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统编高中数学课本第三册第144页,有这样一道例题:“平面上有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)=(1/2)(n~2+n+2)个部分。”课本是用数学归纳法证明的。可是解析表达式f(n)=(1/2)(n~2+n+2),究竟是怎样得出来的呢?也就是说,下面的问题该如何求解呢? 例1.平面上有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,问这n条直线把平面分成多少个部分? 显然,这n条直线把平面分成的部分数,是由n决定的,是n的函数,记为f(n)。f(n)是定义在整个自然数集N上的函数,其取值集也是N。我们的问题,就是要求出f(n)依赖于n的解析表达式。为此,我们从n开头的几个值,来看一 相似文献
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统编十年制高中数学第三册p.144例3:平面上有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)=1/2(n~2+n+2)个部分,是教学中的一个难点。学生不习惯数学归纳法证明这类几何问题的思路,同时,还会产生诸如“这个问题的结论是怎样得出来的呢?”“除归纳法外,还有别的证明方法吗?”这样一些想法。教学中,我除了用《一个数学公式的来历》(本刊82年第5期)一文中提到的那种方法答疑外,还向学生介绍了先找有关数列的递推公式,然后再由递推公式求其通项的证明方法,即首先假设符合条件的k条直线将平面分成f(k)块,然后再追加一条直线,使这(k+ 相似文献
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我们在数学归纳法的学习和研究中曾遇到如下两个命题:(一)平面上有 n 条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同一点,则此 n 条直线把平面分割为1/2(n~2+n+2)块;(二)空间有 n 个平面.其中任意两个不平行,任意三个不过同一条直线,任意四个不过同一点,则此 n 个平面把空间分割为 相似文献
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几何图形的计数 总被引：1，自引：1，他引：1
给定一个几何图形 ,计算该图形中某种特定的元素有多少个 ,这类问题称为几何图形的计数问题。它在各种数学竞赛中很常见 ,而且学会解这类问题 ,有助于培养学生周密细致的思维能力。本文通过几个初中数学竞赛题 ,讲一些解计数问题的方法。知识点 1、平面上给定n个点 ,每两点连一直线 ,最多可以得到(n -1 )n2 条直线。2、平面上给定n条直线 ,当它们每两条都相交 ,且任何三条都不共点时 ,这n条直线交点最多 ,共有(n -1 )n2 个交点。例 1 怎样在平面上画 1 0条直线 ,使它们恰有 :( 1 ) 2 1个交点 ;( 2 ) 3 1个交点 ;( 3 ) 3 0个交点。分析 … 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2019,(12)
<正>2016年《数学思维训练》期末考试最后一题:18.(1)我们熟知平面上一条直线将平面最多分成1+1=2个部分,2条直线将平面最多分成1+1+2=4个部分,3条直线将平面最多分成1+1+2+3=7个部分,…,n条直线将平面最多分成_个部分。 相似文献
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下面三个公式,是大家所熟悉的: 1+2+3+……+n=n(n+1)/2 (1) 1~2+2~2+3~2+……+n~2=(n(n+1)(2n+1))/6 (2) 1~3+2~3+3~3+……+n~3=[(n(n+1))/2]~2 (3) 在未指出它们的应用之前,先介绍(2)(3)两公式一种在图形上的意义。为此,我们考虑下面一个问题: 在一平面上有m+1条间隔相等,且相互平行的直线,与另一组n+1条同样的平行线相直交。 相似文献
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在有关直线、线段、角的计数中，有一个通用公式，那就是S_n=1/2n(n-1)，具体诠释如下： 1．平面内有n(n≥2)条直线，两两相交，最多的交点数S_n=1/2n(n-1)． 2．平面内有n(n≥2)个点，其中任意三点都不在同一条直 相似文献
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一本数学智力趣题集中有如下三道趣题.1.平面上有1987个点,若其中任何三点中都有两点的距离小于1,则必存在一个半径为1的圆,它至少盖住这1987个点中的994个点.2.一个正方形被9条直线分割,若其中每一条直线都与正方形的一对对边相交,且把该正方形分成面积比为2∶3的两个梯形,则这9条直线中至少有3条直线交于同一点.3.平面上有n(n≥4)个互不相同的点,每两点间用直线段相连,若其中长度为d的线段有n 1条,则这n个点中至少有1点,从该点出发的线段中至少有3条线段长度为d.上述三道趣题有一个共同点,它们都是与数量有关的存在性命题.关于涉及数量的存在性的证明,有一个简单而强有力的武器——抽屉原理:若将sn b个苹果(s,b,n∈N ,0 相似文献
