3、H_3H_1、H_1H_2关于直线T_2T_3、T_3T_1、T_1T_2的对称直线。证明:l_1、l_2、l_3所确定的三角形,其顶点都在△ABC的内切圆上。 相似文献
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第38届IMO试题第2题: 设∠A是△ABC中最小的内角,点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧,U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点,线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W,直线BV和CW相交于T.证明AU=TB TC. 相似文献
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28届IMO—2题公布后,笔者曾给出一个较标准答案方便得多的分析法证明。 28—IMO—2:设锐角△ABC的∠A的平分线交BC于L,交外接圆于N,自点L分别至AB和AC引作垂线为LK和LM(K、M是垂足),证明:△ABC的面积等于 相似文献
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<正>一、试题呈现设P是△ABC内的一点,直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M,圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC=SP,证明:MK=ML[1].(第51届IMO)证明:如下图,设AC>BC,由切割线定理知SC2= 相似文献
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第37届IMO试题的第2题为:设P是△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又设D、E分别是△APB及△APC的内心,证明:AP、BD、CE交于一点. 相似文献
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命题设锐角△ABC的外心是M，过A，B，M的圆交直线BC于P，交直线AC于Q，证明直线CM垂直于直线PQ（图1）．这是第34届IMO土耳其国家最后选拔赛试题的第二题[1]．事实上，该命题条件过强，若将题设中的“锐角△ABC”改为“任意凸ABC”；“过点A，B，M的圆”改为“过A，B任作一圆”．命题的结论仍然成立．推广设任意凸ABC的外心为M，过点A，B作任一圆交直线BC于点P，交直线AC于点Q，则CM上PQ（图2）．证过C作QM的切线CT．．”．ZAer2上ABC．”．’／ABC一ZCQP，．”．ZACT一LCQP，．“．Po／／er，又”．“CM上C… 相似文献
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第三十一届IMO预选题中有这样一个题目: 设l是经过点C且平行于△ABC的边AB的直线,∠A的内角平分线交BC于D,交l于E;∠B的内角平分线交AC于F,交l于G。若GF=DE,求证:AC=BC。原证法利用了三角函数(见《中等数学》1990第5期)。我们仔细观察图形,可以发现此题的几何特征十分明显,下面给出此题的一个纯几何证法。 相似文献
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第一题 如图1，在△ABC中，设AB〉AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心、AC为半径作圆分别交线段AB于点D，交直线l于点E、F．证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心． 相似文献
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1988年第29届IMO由新加坡提供的一道预选题是这样的: 设Q是△ABC内切圆的圆心。证明:对任意点P,本文在这里先介绍这道试题的更为一般的形式(也就是它的推广),然后再举例说明其应 相似文献
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1991年加拿大数学奥林匹克试题第5题:设△ABC为锐角三角形AD是边BC上的高,H是AD的任一内点,直线BH和CH分别与AC和AB相交于点E和F.证明:∠EDH=∠FDH 相似文献
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2007年7月第48届国际数学奥林匹克（IMO）第4题为：
在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q．设K,L分别是边BC,AC的中点,证明：△RPK和△RQL的面积相等． 相似文献
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一道IMO预选题的再探索 总被引：1，自引：1，他引：0
第37届IMO预选题第16题为：
问题 设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在圆于另一点A’,BO交ACDA所在圆于另一点B’,CO交△AOB所在圆于另一点C’．证明： 相似文献
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2007年第48届IMO第4题是: 在△ABC中,∠ABC的平分张与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q. 相似文献
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几何部分
1．本届IMO第4题．
2．已知△ABC的外接圆Г,边AB、AC的中点分别为M、N,圆Г不含点A的弧BC的中点为T,△AMT、△ANT的外接圆与边AC、AB的中垂线分别交于点X、Y,且X、Y在△ABC的内部,若直线MN与XY交于点K,证明：KA=KT． 相似文献
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一道IMO预选题的探索 总被引：2，自引：2，他引：2
第37届IMO预选题的第16题[1]为:设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A′,BO交△COA所在的圆于另一点B′,CO交△AOB所在的圆于另一点C′.证明:OA′·OB′·OC′≥8R3.①并指出在什么情况下等号成立?由于不等式①即OA′·OB′·OC′≥8OA·OB· 相似文献
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《中学数学》1995年第10期上刊登了第34届IM0土耳其国家队最后选拔赛试题及解答,其中第二题是这样的: 设锐角三角形ABC的外心是M,过点A、B、M的圆交直线BC于点P,交直线AC于点Q。证明,直线CM垂直于直线PQ。 原文解答采用的方法是证明M为△PCQ的垂心,思路很好,但在证明中有个错误,就是“故知∠MCQ=∠MBQ,又因MB=MC,MQ为公共边,知△MDQ≌△MCQ”,而由“边、边、角”是不能推出两三角形全等的,还需证∠CQM=∠MQB,(∵ 相似文献