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熊志新 《初中生世界(初三物理版)》2005,(31)
题目:两条直线相交,有几个交点?三条直线相交,最多有几个交点?四条直线呢?问题:探究一平面内的直线相交,最多能有的交点数.1.分析这里既然是最多,那么必定是两两相交,不能是三条或三条以上的直线交于一点.2.操作、实验在平面内作相交直线,探究直线数n与最多交点数m之间的关系.通过画图、实验,得下表.3.观察、分析、猜想n与m的关系通过图形不难发现,只有一条直线的情况:交点数为0;两条直线的情况:因为第二条直线与原有的一条直线相交,增加了一个交点,所以此时交点数为1(1+0=1);三条直线的情况:因为第三条直线与原有的两条直线分别两两相交,增… 相似文献
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归纳推理,是由特殊到一般的推理,是得出结论的重要思维方法。本文从一道例题的教学,谈谈培养学生归纳推理能力的点滴体会。六年制重点中学高中数学课本代数第二册第70页数学归纳法例3是:平面内有 n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,让明交点的个数 相似文献
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下面是一道熟知的习题：１１１２１１３３１１４６４１１５１０１０５１１６１５２０１５６１问题Ⅰ平面上有ｎ条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,问这ｎ条直线把平面分割成多少块区域？这是一道引导学生积极思考、探索规律、洞察结论,再用数学归纳法严格证明... 相似文献
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关于直线(平面)划分平面(空间)区域个数问题,在各类报刊资料和试题中时有出现,往往难度较大且答案容易出错.本文给出两个定理,使这两类问题一并得到圆满地解决.定理1:已知平面内有 n 条直线,这 n 条直线有 m 个交点(p 条直线共点,取交点个数为 p-1),则这 n 条直线将此平面划分出区域的个数为 f(n,m)=1 n m. 相似文献
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叶文 《中小学数学(初中教师版)》2016,(4):37
七年级数学的基本图形这一章中,有一个很经典的问题:一条直线上有n个点,以这n个点为端点的线段有几条?我把它简称为数线段的问题.类似的问题还有数角的个数,数交点的个数.比如:"平面内以O为端点的射线有n条,求角的个数.(初中教材中默认锐角)""平面内有n条直线,两两相交,请问有多少个交点?" 相似文献
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1.钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60°的角?是几点几分?2.平面上有18条直线,其中有6条直线经过同一点,这些直线最多把平面分成几部分?3.平面上有6个点,过每两点都作一条直线.除了原有的6个点以外,这些直线最多还有多少个交点?4.若(a2-1)x2-(a+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式200(a+x)(x-2a)+a+7的值.5.在1,2,3,…,2006中的每一个数的前面,任意添上一个“+”或“-”,那么最后运算的结果是奇数还是偶数?6.某次数学竞赛,共有40道选择题,规定答对一题得5分,不答得1分,答错倒扣1分.那么,你能说明不论有多少人参赛,全体学生的得分总… 相似文献
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数学中的猜想能力,是一种高级的创造性思维能力。伟大科学家牛顿说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”因此,培养学生的猜想能力,是数学教学中一个重要任务。本文谈谈自己在例题教学中抓住有利时机培养学生猜想能力的一些做法与体会。 1 变封闭为开放,提供猜想机会 在教学中,我们可以将教材上封闭型的例、习题改造成开放型的问题,为学生提供猜想的机会,调动他们猜想的积极性,强化他们的猜意识。 例1 平面内有n条直线,其中任问两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于1/2n(n-1)(高中《代数》下册P_120例3)。 对于该题的教学,我不给出公式,而是要学生先探讨f(n)的解析式,然后证明。具体做法是,第一步,让学生根据题意作出n=1,2,3,4,5时的图形,由图形分别写出f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)的数值;第二步,让学生观察分析第一步求出的f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)的结果。归纳其数值规律;第三步,将第二步的数值规律进行推广,猜想出一个公式:f(n)=1/2n(n-1);第四步,用数学归纳法证明这一公式。 相似文献